2020届山西省太原五中高三下学期4月一模考试数学(文)试题及解析
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A.都在函数 的图象上B.都在函数 的图象上
C.都在函数 的图象上D.都在函数 的图象上
【答案】C
【解析】
列出循环的每一步，根据输出的点 的坐标可判断出点 符合哪一个函数的解析式.
【详解】开始： ， ，进行循环：
输出 ， ， ，
输出 ， ， ，
输出 ， ， ，
输出 ， ， ，因为 ，退出循环，
则输出的所有点 、 、 、 都在函数 的图象上.
（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或 ．
【解析】
（1）通过将圆 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线 的方程为y=kx，通过联立直线 与圆 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线 与圆 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论
【详解】解：因为 的外接圆与抛物线 的准线相切，所以 的外接圆的圆心 到准线的距离等于圆的半径 ，则 的外接圆的圆心 一定在抛物线上.又因为圆心 在 的垂直平分线上， ， ，则此外接圆的半径 ，故此外接圆的面积 ，故选：C.
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
目标函数可化为 ，
若 ，则目标函数在 点取得最大值，
解方程 ，得 ，则 ，解得 ，不满足题意；
若 ，则目标函数在 点取得最大值，
解方程 ，得 ，则 ，解得 ，满足题意．
故答案为2.
15. 函数 的图象向右平移 个单位后与原函数的图象关于 轴对称，则 的最小正值是_____.
【答案】
【解析】
求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于 轴对称，可得出关于 的等式，即可求得 的最小正值.
即 ，化简得
因为公比 ，所以 .
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，所以 .
则 ，①，
，②，
① ②得， ，
所以 .
18. 如图，四棱柱 中， 平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形， ， .
（1）若 ，求证： //平面 ；
（2）若 ，且三棱锥 的体积为 ，求 .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，根据四边形ABCD为平行四边形，可得 // ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出 、 、 ；
（2）根据频率分布直方图，能估计这 人年龄的平均值；
（3）从年龄段在 的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 人进行专访， 中选 人，分别记为 、 、 、 、 ， 中选 人，分别记为 、 、 、 ，在这 人中选取 人作为记录员，利用列举法列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；
x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．
故选C．
10. 已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由等差数列和等比数列的性质求出 ， 的值，代入 得答案.
故选：C.
8. 已知函数 满足： 且 ．（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【详解】可设 ，则f（x）满足题意.
易知 但1＞−5,排除A.
但2＜3,排除C.
排除D.
故选B.
9. 函数 （ ）的图象大致形状是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．
选取的 名记录员中至少有一人年龄在 包含的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种，
因此，选取的 名记录员中至少有一人年龄在 中的概率 .
20. 已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 ， ．
（1）求圆 的圆心坐标；
6. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
① 若 ，则 ， 中至少有一个不小于 ；
② 是 的充要条件；
③ ；
④ 函数 是奇函数，则 的图像关于 对称.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
利用逆否命题的真假判断①的正误；由 可得 ，反之不成立，取 即可判断；利用全称命题直接判断③的正误即可；利用函数的奇偶性以及对称性说明④的正误.
组数
分组
“环保族”人数
占本组的频率
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
（1）求 、 、 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；
（3）从年龄段在 的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 人进行专访，并在这 人中选取 人作为记录员，求选取的 名记录员中至少有一人年龄在 中的概率.
所以数据 、 、 、 的平均数为 ，
故答案为： .
14. 已知 ， 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 __________．
【答案】
【解析】
画出可行域，当直线 的截距最大时， 取得最大值，若 ，则目标函数在 点取得最大值，若 ，则目标函数在 点取得最大值，分别求解即可得到答案．
【详解】画出 ， 满足的可行域（见下图阴影部分），
（2）利用正弦定理，可得 ，进一步可得 ，然后根据 ，可得 ，最后利用勾股定理，可得结果.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 .
如图
由四棱柱的性质可知 // ，
且 ，则 // .
∵四边形ABCD为平行四边形，∴ .
同理 ，∴ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ // .
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 .
21. 已知函数 ， ，函数 在点 处的切线与函数 相切.
（1）求函数 的值域；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用导数求出曲线 在点 处的切线方程，与函数 的解析式联立，由 可求得 的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数 的值域；
（2）要证明 ，即证 ，即证 ，求出函数 的最小值，并利用导数求出函数 的最大值，由此可得出结论.
2020届山西省太原五中高三下学期4月一模考试
数学（文）试题
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题（共12小题）.
1. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
首先求出集合 ，再根据补集的定义计算可得；
【详解】解：因为 ， ，所以 ，
故选：B.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
A. 14B. C. D.
【答案】D
【详解】还原三视图如下：
其表面积为
故选
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 若样本数据 、 、 、 的平均数为 ，则数据 、 、 、 ，的平均数为_____.
