中考数学压轴题专题复习—二次函数的综合

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）
(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】
分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+.
∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，
∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，
得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩
， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭
. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
2．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】
（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB OA
==3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为 09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； （2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b a
=-
=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；
②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，
∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴13
EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）． ∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．
当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．
综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；
（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点P 的坐标为（
73，209）或（103，﹣139
）， 【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为
负倒数设直线PC的解析式为y=-1 3
x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-
1
3
x+3，再解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物
线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得
3
p q
q
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
3
3
p
q
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=M B′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y=3x+3，
∴直线PC的解析式可设为y=﹣1
3
x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3
x+3，
解方程组
223
1
3
3
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
-+
⎪⎩
＝
＝
，解得
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
7
3
20
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
7
3
，
20
9
）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得1
3
+b=0，解得b=﹣
1
3
，
∴直线PC的解析式为y=﹣1
3x﹣
1
3
，
解方程组
223
11
33
y x x
y x
⎧-++
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
，解得
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
10
3
13
9
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则此时P点坐标为（
10
3
，﹣
13
9
）.
综上所述，符合条件的点P的坐标为（7
3
，
20
9
）或（
10
3
，﹣
13
9
）.
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
4．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；
（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．
【答案】（1）21342
y x x =
-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=
⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q 213m,m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC
=时，△PQO ∽△COA ，则
213m m 2|m |42-=；当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422
-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3，
∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6），
把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝
14， ∴抛物线解析式为y ＝
14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32
x ； （2）设M （t ，0）， 易得直线OA 的解析式为y ＝
12
x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ， 把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2b 12
=⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12，
∵MN ∥AB ，
∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ，
把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ，
∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ， 解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM
1124t t t 223
=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3
=-+ 21(t 3)33
=--+， 当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；
（3）设213m,m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，
∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84
=， ∴PQ ＝2PO ，即
213m m 2|m |42-=， 解方程
213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213m m 2m 42
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）；
∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48
=， ∴PQ ＝
12PO ，即2131m m m 422-=， 解方程2131m m m 422=
-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）； 解方程2131m m m 422
=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000
（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【解析】
【分析】
（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题.
【详解】
解：
（1）依题意，易得销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系：y ＝600﹣10（x ﹣40）＝﹣10x+1000
获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系为：w ＝y•（x ﹣30）＝（1000﹣10x ）（x ﹣30）＝﹣10x 2+1300x ﹣30000
（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46
w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10（x ﹣65）2+12250
∵a ＝﹣10＜0，对称轴x ＝65
∴当44≤x≤46时，y 随x 的增大而增大
∴当x ＝46时，w 最大值＝8640元
即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.
6．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．
（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；
（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？
（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) S=﹣231003t 0＜t ＜5）； (2)
307;(3)见解析. 【解析】
【分析】
（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；
（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3
AM=AO+OM ，列方程可得t 的值； （3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值．
【详解】
解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=
12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°，
∵AB=20，
∴OB=10，3
由题意得：AP=4t ，
∴PQ=2t ，3，
∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322
t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）；
（2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ，
∵点Q 关于O 的对称点为M ，
∴OM=OQ ，
设PM=x ，则AM=2x ，
∴AP=3x=4t ，
∴x=3
， ∴AM=2PM=
3， ∵AM=AO+OM ，
∴
3=103+103﹣23t ， t=307
； 答：当t 为
307
秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，
如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积，
∴S △APN =S △PMN ，
过M 作MG ⊥PN 于G ， ∴
11··22
PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，
易得△APH ≌△MGH ， ∴3
， ∵AM=AO+OM ，
同理可知：3﹣3，
3
333t ， t=3011
．
答：当t为30
11
秒时，使得直线PN平分四边形APMN的面积．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.
