2020届河北衡水中学新高考押题模拟考试(七)理科数学

2020届河北衡水中学新高考押题模拟考试（七）
理科数学试题
★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题
1.已知集合{}01M =，，则满足条件M N M ⋃=的集合N 的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
由M N M ⋃=得到集合N 为集合M 的子集，根据子集的定义写出其子集，即可得到集合N 的个数. 【详解】M N M ⋃=Q
N M ∴⊆，即集合N 为集合M 的子集
则集合N 可以为：{1}{0},{
1,0}∅，， ，共四个 故选：D
【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系，属于基础题. 2.复数
5
2
i -的共轭复数是( )
A. 2i +
B. 2i -
C. 2i -+
D. 2i --
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】因为
522i i =---，所以复数52
i -的共轭复数是2i -+，选C. 【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力. 3.已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，45S =，920S =，则7a = A. 3- B. 5-
C. 3
D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列前n 项和的性质得到4S =()232a a +，9S =59a ，5235205
,2592
a a a a d =+==-，联立两式可得到公差，进而得到结果. 【详解】等差数列
{}
n a 中，n S 为其前n 项的和，45S ==()232a a +，
920S ==59a ,5235205,2592a a a a d =
+==-,联立两式得到7
,18
d =75+2 3.a a d == 故答案为C.
【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质的应用，和基本量的计算，数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等． 4.下列函数中是偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数的是（ ） A. 1y x =+ B. 2
y x -=
C. 1
y x x
=
- D. 2x
y =
【答案】B 【解析】
【分析】
根据函数表达式，判断f(x)和f(-x)的关系，得到奇偶性，再依次判断单调性即可得到结果.
【详解】A.()1f x x =+,()()1f x x f x -=-+=,函数是偶函数，在()0,+∞上是增函数，故不正确； B. 2
y x -=,是偶函数，()()
()2
-f x x f x --==，在区间()0,+∞上是减函数，故正确；
C. 1y x x =
-，()()1
f x x f x x
-=-+=-，是奇函数，故不正确； D. 2x
y =，()()2x
f x f x --==，是偶函数，但是在()0,+∞上是增函数，故不正确；
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证()f x 和 ()-f x 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x 变大时y 的变化趋势，从而得到单调性.
5.函数()
2lg 54y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，则()tan αβ+=（ ） A.
53
B. 53
-
C.
52
D. 52
-
【答案】C 【解析】 【分析】
利用韦达定理求得tan tan αβ+和tan tan αβ⋅的值，再利用两角和的正切公式求得
()tan tan tan 1tan ?tan αβ
αβαβ
++=
-的值.
【详解】因为函数()
2
lg 54y x x =++的零点是1tan x α=和2tan x β=，
所以tan α和tan β是2541x x ++=的两个实数根，
所以tan tan 5αβ+=-，tan ?
tan 3αβ=，则()tan tan 5
tan 1tan ?tan 2
αβαβαβ++==-，
故选C.
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及两角和的正切展开，着重考查了学生公式的应用，属于基础题.
6.若中心在原点，焦点坐标为（0，±
）的椭圆被直线3x ﹣y ﹣2＝0截得的弦的中点的横坐标为1
2
，则椭圆方程为（ ）
A. 22222575x y +=1
B. 22227525x y +=1
C. 2212575
x y +=
D. 2217525
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
先根据焦点坐标得出a 2﹣b 2＝50，根据直线方程求出AB 中点为（
12，12
-）．再设而不求的方法求得AB 的斜率与中点坐标之间的关系式，求出a 2＝3b 2，联解两式即可得到该椭圆的标准方程．
【详解】解：设椭圆：22
22y x a b
+=1（a ＞b ＞0），则a 2﹣b 2＝50①
又设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦AB 中点（x 0，y 0） ∵x 012=
，∴代入直线方程得y 032=-21
2
=- 由22
112
2222222
11
y x a b y x a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2222121222
y y x x a b --=- ∴AB 的斜率k 212212y y a x x b -=
=--•212212x x a y y b
+=-+•0
0x y =3 ∵
x y =-1，∴a 2＝3b 2② 联解①②，可得a 2
＝75，b 2
＝25，得椭圆的方程为：22
2575
x y +=1
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．
7.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为
1.160.5ˆ37y
x =-，以下结论中不正确的为（ ）
A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】
根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确.
【详解】A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；
C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；
D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D.