【答案】
【解析】
利用平均数公式可求得结果.
【详解】因为样本数据 、 、 、 的平均数为 ，则 ，
（2）∵ ，∴ .
又 ，∴ .
由正弦定理可得 ，
解得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 .
又 平面ABCD，即 平面ABCD，
∴ ，CD，CA两两垂直.
∴ ，
∴ ，∴ .
19. 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于 岁的人中随机地抽取 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
则方程 应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在 内，一个根在 内，
设 ，因为 ，则只需 ，解得： ，
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题（共5小题，满分60分）
17. 已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【详解】（1）由 得 ，
∴ 圆 的圆心坐标为 ；
（2）设 ，则
∵ 点 为弦 中点即 ，
∴ 即 ，
∴ 线段 的中点 的轨迹的方程为 ；
（3）由（2）知点 的轨迹是以 为圆心 为半径的部分圆弧 （如下图所示，不包括两端点），且 ， ，又直线 ： 过定点 ，
当直线 与圆 相切时，由 得 ，又 ，结合上图可知当 时，直线 ： 与曲线 只有一个交点．
【详解】 满足 的 有 个， 方程 有4个根，
设 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增， ，
画出函数 的大致图象，如图所示：
，
保留函数 的 轴上方的图象，把 轴下方的图象关于 轴翻折到 轴上方，
即可得到函数 的图象如下图所示：
令 ，则 ，
所以要使方程 有 个根，
【详解】（1）切点 ， ，则 ， .
所以，函数 在点 处的切线方程为 ，即 .
函数 在点 处的切线与函数 相切.
联立 ，化为 ，
， ，解得 .
，所以，函数 值域为 ；
【答案】A
试题分析：由 ，得 或 ，所以 ，故选A．
5. 已知双曲线 的左右焦点为 ， ，点 为双曲线 上任意一点，则 的最小值为( )
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
根据双曲线的定义，设点 在双曲线 右支上，则 ，设 ，再根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：由题意知， ， ，不妨设点 在双曲线 右支上，则 ，设 ，所以 ，所以当 时， 的值最小，最小为1，故选：A.
【详解】解：对于①，逆否命题为： ， 都小于1，则 是真命题
所以原命题是真命题
对于②， ，反之不成立，取 ，不能说 ，所以②是假命题；
对于③， ， ， ；显然是真命题；
对于④，函数 是奇函数，函数的对称中心为 ，则 的图象是 的图象向右平移1个单位得到的，所以 关于 对称．是真命题；
故选： ．
7. 执行如图所示的程序框图.则输出的所有点 （ ）
【答案】D
【详解】由题意可得 ： ，且： ，
据此有： .
本题选择D选项.
3. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得 与 的夹角 的值．
【详解】 ，
即 .
，.4ຫໍສະໝຸດ 若 ，则 （ ）A. B. C. 1D.
【详解】 函数 的图象向右平移 个单位后与原函数的图象关于 轴对称，
则平移后函数的解析式为 ，
， ，
当 时， 取得最小正值，此时 ，因此， 的最小正值为 .
故答案 ： .
16. 已知 ， 若满足 有四个，则 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
满足 的 有 个，等价于方程 有 个根，设 ，利用导数得到函数 的单调性和极值，画出函数 的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数 的大致图象，要使方程 有 个根，则方程 应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设 ，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出 的取值范围.
【详解】在等差数列 中，由 ，得 ， ， ，
在等比数列 中，由 ，得 ， ， ，
则 .
故选：D.
11. 抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上的点， 为坐标原点，若 的外接圆与抛物线 的准线相切，则该圆面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
依题意可得 的外接圆的圆心 一定在抛物线上，且圆心 在 的垂直平分线上，所以 ，从而求出外接圆的半径以及圆的面积；
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）等比数列 中， ， 是 和 的等差中项，由等比数列的公比表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入 ，求出 ，利用错位相减法求出 .
【详解】（1）设数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ， .
因为 是 和 的等差中项，所以 .
【详解】（1）由题意得： ；
（2）根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值为： ；
（3）从年龄段在 的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 人进行专访，
从 中选： 人，分别记为 、 、 、 、 ，
从 中选： 人，分别记为 、 、 、 ，
在这 人中选取 人作为记录员，所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种，
C.都在函数 的图象上D.都在函数 的图象上
【答案】C
【解析】
列出循环的每一步，根据输出的点 的坐标可判断出点 符合哪一个函数的解析式.
【详解】开始： ， ，进行循环：
输出 ， ， ，
输出 ， ， ，
输出 ， ， ，
输出 ， ， ，因为 ，退出循环，
则输出的所有点 、 、 、 都在函数 的图象上.
