粒子物理与核物理试验中的

,,
∂x2 ∂x= n
∂xn
,
∂xn
,
,
∂xn
1,
0, ,
0
0,1,= , 0
0, 0 ,,1
I
∂x1 ∂x2 ∂xn
10
一些常用公式(1)
= (1) ∂xT ∂x
I= , ∂∂xxT
I
若A为维n方矩阵，为维y 列n向量，且都与无关x：
= (2) ∂∂AxTx
A= , ∂xT A ∂x
=J d= et(∂∂yxT ) det= (∂∂Ay−T1 y ) det( A−1) 所= 以，得g(证y) 。f= ( A−1 y) J f ( A−1 y) d t( A−e1)
本讲义以实函数为例
3
向量微分的定义(1)
对列向量和行向量的微分（梯度）定义
对列向量的梯度：
相对于n向×量1 ( 的列梯向度)量算子x记作，定义为 ∇x
∇x
≡
∂
∂x1
∂ , ∂x2
∂ ,, ∂xn
T
=∂ ∂x
对行向量的梯度：
相对于1向×量n ( 的行梯向度)量算子xT记作，定义为 ∇xT
∂ ∂
∂ ∂
∇ xT
≡
∂x1
,
∂x2
,,
∂xn
=∂xT
4
标量函数对向量的梯度
所以，假设标量函数f以( x维) 列n向量为变元x ，
其相对于x的梯度是维n ，列向量
T
∇
x
f
(
x)
≡
∂f ( x) ∂x1
,
∂f ( x) ∂x2
,,
∂f ( x) ∂xn
= ∂f ( x) ∂x
而f相( x对) 于行向量的梯x度T 是维， n 行向量
A,
= (3) ∂xT Ay A= y, ∂yT Ax ∂xT AT y = AT y(!!!!)
∂x
∂x
∂x
(4) ∂xT Ax = Ax + AT x ∂x
11
一些常用公式(2)
形式上，普通微分的一些法则都适用于向量微分,如
(1) f ( x) = c ⇒ ∂c = 0 ∂x
(2) ∂[c1 f ( x) + c= 2 g( x)] ∂x
(b)当是A 正交矩阵，即时A，−1 求= A。T
g( y)
13
续上
解：(a根) 据公式 (1.37), g(a1,..., an ) = f (x1,..., xn ) J , 很容易得到本题所求为 = g( y) f= ( x) J f ( A−1 y) J ， 其中为J Jacobian矩阵的行列式，即
∇ xT
f
(x)
≡
∂f ( x)
∂x1
,
∂f ( x) ∂x2
,,
∂f ( x)
∂xn
= ∂f ( x) ∂xT
1)梯度的分量给∂f出( x了) 在第个f方( x向) 上的i 变化率。 ∂xi
2)标量函数对列向量的微分结果为列向量
标量n
∑ 标量函数= ，f ( x求) 和x= T x ( xi2 ) i =1
相对于n维行向量的xT梯度是一个矩阵m，× n
∂y1( x ∂x1
)
,
∂y1( x) ∂x2
,,
∂y1( x ∂xn
)
∂y ∂xT
≡
∂y2 ( x) ∂x1
,
∂y2 ( x ∂x2
)
,
,
∂y2 ( x) ∂xn
= ∇ xT y
∂ym
(
x
)
,
∂ym
(
x
)
,
,
∂ym
(
x)
∂x1
c1
∂f ( x) ∂x
+
c2
∂g( x) ∂x
(3) ∂= f ( x)g( x) ∂f ( x) g( x) + f ( x) ∂g( x)
∂x
∂x
∂x
= (4 ∂)f ( x) / g( x) ∂x
1 g 2 ( x)
g(
x)
∂f ( x) ∂x
−
f
(x)
∂g( x) ∂x
(5) ∂f ( y( x)) = ∂yT ( x) ∂f ( y)
粒子物理与核物理实验中的 数据分析
杨振伟 清华大学
第?讲：数学基础： ——向量微分
本讲要点
向量微分定义 标量函数对向量的梯度 向量函数对向量的梯度 向量微分常用公式 举例
2
简介
本课程很多问题涉及到向量微分。处理这些问题， 可以按分量展开解决，但是直接进行向量微分会 方便很多。
函数对向量的微分形式与普通微分类似，只是微 分后的结果是向量或者矩阵，不论被微分的函数 本身是标量函数还是矢量函数(或者矩阵)
,
,
∂xn
1, 0,, 0
0,1,= , 0
0, 0 ,,1
I
∂xn ∂xn ∂xn
9
再举例(2)
(2)列向量函数求 g( x) = x, ∂g( x) ∂xT
∂∂gx(= Tx)
∂∂= xxT
∂x1
∂x1
, ∂x1 ∂x2
, , ∂x1 ∂xn
∂x2
∂x1
,
∂x2 ∂x2
,,
∂f ( x) ∂xn
[= 2x1, 2x2 ,, 2xn ] 2 x（T 行向量） 6
推广到矩阵函数(1)
m维函行数向量 f ( x) = [ f1( x), f2 ( x),, fm ( x)]
相对于n维列向量的x 梯度是一个n矩×阵m，
∂f1( x ∂x1
)
,
∂f2 ( x ∂x1
∂x2 ∂xn
注：这正是Jacobi矩阵 8
再举例(1)
(1)行向量函数求f ( x) = xT , ∂f ( x) ∂x
∂f (= x) ∂x
∂= xT ∂x
∂x1
∂x1
,
∂x2 ∂x1
,,
∂xn ∂x1
∂x1
∂x2
,
∂x2 ∂x2
,,
∂xn ∂x= 2
∂x1
,
∂x2
∂x
∂x ∂y
12
例子(Exercise1.8)
假设n维随机变量的x联= 合(x1为,...，, xn )T
p.d.f. f ( x)
变量是y 的(= y线1,.性..,变yn换)T ，x即 , y Ax
n
∑ 。yi = Aij x j j =1
假设逆变换x存=在A。−1 y
(a)证明y的联合为p.。d.f. g( y) = f ( A−1 y) det( A−1)
∂f ( x) ∂f ( x)
∂x
∂xT
解：根据对列向量和行向量微分的定义，
∂f ( x) ∂x
=
∂f ( x) ∂x1
,
∂f ( x) ∂x2
,,
∂f ( x) ∂xn
T
[= 2x1, 2x2 ,, 2xn ]T 2x（列向量）
∂f ( x) ∂xT
=
∂f ( x) ∂x1
,
∂f ( x) ∂x2
)
,
,
∂fm ( x ∂x1
)
∂f ( x) ∂x
≡
∂f1( x)
∂x2
,
∂f2 ( x) ∂x2
,,
∂fm ( x)
∂x2
= ∇x f ( x)
∂f1
(
x
)
,
∂f2
(
x
)
,
,
∂fm
(
x
)
∂xn ∂xn ∂xn
7
推广到矩阵函数(2)
m维函列数向量 f ( x)= y= [ y1( x), y2 ( x),, ym ( x)]T