7．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（1
2
，
9
2
），对称轴交AB于点N．
①求抛物线的解析式；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．
【解析】
【分析】
（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝
a
2
19
22
x
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
，把点B的坐标代入求得a的值即可；
②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣
2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，
根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝3
2
，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐
标，然后推知PN＝MN是否成立即可；
（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数
S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．
【详解】
解：①如图1，
∵顶点M的坐标是
19
,
22
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴设抛物线解析式为y＝
2
19
22
a x
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
（a≠0）．
∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．
又∵点B在该抛物线上，
∴
2
19
22
a
⎛⎫
-+
⎪
⎝⎭
＝4，
解得a＝﹣2．
故该抛物线的解析式为：y＝
2
19
2
22
x
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
＝﹣2x2+2x+4；
②不存在．理由如下：
∵抛物线y＝
2
19
2
22
x
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
的对称轴是直线x＝
1
2
，且该直线与直线AB交于点N，
∴点N的坐标是
1
,3
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
∴93
3
22
MN=-=．
设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．
∵PD∥MN．
当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝3
2
．
解得 m1＝1
2
（舍去），m2＝
3
2
．
此时P（3
2
，1）．
∵PN
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形．
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：
设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．
由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝1
2
OB•OA＝
1
2
×4×2＝4．
则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．
S△ABD＝1
2
（y D﹣y P）（x A﹣x B）
＝y D﹣y P
＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）
＝﹣2n2+4n
＝﹣2（n﹣1）2+2．
当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
8．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y 轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当2﹣1时，点P的坐标为（02）
和（0，22
3
）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【解析】
【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出
BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=1
2
BG•x N﹣
1
2
BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线
解析式求得
2
28
k k
-±-
，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【详解】（1）由题意知
()1211b c ⎧-=⎪⨯-⎨⎪=⎩
，解得：21b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线L 的解析式为y=﹣x 2+2x+1；
（2）如图1，设M 点的横坐标为x M ，N 点的横坐标为x N ，
∵y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4），
∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2，
∴点B （1，2），
则BG=2，
∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =
12BG•（x N ﹣1）-12BG•（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1，
由2421
y kx k y x x =-+⎧⎨=--+⎩得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：()
()22243k k k -±---228k k -±-， 则x N =2282k k -+-、x M =2282
k k -- 由x N ﹣x M =128k -，
∴k=±3，
∵k ＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，
∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），
设P （0，t ），
（a ）当△PCD ∽△FOP 时，
PC FO CD OP =， ∴112m t t
+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，
PC PO CD OF =， ∴121
m t t +-=， ∴t=
13（m+1）②； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，
△=（1+m ）2﹣8=0，
解得：21（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t 1=t 22，
方程②有一个实数根22， ∴2﹣1，
此时点P 的坐标为（02）和（0，223
）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：
19（m+1）2﹣13
（m+1）+2=0， 解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，
方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=22﹣1时，点P 的坐标为（0，2）和（0，
223
）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．
9．如图1，抛物线2:C y ax bx =+经过点(4,0)A -、(1,3)B -两点，G 是其顶点，将抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ．
（1）求抛物线C 的函数解析式及顶点G 的坐标；
（2）如图2，直线12:5
l y kx =-经过点A ，D 是抛物线C 上的一点，设D 点的横坐标为m （2m <-），连接DO 并延长，交抛物线'C 于点E ，交直线l 于点M ，
2DE EM =，求m 的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG 、AB ，在直线DE 下方的抛物线C 上是否存在点P ，使得DEP GAB ∠=∠？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）24y x x =--，顶点为：(2,4)G -；（2）m 的值为﹣3；（3）存在，点
