(全国通用版)2018-2019高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同

第一章 1.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系
A 级 基础巩固
一、选择题
1．α是第四象限角，cos α＝12
13，则sin α等于( B )
A ．513
B ．－513
C ．512
D ．－512
[解析] ∵α是第四象限角，∴sin α<0． ∵⎩⎪⎨
⎪⎧
cos α＝1213，sin 2α＋cos 2α＝1，
∴sin α＝－5
13
．
2．已知cos α＝23，则sin 2
α等于( A )
A ．59
B ．±59
C ．
53
D ．±
53
[解析] sin 2α＝1－cos 2
α＝59
．
3．已知α是第四象限角，tan α＝－5
12，则sin α＝( D )
A ．15
B ．－15
C ．513
D ．－513
[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tan α′＝5
12
，构造直角三角形如图，则|sin α|＝sin α′＝5
13
，
∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－5
13．
4．化简：(1＋tan 2
α)·cos 2
α等于( C )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
[解析] 原式＝(1＋sin 2
αcos 2
α)·cos 2
α ＝cos 2
α＋sin 2
α＝1．
5．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2
α＋sin αcos α值为( B ) A ．95 B ．65 C ．3
D ．4
[解析] 由sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， 又sin 2
α＋sin αcos α＝sin 2
α＋sin αcod α
sin 2α＋cos 2
α
＝tan 2
α＋tan α1＋tan 2
α＝1210＝65
． 6．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2
3，那么这个三角形的形状为( B )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
[解析] (sin α＋cos α)2
＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，
又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角． 二、填空题
7．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则∠A ＝__60°__．
[解析] ∵2sin 2A ＝3cos A ，∴2(1－cos 2
A )＝3cos A ，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，∴cos A ＝12，
cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝60°．
8．已知tan α＝cos α，那么sin α＝
2
． [解析] 由于tan α＝sin αcos α＝cos α，则sin α＝cos 2α，所以sin α＝1－sin 2
α，解得sin α
＝
－1±5
2
． 又sin α＝cos 2
α≥0，所以sin α＝－1＋52．
三、解答题
9．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α(1＋1tan α)＝1sin α＋1
cos α．
[证明] 左边＝sin α(1＋sin αcos α)＋cos α(1＋cos α
sin α)
＝sin α＋sin 2
αcos α＋cos α＋cos 2
α
sin α
＝sin 2
α＋cos 2
αsin α＋sin 2
α＋cos 2
α
cos α
＝
1sin α＋1cos α
＝右边． 即原等式成立．
10．已知tan α＝7，求下列各式的值． (1)sin α＋cos α2sin α－cos α
； (2)sin 2
α＋sin αcos α＋3cos 2
α．
[解析] (1)sin α＋cos α2sin α－cos α＝sin α＋cos α
cos α2sin α－cos αcos α＝tan α＋12tan α－1＝7＋12×7－1＝8
13
．
(2)sin 2
α＋sin αcos α＋3cos 2
α＝sin 2
α＋sin αcos α＋3cos 2
α
sin 2α＋cos 2
α
＝sin 2α＋sin αcos α＋3cos 2
α
cos 2αsin 2α＋cos 2αcos 2α＝tan 2α＋tan α＋3
tan 2
α＋1
＝49＋7＋349＋1＝5950
．
B 级 素养提升
一、选择题
1．已知sin α－cos α＝－5
4，则sin α·cos α等于( C )
A ．
74
B ．－916
C ．－932
D ．932
[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sin αcos α＝2516，故sin αcos α＝－9
