新北师大版中考数学动点学生版

动点问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:动中求静.
数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
中考数学（动点问题）考试分析
2009 2010 2011
动点个数两个一个两个
问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边
上移动
抛物线中特殊直角梯形底边
上移动
考查难点探究相似三角形探究三角形面积函
数关系式
探究等腰三角形
考点①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线、抛物线解析式
④相似三角形
⑤不等式
①求直线解析式
②四边形面积的表
示
③动三角形面积函
数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标
②探究平行四边形
③探究动三角形面积是定值
④探究等腰三角形存在性
特点①菱形是含60°的特殊菱形；
△AOB是底角为30°的等腰三角
形。

②一个动点速度是参数字母。

③探究相似三角形时，按对应角
不同分类讨论；先画图，再探究。

④通过相似三角形过度，转化相
似比得出方程。

⑤利用a、t范围，运用不等式求
出a、t的值。

①观察图形构造特
征适当割补表示面
积
②动点按到拐点时
间分段分类
③画出矩形必备条
件的图形探究其存
在性
①直角梯形是特殊的（一底
角是45°）
②点动带动线动
③线动中的特殊性（两个交
点D、E是定点；动线段PF
长度是定值，PF=OA）
④通过相似三角形过度，转
化相似比得出方程。

⑤探究等腰三角形时，先画
图，再探究（按边相等分类
讨论）
共同点①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；
④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。

典型例题（历年真题）
一、三角形边上动点
1、如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B﹣A﹣C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y 与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）试判断△DOE的形状，并说明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？
2、如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA 上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：△PQE∽△PMF；
（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．
3、如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点．
（1）若BK ＝25KC ，求AB
CD
的值；
（2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE ＝2
1
AD 时，猜想线段A B ．B C ．CD 三者之间有怎样
的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE ＝n
1
AD （n ＞2），而其余条件不变
时，线段AB ，BC ，CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．
二、特殊四边形边上动点
1、（2011•株洲，23，）如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q ． （1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）．设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．
2、在梯形O ABC中，CB∥O A，∠A O C=60°，∠O AB=90°，O C=2，BC=4，以点O为原点，O A所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△D EF，D E在x轴上（如图（1）），如果让△D EF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D与点A重合，当点D到达坐标原点时运动停止．
（1）设△D EF运动时间为t，△D EF与梯形O ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（2）探究：在△D EF运动过程中，如果射线D F交经过O、C、B三点的抛物线于点G，是否存在这样的时刻t，使得△O A G的面积与梯形O ABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
三、直线上动点
1、（2011年山东省东营市，24，12分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直
线
1
2
y x b
=+交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段0A上时，且tan∠DEC=1
2
．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边
形O
1A
1
B
1
C
1
，试探究四边形O
1
A
1
B
1
C
1
与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求
出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
2、在平面直角坐标系XOY中，一次函数y＝3
4
x＋3的图象是直线l
1
，l1与x轴．y轴分别相
交于A．B两点．直线l2过点C（a，0）且与直线l1垂直，其中a＞0．点P．Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位．
（1）写出A点的坐标和AB的长；
（2）当点P．Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线l2．y轴都相切，求此时a的值．
四、抛物线上动点
1、如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．
2、如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1﹣m）（m为常数）．
（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；
（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变；
（3）当P移动到点（）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．
3.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD＝ 90°，BC
与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（－1，0），B( －1，
2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经
过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P．使得PA＝PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QE QC
最大？并求出最大值．。