（2）求线段 的中点 的轨迹 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得直线 与曲线 只有一个交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或 ．
【解析】
（1）通过将圆 的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线 的方程为y=kx，通过联立直线 与圆 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线 与圆 的方程，利用根的判别式△=0及轨迹 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论
【详解】解：因为 的外接圆与抛物线 的准线相切，所以 的外接圆的圆心 到准线的距离等于圆的半径 ，则 的外接圆的圆心 一定在抛物线上.又因为圆心 在 的垂直平分线上， ， ，则此外接圆的半径 ，故此外接圆的面积 ，故选：C.
12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）
目标函数可化为 ，
若 ，则目标函数在 点取得最大值，
解方程 ，得 ，则 ，解得 ，不满足题意；
若 ，则目标函数在 点取得最大值，
解方程 ，得 ，则 ，解得 ，满足题意．
故答案为2.
15. 函数 的图象向右平移 个单位后与原函数的图象关于 轴对称，则 的最小正值是_____.
【答案】
【解析】
求出图象变换后的函数解析式，结合所得函数图象关于 轴对称，可得出关于 的等式，即可求得 的最小正值.
即 ，化简得
因为公比 ，所以 .
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，所以 .
则 ，①，
，②，
① ②得， ，
所以 .
18. 如图，四棱柱 中， 平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形， ， .
（1）若 ，求证： //平面 ；
（2）若 ，且三棱锥 的体积为 ，求 .
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，根据四边形ABCD为平行四边形，可得 // ，然后根据线面平行的判定定理，可得结果.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
（1）由频率分布直方图和频数分布表能求出 、 、 ；
（2）根据频率分布直方图，能估计这 人年龄的平均值；
（3）从年龄段在 的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 人进行专访， 中选 人，分别记为 、 、 、 、 ， 中选 人，分别记为 、 、 、 ，在这 人中选取 人作为记录员，利用列举法列举出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；
x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．
故选C．
10. 已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ， ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由等差数列和等比数列的性质求出 ， 的值，代入 得答案.
故选：C.
8. 已知函数 满足： 且 ．（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【详解】可设 ，则f（x）满足题意.
易知 但1＞−5,排除A.
但2＜3,排除C.
排除D.
故选B.
9. 函数 （ ）的图象大致形状是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．
选取的 名记录员中至少有一人年龄在 包含的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种，
因此，选取的 名记录员中至少有一人年龄在 中的概率 .
20. 已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点 ， ．
（1）求圆 的圆心坐标；
6. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ）
① 若 ，则 ， 中至少有一个不小于 ；
② 是 的充要条件；
③ ；
④ 函数 是奇函数，则 的图像关于 对称.
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
利用逆否命题的真假判断①的正误；由 可得 ，反之不成立，取 即可判断；利用全称命题直接判断③的正误即可；利用函数的奇偶性以及对称性说明④的正误.
组数
分组
“环保族”人数
占本组的频率
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
（1）求 、 、 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替，结果按四舍五入保留整数）；
（3）从年龄段在 的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 人进行专访，并在这 人中选取 人作为记录员，求选取的 名记录员中至少有一人年龄在 中的概率.
所以数据 、 、 、 的平均数为 ，
故答案为： .
14. 已知 ， 满足约束条件 ，若 的最大值为 ，则 __________．
【答案】
【解析】
画出可行域，当直线 的截距最大时， 取得最大值，若 ，则目标函数在 点取得最大值，若 ，则目标函数在 点取得最大值，分别求解即可得到答案．
【详解】画出 ， 满足的可行域（见下图阴影部分），
（2）利用正弦定理，可得 ，进一步可得 ，然后根据 ，可得 ，最后利用勾股定理，可得结果.
【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 .
如图
由四棱柱的性质可知 // ，
且 ，则 // .
∵四边形ABCD为平行四边形，∴ .
同理 ，∴ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ // .
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 .
21. 已知函数 ， ，函数 在点 处的切线与函数 相切.
（1）求函数 的值域；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用导数求出曲线 在点 处的切线方程，与函数 的解析式联立，由 可求得 的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数 的值域；
（2）要证明 ，即证 ，即证 ，求出函数 的最小值，并利用导数求出函数 的最大值，由此可得出结论.
2020届山西省太原五中高三下学期4月一模考试
数学（文）试题
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题（共12小题）.
1. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
首先求出集合 ，再根据补集的定义计算可得；
【详解】解：因为 ， ，所以 ，
故选：B.
2. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
A. 14B. C. D.
【答案】D
【详解】还原三视图如下：
其表面积为
故选
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 若样本数据 、 、 、 的平均数为 ，则数据 、 、 、 ，的平均数为_____.
【答案】
【解析】
利用平均数公式可求得结果.
【详解】因为样本数据 、 、 、 的平均数为 ，则 ，
（2）∵ ，∴ .
又 ，∴ .
由正弦定理可得 ，
解得 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 .
