保险精算3

永续年金
永续年金：每期收付款1单位元，而收付款的 次数没有限制，永远持续的年金。 期初付永续年金现值:每期初收付款1单位元的 永续年金在初始时刻的现值。

a 1 v v ...
2
..
1 1 ＝ 1 v d
期末付永续年金
a v v 1 v v v ... 1 v iv i
2 3
永续年金与定期年金的关系式
an a v a
n

永续年金积累值是否存在?
课堂练习13

例:某单位在20年内每年初存入银行5000元建 立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第二 年起，每年初提取固定金额奖励一名有突出贡 献的职工，这种奖励形式持续下去。假设利率 为8%，求每次能够提取的最大金额。
课堂练习11
在t＝0时刻，小王存了625元到A账户， 以6％的单利记息；在第2年末，小李存 了400元到B账户，以δt＝1/(6+t) ，t ≥2记 息。两个账户在n年末相等，求n为多少？ a 23 b 24 c 25 d 26 e 27 (d)

课堂练习12
资金A账户按以下方式记息。前4年，按 单利为2％记息，后4年，按δ t＝ 0.2/(1+0.2t) 记息，后4年，按δ t＝ 0.4记 息 ，在第10年末，账户共有资金1000元， 求： （1）账户初期本金是多少？ （2）第9年初账户资金为多少？ （3）i9为多少？
v
n
v(1 v ... v v an a n (1 i )an
.. ..
n2
v
n 1
)
延期m年支付的期初付年金
m
| an v v
m m ..
..
m2 2
... v
m n 1
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m
n 1

期初年金
1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 ......

表示符号： n 或者 a a
..
..
期末年金
1 0 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 ......

表示符号：an 或者a
定期年金
1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 ...... 1 n

1 q
期初付年金现值
vn-1 ... v2 v 1 0
1 1 ..
1 2
1 3
2
1 4
1 ...
n 1
1 n-1 n
a n 1 v v ... v 1 v 1 v 1 v d
n n
期末付年金现值
vn ... v2 v 1 0 1 1 2
2
1 3
1 4 n 1
n
课堂练习12
（1）某人从银行贷款10万元用来购房，贷款 年利率为6%，计划在12年等额还清贷款，求每 年初应还多少钱？ （2）试计算年利率5%条件下，每年末（初） 投资2000元，投资十年的现值。 （3）某银行客户想通过零存整取方式在1后可 得20000元，在月复利0.3%的情况下，问每月 末需存入多少钱才能达到其目的?
)
a mn a m
..
..
延期 n a m
..
..
..
1
0
1
1
1
...
1
m-1
1
m
1
1
1
m+n-1
m+1 m+...
年金的终值
年金的终值：一系列收付款在收付期末的积累 值之和。 期末付年金终值：表示每期末收付1单位元， 收付期为n期的年金终值。

年金
年金:按照相等时间间隔支付的一系列款项。 注意： 支付间隔相等


每次支付金额可以不同 确定年金：收付款有确定的起讫时间且与人 的生命无关。 生存年金：以年金保险的被保险人的生存为 条件，在保险有效期内按照年金方式支付保险 金的保险。
年金的分类
按年金收付的时点不同：期初年金和期 末年金 按年金收付的总体时间：定期年金和延 期年金 按每期年金收付额有无变化分为：定额 年金和变额年金
1
0 1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
......
1
n
延期n年的期初（末）付年金
1 0 1 2 ...... n 1 n+1 1 0 1 2 ...... n n+1 延期n年 1 n+2 1 n+2 1 n+3 1 n+3
年金的现值
年金的现值：一系列收付款在收付期初的值。 期末付年金现值：复利率i下,每期末1单位元， 共收付n期的年金现值。 常见公式： n 1 q 等比数列求和公式 sn a1
n
1 ...
1 n
n n
an v v ... v
n
v
1 v 1 v 1 v v v 1 v iv i
期初付年金现值与 期末付年金的关系
v vn-1 ... v2 v 1
1 2
1 3
1 4
1 ...
1 n-1
1 n
0
1
an v v ... v
2
n 1
课堂练习14
已知i=6%,问现在存入多少元,以后每年初能取 10000元？ 已知i=6%,现向银行存入10000元，问在以后的 每年年末可取出多少元？


1
1
1
...
1
1
1
年金终值的计算
sn (1 i )
n 1 n
(1 i )
n2
... (1 i) 1
1 (1 i) (1 i) 1 1 (1 i) i
n
(1 i) 1 isn
n
sn 和an 的关系
1 1 sn an (1 i ) i an sn