P 的横坐标为：773+-
737-． 【解析】
【分析】 （1）运用待定系数法将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，即可求得a 和b 的值和抛物线C 解析式，再利用配方法将抛物线C 解析式化为顶点式即可求得顶点G 的坐标； （2）根据抛物线C 绕点O 旋转180，可求得新抛物线'C 的解析式，再将(4,0)A -代入125
y kx =-中，即可求得直线l 解析式，根据对称性可得点E 坐标，过点D 作//DH y 轴
交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ，由2DE EM =，即可得13ME MD =，再证明MEK ∆∽MDH ∆，即可得3DH EK =，建立方程求解即可；
（3）连接BG ，易证ABG ∆是Rt ∆，90ABG ∠=，可得
1tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=，在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH 上截取1
3
OH OE ==E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点；通过建立方程组求解即可．
【详解】
（1）将(4,0)A -、(1,3)B -代入2y ax bx =+中，得16403
a b a b -=⎧⎨-=⎩ 解得14a b =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线C 解析式为：24y x x =--， 配方，得：224(2)4y x x x =--=-++，∴顶点为：(2,4)G -；
（2）∵抛物线C 绕点O 旋转180，得到新的抛物线'C ．
∴新抛物线'C 的顶点为：'(2,4)G -，二次项系数为：'1a =
∴新抛物线'C 的解析式为：22(2)44y x x x =--=-
将(4,0)A -代入125y kx =-中，得12045k =--，解得35
k =-， ∴直线l 解析式为31255y x =--， ∵2(,4)D m m m --，
∴直线DO 的解析式为(4)y m x =-+，
由抛物线C 与抛物线'C 关于原点对称，可得点D 、V 关于原点对称，
∴2(,4)E m m m -+
如图2，过点D 作//DH y 轴交直线l 于H ，过E 作//EK y 轴交直线l 于K ， 则312(,)55H m m --，312(,)55K m m --， ∴2231217124()5555
DH m m m m m =-----
=--+，2231217124()5555
EK m m m m m =+--=++， ∵2DE EM =
∴
13
ME MD =， ∵//DH y 轴，//EK y 轴 ∴//DH EK
∴MEK ∆∽MDH ∆ ∴13
EK ME DH MD ==，即3DH EK = ∴22171217123()5555
m m m m --+=++ 解得：13m =-，225
m =-， ∵2m <-
∴m 的值为：﹣3；
（3）由（2）知：3m =-，
∴(3,3)D -，(3,3)E -
，OE =
如图3，连接BG ，在ABG ∆中，∵222
(14)(30)18AB =-++-=，22BG =，220AG =
∴222AB BG AG +=
∴ABG ∆是直角三角形，90ABG ∠=，
∴1tan 3
BG GAB AB ∠===， ∵DEP GAB ∠=∠ ∴1tan tan 3
DEP GAB ∠=∠=， 在x 轴下方过点O 作OH OE ⊥，在OH
上截取13OH OE =
= 过点E 作ET y ⊥轴于T ，连接EH 交抛物线C 于点P ，点P 即为所求的点； ∵(3,3)E -，
∴45EOT ∠=
∵90EOH ∠=
∴45HOT ∠=
∴(1,1)H --，设直线EH 解析式为y px q =+，
则331p q p q +=-⎧⎨-+=-⎩，解得1232p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴直线EH 解析式为1322y x =--，
解方程组
2
13224y x y x x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩，得117737358x y ⎧--=⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩，227737358x y ⎧-+=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩
， ∴点P 的横坐标为：773+-或
737-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，旋转变换，相似三角形判定和性质，直线与抛物线交点，解直角三角形等知识点；属于中考压轴题型，综合性强，难度较大．
10．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A(3
,-3) 和B(33,0)，过点A 作直线AC//x 轴，交y 轴与点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D ，连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出对应点P 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q ，使得13
AOC AOQ S S ∆∆=
?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）21332y x x =-；（2）P 点坐标为（383,- 43）；（3）Q 点坐标（30）或（315）
【解析】
【分析】
（1）把A 与B 坐标代入抛物线解析式求出a 与b 的值，即可确定出解析式；
（2）设P 坐标为2133,2x x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，表示出AD 与PD ，由相似分两种情况得比例求出x 的值，即可确定出P 坐标； （3）存在，求出已知三角形AOC 边OA 上的高h ，过O 作OM ⊥OA ，截取OM=h,与y 轴交于点N ，分别确定出M 与N 坐标，利用待定系数法求出直线MN 解析式，与抛物线解析式联立求出Q 坐标即可．
【详解】
（1）把3A 3)-和点(33B 0)代入抛物线得：33327330
a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩，
解得：12a =
，2
b =-，
则抛物线解析式为212y x x =
-； （2）当P 在直线AD 上方时，
设P
坐标为21,2x x x ⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，则有AD x =
2132PD x x =+， 当OCA ADP ∆∆∽时，OC CA AD DP =
=，
整理得：23186x -+=-
，即23240x -+=，
解得：x =
，即x =
或x =
此时P 4)3-； 当OCA PDA ∆∆∽时，OC CA PD AD =
=，
296x x -+=-
2120x -+=，
解得：x =
x =
此时P 6)；
当点()0,0P 时，也满足OCA PDA ∆∆∽；
当P 在直线AD 下方时，同理可得：P
的坐标为10)3-， 综上，P
的坐标为(3，4)3-
或6)
或(3，10)3-或()0,0； （3）在Rt AOC ∆中，3OC =
，AC =
根据勾股定理得：OA =
11··22
OC AC OA h =， 32
h ∴=，
13AOC AOQ S S ∆∆==
AOQ ∴∆边OA 上的高为
92
， 过O 作OM OA ⊥，截取92OM =
，过M 作//MN OA ，交y 轴于点N ，如图所示：
在Rt OMN ∆中，29ON OM ==，即()0,9N ，
过M 作MH x ⊥轴，
在Rt OMH ∆中，1924MH OM =
=，393OH ==，即93(M ，9)4， 设直线MN 解析式为9y kx =+， 把M 坐标代入得：99394=+，即3k =39y x =+， 联立得：2391332y x y x x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩
， 解得：330x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩315
x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩(33Q 0)或(23-，15)， 则抛物线上存在点Q ，使得13
AOC AOQ S S ∆∆=，此时点Q 的坐标为(330)或(23-15)．
【点睛】
二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．。