32
．
2．若π<α<3π
2，
1－cos α
1＋cos α＋
1＋cos α
1－cos α
的化简结果为( D )
A ．2tan α
B ．－2
tan α
C ．2sin α
D ．－2
sin α
[解析] 原式＝
1－cos α
2
1－cos 2
α
＋1＋cos α
2
1－cos 2
α
＝1－cos α|sin α|＋1＋cos α|sin α|＝2|sin α| ∵π<α<3π2，∴原式＝－2
sin α
．
3．若sin θ＋2cos θ
sin θ－cos θ＝2，则sin θ·cos θ＝( D )
A ．－417
B ．45
C ．±417
D ．417
[解析] 由sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＝4，sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2
θ＝4
17． 4．如果sin x ＋cos x ＝1
5，且0<x <π，那么tan x 的值是( A )
A ．－43
B ．－43或－34
C ．－34
D ．43或－34
[解析] 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－12
25，
∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－4
3．
二、填空题 5．已知sin θ＝
m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，则tan θ＝ －34或－5
12
． [解析] 由sin 2
θ＋cos 2
θ＝1得，m ＝0或8．
m ＝0时，sin θ＝－3
5，cos θ＝45，tan θ＝－34
；
m ＝8时，sin θ＝5
13，cos ＝－1213，tan θ＝－512
．
6．在△ABC 中，若tan A ＝
23，则sin A ＝ 2211
． [解析] 因为tan A ＝2
3>0，则∠A 是锐角，则sin A >0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
sin 2
A ＋cos 2
A ＝1，sin A cos A ＝23，得
sin A ＝
22
11
． 7．已知tan 2
α＝2tan 2
β＋1，求证：sin 2
β＝2sin 2
α－1． [解析] 由tan 2α＝2tan 2β＋1，可得tan 2β＝12
(tan 2
α－1)，
即sin 2
βcos 2β＝12(sin 2
αcos 2α－1)，故有sin 2
β1－sin 2β＝12(sin 2
α1－sin 2α－1)＝12×2sin 2
α－11－sin 2α，整理得sin 2
β1－sin 2
β＝sin 2
α－
12
1－sin 2
α
， 即sin 2β(1－sin 2α)＝(1－sin 2β)(sin 2
α－12)，
展开得12sin 2β＝sin 2α－12，即sin 2β＝2sin 2
α－1．
8．化简下列式子．
(1)cos 6
α＋sin 6
α＋3sin 2
αcos 2
α； (2)若x 是第二象限角，化简
sin x
1－cos x
·
tan x －sin x
tan x ＋sin x
．
[解析] (1)原式＝(cos 2
α＋sin 2
α)(cos 4
α－cos 2
αsin 2
α＋sin 4
α)＋3sin 2
α·cos 2
α＝cos 4
α＋2sin 2
αcos 2
α＋sin 4
α＝(sin 2
α＋cos 2
α)2
＝1．
(2)原
式
＝
sin x 1－cos x
·
sin x －sin x cos x sin x ＋sin x cos x
＝
sin x 1－cos x
·
1－cos x 1＋cos x
＝
sin x
1－cos x
·
1＋cos x 1－cos x 1＋cos x 2
＝sin x 1－cos x ·|sin x |
1＋cos x
． ∵x 为第二象限角，∴sin x >0，∴原式＝sin 2
x
1－cos 2x
＝1．
C 级 能力拔高
设A 是三角形的内角，且sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2
－5ax －12a ＝0的两个根． (1)求a 的值；
(2)求tan A 的值．
[解析] (1)∵sin A 和cos A 是关于x 的方程25x 2
－5ax －12a ＝0的两个根， ∴由韦达定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧
sin A ＋cos A ＝1
5
a ，①sin A ·cos A ＝－12
25
a ，②将①两边分别平方得sin 2
A ＋2sin A cos A ＋
cos 2
A ＝125a 2，即1－2425a ＝a
2
25，解得a ＝－25或a ＝1.当a ＝－25时，sin A ＋cos A ＝－5不合题意，
故a ＝1．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
sin A ＋cos A ＝a
5
，sin A cos A ＝－12
25
a ，得sin A >0，cos A <0，∴sin A ＝45，cos A ＝－35.∴tan A ＝sin A
cos A
＝
－4
3
．。