三角函数专题培训市公开课一等奖百校联赛特等奖课件

P
2、终边在同一位置角，同名函数值是否相等？ （引导学生思索定义，由定义得出结论）
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终边相同角同名三角函数值相等。
sin K.3600 sin, K Z cos K.3600 cos, K Z
tan K.3600 tan, K Z
sin 2 sin,
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三角函数是以实数为自变量函数
实数 →角（其弧度数等于这个实数） →三角函数值（实数）
角 一一对应 弧 一一对应
度
度
数
数 即是实数
实 数
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三角函数定义域
由sin y , cos x 知，不论 终边在
r
r
什么位置，因为r 恒大于零,所以
y
和
r
x都 r
存在。即角 取任何值sin 和 cos都有意义。
A.
144 65
B. 65 144
C.
144 65
D. 65 144
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提问：
?
对于确定角 这三个比值大小和点 P 在角 终
边上位置是否相关呢？
P4(x4,y4) P3(x3,y3) P2(x2,y2) P1(x1,y1)
Px, y
y
P
P4
P3
P2 P1
O
A1 A2 A3 A4
x
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如上图示：o A1 P1 ∽ o A2 P2 ∽ o A3 P3 ∽ o A4 P4
--
y
-+
x O
-+
y
-+
x O
+-
sin
cos
tan
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
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例三
确定以下三角函数值符号
（1）
cos 2
3
（3）
sin
3
（2） tan 7
6
点评：先判断角所在象限；然后，判断符号
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练习
1、若sinα<0,cos α>0，则角α是第
象限角
2、若sinα=⅓，且角α终边过点N(-1,y),则角α是（ ）
(2) sin tan cos
注意：上述基本关系式变式 有几个？
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例四
已知sina=3/5,且a是第二象限角，求cosa和tana值。
点评 ：（1）利用平方关系求余弦
（2）再利用商数关系求正切
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反馈练习
已知 cos 3 ,0 ，求 cos 和 tan
值
5
2
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例五 化简以下三角函数式：
Px, y
y Mx
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任意角三角函数定义
我们已经学习过锐角三角函数，知道
它们都是以锐角 为 自变量，以比值
为函数值函数，定义了角 正弦 、余 弦、正切三角函数；也得出了坐标系 内三角函数。本节课我们研究当角 是任意角时 三角函数
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任意角三角函数定义 (本节重点)
r x 2 y 2 x2 y2 0
A.第一象限角 C.第一或第二象限角
B.第二象限角 D. 第二或第三象限角
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依据三角函数定义，
只要 ，
则
2
同角三角函数基本关系式
y
sin cos
r x
y r
r x
y x
tan
r
sin2 cos2 y 2 x 2
r r
x2 y2 r2
r2 r2 1
(1) sin2 cos2 1
（1） 1 sin 1 sin (2700 3600 )
cos
（2）
cos sin
1 1
tan
点评：（1）利用平方差公式和平方关系变形化简
（2）将切化成弦，再进行化简
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反馈练习
化简以下三角函数式：
（1） cos tan
（2） sin cos 1 sin2
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小结
三角函数定义是本节重点，由定义可得到三 角函数定义域和值域及终边相同角同名函 数值关系。
以任意角 顶点为原点，角 始边为x轴正半轴，建立 直角坐标系xoy，在 终边上任意取一点P(x,y)，设点
P到原点距离是r，则有 r x 2 y 2 x2 y2 0
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y
P (x, y) r
我们要求：
o
x
正弦： sin y
r
y
余弦： cos x
r
正切： tan y
ro
x
x
P (x, y) y
故 P1A1 P2 A2 P3 A3 P4 A4 OP1 OP2 OP3 OP4
y r
OA1 OA2 OA3 OA4 ... x
OP1 OP2 OP3 OP4
r
P1A1 P2 A2 P3 A3 P4 A4 ... y
OA1 OA2 OA3 OA4
x
三角函数值与点P在终边上位置无关,只与角大小相关.