【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的
变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值. 8.在61
(2)x x
+-的展开式中，含x 5项的系数为（ ） A. 6 B. ﹣6
C. 12
D. ﹣12
【答案】D 【解析】 【分析】
直接利用二项式的展开式的应用求出结果． 【详解】解：61(2)x x +
-的展开式中6161()(2)r r r r T C x x
-+=+-， 当r ＝0时，()6
001612T C x x ⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭， 所以61()x x +的展开式为()
61612s
s
s s T C x x -+⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，
当s ＝1时，系数为11
6(2)12C -=-．
故选：D ．
【点睛】本题考查的知识要点：二项式展开式的应用，主要考查配对问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
9.已知角ø是曲线f （x ）＝ln （e x +1）的切线的倾斜角，则ø的取值范围为（ ） A. 04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， B. 42
，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 04π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，
D. 02π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
【答案】C 【解析】 【分析】
求出原函数的导函数，得到曲线f （x ）的切线的斜率的范围，进一步求得ø的取值范围．
【详解】解：由f（x）＝ln（e x+1），得f′（x）
1
1 11
x
x
x
e
e
e
==
++，
∵e x＞0，∴
1
1
x
e
+＞1，则f′（x）
1
1
1
x
e
=
+
∈（0，1），
即tanø∈（0，1），又直线倾斜角的范围为[0，π），
∴ø的取值范围为（0，
4
π
）．
故选：C．
【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了由直线的斜率求倾斜角，是中档题．10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 2.5
S=(单位:升)，则输入的k值为，
A. 4.5
B. 6
C. 7.5
D. 10
【答案】D
【解析】
分析：模拟程序运行，依次写出每次循环得到的,n s的值，当4
n=时，不满足条件4
n<，推出循环，输
出s的值为
4
k
，即可求解.
详解：模拟程序运行，可得1,
n S k
==，
满足条件4n <，执行循环体，2,22k k n S k ==-=； 满足条件4n <，执行循环体，
23,233
k k k n S ==-=
； 满足条件4n <，执行循环体，
34,344
k k k n S ==-=
； 此时，不满足条件4n <，推出循环，输出s 的值为
4
k ， 根据题意可得
2.54
k
=，解得10k =，故选D. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合． 11.函数()2sin()(0)3
f x x π
ωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）
A. [2,4]ππ
B. 9[2,
)2
ππ C. 1325[
,)66
ππ
D. 25[2,
)6
π
π 【答案】C 【解析】 【分析】
由三角函数图象确定ω满足条件，解得结果. 【详解】由题意得591325,3
23266
π
πππππωωω+
≥
+<∴≤<，选C. 【点睛】本题考查三角函数图象与性质，考查基本求解能力.
12.设函数f （x ）()2
213x g x ax a x
=+=+-，，若对任意x 1∈[1，2]，总存在x 0∈[0，a ]，使得g （x 0）＝
f （x 1）成立，则a 的取值范围为（ ） A. a ≥4 B. 0≤a ≤4
C. a ≥1
D. 0＜a ≤1
【答案】A 【解析】 【分析】
求出f （x ），g （x ）的值域，根据题意，[3，5]⊆[1﹣3a ，a 2﹣3a +1]，a ＞0，求出a 即可．
【详解】解：若对任意x ∈[1，2]，f （x ）2
2x x =+，f '（x ）＝2x ()
322212x x x
--=≥0，f （x ）递增， 故f （x ）∈[3，5]， 在x ∈[0，a ]，a >0，
则g （x ）＝ax +1﹣3a ，在[0，a ]单调递增，g （x ）∈[1﹣3a ，a 2﹣3a +1]， 根据题意，[3，5]⊆[1﹣3a ，a 2﹣3a +1]，a ＞0，
2
133
315a a a -≤⎧⎨-+≥⎩
，解得a ≥4， 综上，a ≥4， 故选：A ．
【点睛】本题考查函数的存在性问题和恒成立问题，考查利用导数处理函数的最值问题，考查分类讨论思想与转化思想，中档题．
二、填空题
13.有一个几何体的三视图及其尺寸（单位cm ），则该几何体的表面积为：_____.
【答案】24πcm 2 【解析】 【分析】
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ．据此即可计算出答案． 【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm ，底面直径是6cm ． ∴该三棱锥的表面积S ＝π×321
652
π+
⨯⨯=24πcm 2．
故答案为：24πcm 2．
【
点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查锥体的表面积的计算，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
14.若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
则3z x y =+的最小值是___________，最大值是___________．
【答案】 (1). 2- (2). 8 【解析】 【分析】 先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.
【详解】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线3z x y =+过点()2,2A 时z 取最大值max 2328z =+⨯=，过点()4,2B -时z 取最小值()min 4322z =+⨯-=-.
【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.