又 平面ABCD，即 平面ABCD，
∴ ，CD，CA两两垂直.
∴ ，
∴ ，∴ .
19. 年下半年以来，各地区陆续出台了“垃圾分类”的相关管理条例，实行“垃圾分类”能最大限度地减少垃圾处置量，实现垃圾资源利用，改善垃圾资源环境，某部门在某小区年龄处于 岁的人中随机地抽取 人，进行了“垃圾分类”相关知识掌握和实施情况的调查，并把达到“垃圾分类”标准的人称为“环保族”，得到如图示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
则方程 应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在 内，一个根在 内，
设 ，因为 ，则只需 ，解得： ，
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
三、解答题（共5小题，满分60分）
17. 已知数列 是等比数列， ， 是 和 的等差中项.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【详解】（1）由 得 ，
∴ 圆 的圆心坐标为 ；
（2）设 ，则
∵ 点 为弦 中点即 ，
∴ 即 ，
∴ 线段 的中点 的轨迹的方程为 ；
（3）由（2）知点 的轨迹是以 为圆心 为半径的部分圆弧 （如下图所示，不包括两端点），且 ， ，又直线 ： 过定点 ，
当直线 与圆 相切时，由 得 ，又 ，结合上图可知当 时，直线 ： 与曲线 只有一个交点．
【详解】 满足 的 有 个， 方程 有4个根，
设 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增， ，
画出函数 的大致图象，如图所示：
，
保留函数 的 轴上方的图象，把 轴下方的图象关于 轴翻折到 轴上方，
即可得到函数 的图象如下图所示：
令 ，则 ，
所以要使方程 有 个根，
【详解】（1）切点 ， ，则 ， .
所以，函数 在点 处的切线方程为 ，即 .
函数 在点 处的切线与函数 相切.
联立 ，化为 ，
， ，解得 .
，所以，函数 值域为 ；
【答案】A
试题分析：由 ，得 或 ，所以 ，故选A．
5. 已知双曲线 的左右焦点为 ， ，点 为双曲线 上任意一点，则 的最小值为( )
A. 1B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
根据双曲线的定义，设点 在双曲线 右支上，则 ，设 ，再根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：由题意知， ， ，不妨设点 在双曲线 右支上，则 ，设 ，所以 ，所以当 时， 的值最小，最小为1，故选：A.
【详解】解：对于①，逆否命题为： ， 都小于1，则 是真命题
所以原命题是真命题
对于②， ，反之不成立，取 ，不能说 ，所以②是假命题；
对于③， ， ， ；显然是真命题；
对于④，函数 是奇函数，函数的对称中心为 ，则 的图象是 的图象向右平移1个单位得到的，所以 关于 对称．是真命题；
故选： ．
7. 执行如图所示的程序框图.则输出的所有点 （ ）
【答案】D
【详解】由题意可得 ： ，且： ，
据此有： .
本题选择D选项.
3. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得 与 的夹角 的值．
【详解】 ，
即 .
，.4ຫໍສະໝຸດ 若 ，则 （ ）A. B. C. 1D.
【详解】 函数 的图象向右平移 个单位后与原函数的图象关于 轴对称，
则平移后函数的解析式为 ，
， ，
当 时， 取得最小正值，此时 ，因此， 的最小正值为 .
故答案 ： .
16. 已知 ， 若满足 有四个，则 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
满足 的 有 个，等价于方程 有 个根，设 ，利用导数得到函数 的单调性和极值，画出函数 的大致图象，再利用函数图象的变换得到函数 的大致图象，要使方程 有 个根，则方程 应有两个不等的实根，根据图象得出这两根的范围，设 ，再利用二次函数根的分布列出不等式，即可解出 的取值范围.
【详解】在等差数列 中，由 ，得 ， ， ，
在等比数列 中，由 ，得 ， ， ，
则 .
故选：D.
11. 抛物线 的焦点为 ，点 是抛物线 上的点， 为坐标原点，若 的外接圆与抛物线 的准线相切，则该圆面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
依题意可得 的外接圆的圆心 一定在抛物线上，且圆心 在 的垂直平分线上，所以 ，从而求出外接圆的半径以及圆的面积；
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）等比数列 中， ， 是 和 的等差中项，由等比数列的公比表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；
（2）把（1）中求得的结果代入 ，求出 ，利用错位相减法求出 .
【详解】（1）设数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ， .
因为 是 和 的等差中项，所以 .
【详解】（1）由题意得： ；
（2）根据频率分布直方图，估计这 人年龄的平均值为： ；
（3）从年龄段在 的“环保族”中采取分层抽样的方法抽取 人进行专访，
从 中选： 人，分别记为 、 、 、 、 ，
从 中选： 人，分别记为 、 、 、 ，
在这 人中选取 人作为记录员，所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种，