32
4
2
5
依据三角函数定义可得：
sin y 4 4
r5 5
cos x 3
r5
tan y 4 4
x3 3
p (3,-4)
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巩固练习：
（1）已知角α终边过点p(3,-4),则sin α=
cos α=
，tan α=
。
（2）若角α终边上有一点p(5a,-12a)(a<0)，
则sin αtan α值是（ ）
sin 7 sin 2 sin 2
4 4 4 2
cos 7 cos 2 cos 2
4 4
42
tan 7 tan 2 tan 1
4 4
4
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正、余弦函数值域
借助单位圆，利用正弦线、余弦线求值域．
正弦 线
y 余弦线
y
Px, y
r
y
O
x
M
x
将直角三角形OMP 放在直角坐标系中
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坐标系内三角函数
对照上图，显然x、y就是角邻边和
对边长，r是斜边长。由此我们得到
c
sin
a c
p的纵坐标 p到原点的距离
y r
O
b
cos
b c
p的横坐标 p到原点的距离
x r
tan
a b
p的纵坐标 p的横坐标
y x
r
O
x
P a
M
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复习引入
锐角三角函数
如图所表示，在直角三角形中，M 是 直角。角 对边是 a ，邻边是 b ， 斜边是c ，则有
sin
的对边
斜边
a c
cos
的邻边
斜边
b c
tan
的对边
邻边
a b
o
邻边 b
o
P
a
M
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对边
坐标系内三角函数
以O为原点，邻边OM所在直线 为x轴，建立如图所表示平面 直角坐标系。点P坐标为(x,y)， 点p到原点距离为r。你能利用 点p坐标来定义三角函数吗？
弦线等于单位圆半径1.即
cos 1
当角 终边在 轴Y 上时，余弦线变成一个点，正
弦线等于单位圆半径1．即
sin 1
正、余弦函数值域： 1,1
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练一练
（1）900
求以下各角三个三角函数值 （依据定义）
po, y
ry
sin 900 y y 1 rr
cos 900 x 0 0 rr
我们知道是极少，我们不知道是无限。
What we know is not much. What we do not know is immense.
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知识综述
1. 锐角三角函数定义 2. 任意角三角函数定义 3. 三角函数定义域 4. 终边相同角同名函数值关系 5. 三角函数线 6. 三角函数值符号 7. 同角三角函数基本关系
cos 2 cos, tan 2 tan,
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例二 求角3900和 7 正弦、余弦及正切函数值 4 解：sin 3900 sin 300 3600 sin 300 1 2 cos 3900 cos 300 3600 cos 300 3 2 tan 3900 tan 300 3600 tan 300 3 3
故sin 和 cos 定义域都是R
由tan = y 知，因为分母不能为零，所以角 终边不
x
能在y轴上， 即
≠ k
,k Z 。
故tan
定义域是
2
2
,
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2.三个三角函数定义域
三角函数
定义域
sin
R
cos
R
tan
{ | k , k Z}
2
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有没有数个
提问
1、终边在同一个位置角有多少个？
r
o
x
y
o rx
P (x, y)
上述比值大小仅随角 大小改变而
改变。所以，这些比值都是角 函
数，它们都是三角函数。
P (x, y)
只要知道角终边上任一点坐标，便可求出它三角函数值
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例1
（利用定义求解）
已知角终边经过点p(3,-4)，求 正弦、余弦、及正
切函数值。
解： 由点 P3,4 可知
x 3, y 4, r
弧度 0
3
6
43
2
2
sin 0 1 2
cos 1
3 2
2
3
2
2
2
1
2
2
1 0 1
0 1 0
tan 0
3
1
3
3 不存在 0 不存在
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三角函数值符号
在平面直角坐标系中，象限内点坐 标正负规律以下列图所表示。
y
, ,
x O
, ,
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4、三角函数在各象限内符号
由三角函数定义可知：
y
++
x O
B
px, y
Ax
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当角 终边不在坐标轴上时，我们把OA,AP都看 成带有方向线段，这种带方向线段叫有向线段。 由正弦、余弦函数定义知：
sin y y y AP
r1
cos x x x OA
r1
正弦线 余弦线
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有向线段AP叫做正弦线，有向线段OA叫做余弦线
当角 终边在 轴X 上时，正弦线变成一个点，余
tan 900 y y 不存在 x0
（2）1800
px,0
r x
0 sin1800 y 0 0 rr
cos1800 x x 1 r x
tan1800 y 0 0 xx
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度 00 弧度
300 450 600 900 1800 2700
sin
cos
tan
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度 00 300 450 600 900 1800 2700
由三角函数定义也可得出三角函数在各象限 内符号；一样，也可推导出同角三角义相与析！
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