15.双曲线
=1(b ∈N)的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数
列，则b 2=_________. 【答案】1 【解析】
解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ), 则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2),
即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2, 又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·
|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|="4," 依已知条件有|PF 1|·
|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜, 又∵c 2=4+b 2＜,∴b 2＜53
,∴b 2="1. " 答案：1 16.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1
x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是__________． 【答案】13-
【解析】
【分析】
由()f x 为偶函数， ()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，可得()()1f x f x m -≤+，等价于1x x m -≥+，即有()()2110x m m -++≤，由一次函数的单调性，解不等式即可得结果.
【详解】因为当0x ≥时，()21,0122,1x x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
， 所以可得01x ≤<时，()21f x x =-递减，()(]
0,1f x ∈； 当1x ≥时，()f x 递减，且()()(]
10,,0f f x =∈-∞， ()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，
对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立， 等价于()()1f x f x m -≤+，可得1x x m -≥+，
两边平方、移项分解因式可得()()2110x m m -++≤，
由一次函数的单调性，
可得()()2110m m m -++≤，且()()22110m m m +-++≤， 即为113m -≤≤且113m -≤≤-，即有113
m -≤≤-， 则m 的最大值为13-，故答案为13-. 【点睛】化简函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数
的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
三、解答题
17.在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2
b a C
c =+． (1)求角A ；
(2)若·3AB AC =u u u r u u u u r ，求a 的最小值．
【答案】（1）π3A =
（2 【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式求得a 的最小值．
【详解】解：(1) ∵ABC V 中，cos 2c b a C -=
， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2
B A
C C -=，∵πA B C ++=， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2
A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2
A C C =
， ∴1cos 2A =，∴π3A =． (2) 由 (1)及·3AB AC =u u u r u u u r 得6bc =， 所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--=…
当且仅当b c =时取等号，所以a
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题． 18.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：
（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；
（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在[)40,45内的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
【答案】（1）39，39（2）见解析
【解析】
分析：(1)根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为0.5，列式可得结果，（2）先根据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.
详解：
解：(Ⅰ)平均值的估计值
27.50.0132.50.0437.50.0742.50.0647.50.02538.539x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=≈（）
中位数的估计值：
因为50.0150.040.250.5⨯+⨯=<，
50.0650.020.40.5⨯+⨯=<
所以中位数位于区间[)35,40年龄段中，设中位数为x ，所以()0.250.07350.5x +⨯-=，39x ≈.
(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于[)40,45年龄段内，14人位于[
)40,45年龄段外． 依题意，X 的可能值为0,1,2
()02
614
2
20
91
190
C C
P X
C
===,()
11
614
2
20
42
1
95
C C
P X
C
===,
()20
614
2
20
3
2
38
C C
P X
C
===
X分布列为
0 1 2
914233
012
19095385
EX=⨯+⨯+⨯=.
点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)
X B n p
:)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()
E X np
=)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
19.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(1)点E 为BC 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的位置关系，并说明理由；
(2)求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE AF ⊥；
(3)当BE 为何值时,PA 与平面PDE 所成角的大小为45°.
【答案】(1)EF//面PAC (2)见解析
(3)BE =【解析】
【详解】试题分析：⑴当E 是BC 中点时，因F 是PB 的中点，所以EF 为PCB ∆的中位线，
故EF//PC ，又因PC ⊂面PAC ，EF ⊄面PAC ，所以EF//面PAC
⑵证明：因PA⊥底面ABCD ，所以DA⊥PA ，又DA⊥AB ，所以DA⊥面PAB ，
又DA//CB ，所以CB⊥面PAB ，而AF ⊂面PAB ，所以AF CB ⊥，
又在等腰三角形PAB 中，中线AF⊥PB ，PB I CB=B ，所以AF⊥面PBC.
而PE ⊂面PBC ，所以无论点E 在BC 上何处，都有PE AF ⊥
⑶以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 为x 、y 、z 轴建立坐标系，设BE m =，
则(0,0,1)P
，D ，(,1,0)E m ，设面PDE 的法向量为(,,)n x y z =r ，
由0{0
PE n PD n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r
，得0{0mx y z z +-=-=
，取n m =r ，又(0,0,1)AP =u u u r ， 则由0cos ,sin 45PA n 〈〉=u u u r r
=
，解得m =.
故当BE =PA 与面PDE 成045角
考点：线面平行垂直的判定及线面角的求解
点评：证明线面平行时常借助于已知的中点转化为线线平行，第三问求线面角采用空间向量的方法思路较简单，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，代入公式即可
20.已知平面上两定点M （0，﹣2）、N （0，2），P 为一动点，满足MP u u u r •MN =u u u u r |PN uuu r |•|MN u u u u r |
（I ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（II ）若A 、B 是轨迹C 上的两不同动点，且AN =u u u r λNB uu u r
.分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设其交点Q ，
证明NQ AB ⋅u u u r u u u r
为定值.
【答案】（I ）x 2＝8y
（II ）见解析
【解析】
【分析】
（I ）先设P （x ，y ），求动点P 的轨迹C 的方程，即寻找x ，y 之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到． （II ）先设出A ，B 两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A ，B 的坐标表示出NQ AB ⋅u u u r u u u r ，最后看
其是不是定值即可．
【详解】（I ）设P （x ，y ）.
由已知 MP =u u u r （x ，y +2），MN =u u u u r （0，4），PN =u u u r
（﹣x ，2﹣y ）， MP u u u r •MN =u u u u r 4y +8.
|PN uuu r |•|MN u u u u r |＝
∵MP u u u r •MN =u u u u r |PN uuu r |•|MN u u u u r |
∴4y +8＝x 2＝8y
即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝8y .
（II ）由已知N （0，2）.
即得（﹣x 1，2﹣y 1）＝λ（x 2，y 2﹣2） ()121222x x y y λλ-=⎧⎨-=-⎩
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）.由AN =u u u r λNB uu u r
即得（﹣x 1，2﹣y 1）＝λ（x 2，y 2﹣2），
∴﹣x 1＝λx 2…（1），
2﹣y 1＝λ（y 2﹣2） (2)
将（1）式两边平方并把x 12＝8y 1，x 22＝8y 2代入得y 1＝2λy 2
解得 y 1＝2λ，y 22
λ=，
且有x 1x 2＝﹣λx 22＝﹣8λy 2＝﹣16.
抛物线方程为 y ＝21
8x ，求导得y ′14
=x . 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是 y 14=
x 1（x ﹣x 1）+y 1，y 14=x 2（x ﹣x 2）+y 2， 即y 14=x 1x 18-x 12，y 14=x 2x 18
-x 22 解出两条切线的交点Q 的坐标为 （
122x x +，128
x x ）＝（122x x +，﹣2） 所以 NQ uuu r •AB =uu u r （122x x +，﹣4）•（x 2﹣x 1，y 1﹣y 2） 12=
（x 22﹣x 12）﹣4（18
x 2218-x 12）＝0 所以 NQ AB ⋅u u u r u u u r 为定值，其值为0. 【点睛】求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．
21.已知函数f （x ）＝[x 2﹣（a +4）x +3a +4]e x ，
（1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）求证不等式（x 3﹣6x 2+10x ）e x ＞10（lnx +1）成立.
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，讨论a 与2的大小关系，解导不等式，得出结论；
（2）根据题意，当a ＝2时，f （x ）＝（x 2﹣6x +10）e x ，故原不等式可化为f （x ）＞g （x ），其中g （x ）＝10（1lnx x
+），求出f （x ）和g （x ）的值域，比较即可． 【详解】（1）f '（x ）＝e x （x ﹣a ）（x ﹣2），x ∈R ，
当a ＜2时，当x ∈（﹣∞，a ]，（2，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）递增；当x ∈（a ，2）时，f '（x ）＜0，f （x ）递减；
当a ＞2时，当x ∈（﹣∞，2]，（a ，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）递增；当x ∈（2，a ）时，f '（x ）＜0，f （x ）递减；
当a ＝2时，f '（x ）≥0，f （x ）在R 上递增；
（2）当a ＝2时，f （x ）＝（x 2﹣6x +10）e x ，
故原不等式可化为f （x ）＞g （x ），其中g （x ）＝10（1lnx x
+），
由（1）知，函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，故当x ＞0时，f （x ）＞f （0）＝10，
对于g （x ）＝10（1lnx x +），g '（x ）210lnx x
-=⋅， 当x ∈（0，1）时，g '（x ）＞0，g （x ）递增；当x ∈（1，+∞）时，g '（x ）＜0，g （x ）递减； 故g （x ）的最大值为g （1）＝10，
故f （x ）＞g （x ）成立，
原命题得证.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及证明不等式，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），直线l 的参数方程为 4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩
（为参数）． （1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l
，求a ．
【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525
-
；（2）8a =或16a =-． 【解析】
试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点(3cos ,sin )θθ，由点到直线距离公式求参数． 试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2
219
x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=. 由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0，2124,2525⎛⎫- ⎪⎝
⎭. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点()3cos ,sin θθ到l 的距离为
d =. 当4a ≥-时，d
=8a =； 当4a <-时，d =16a =-. 综上，8a =或16a =-.
点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值．
23.已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．
（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；
（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．
【答案】（1）{|1x x -≤≤
；（2）[1,1]-． 【解析】
【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤． 试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解； 当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.
所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.
又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[]1,1-.
点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．
21。