安徽省巢湖市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学监测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知过原点的直线l 与圆C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A B ，，且线段AB 的中点坐标为
(2,2)D ，则弦长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫=
=+> ⎪⎝⎭
且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3．在ABC 中，若23,5,30BC AC C ==∠=，则AB =（ ） A ．7
B ．23
C ．19
D ．37103-
4．设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤<．下列四个命题中不正确的是（ ） A ．存在一个圆与所有直线相交 B ．存在一个圆与所有直线不相交 C ．存在一个圆与所有直线相切
D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 5．化简sin 2013o 的结果是 A ．sin 33o
B ．cos33o
C ．-sin 33o
D ．-cos33o
6．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且sin :sin :sin 3:5:7,A B C =则最大角为（ ） A ．
56
π
B ．
6
π C ．
23
π D ．
3
π 7．将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，
则的最小值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生
进行问卷调查，则应抽取的女生人数为（ ） A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
9．设向量a ＝（2，4）与向量b ＝（x ，6）共线，则实数x ＝（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
10．已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（ ） A ．()2,1--
B ．()2,1
C ．()3,1-
D ．()3,1-
11．已知三条相交于一点的线段,,PA PB PC 两两垂直且,,A B C 在同一平面内，P 在平面ABC 外、PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是ABC 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心
12．若直线y x b =+
与曲线3y =b 的取值范围是（ ） A
．[1-+ B
．[3,1+ C
．[1,1-+
D
．[1-
二、填空题：本题共4小题
13．已知向量a 、b 满足|a |＝2，且b 与b a -的夹角等于
6
π
，则|b |的最大值为_____． 14
．己知函数()12f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ，则
6f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为______. 15．两平行直线1:310l ax y ++=与2:(2)10l x a y +--=之间的距离为_______． 16．已知a ，b ，x 均为正数，且a ＞b ，则
b a ____b x a x
++（填“＞”、“＜”或“＝”）． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数(
)21
4sin 2x f x x ππ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
（1）求()f x 的定义域；
（2）设α是第三象限角，且1
tan 2
α=
，求()f α的值. 18．已知公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }满足：a 1＝b 1＝3，b 2＝a 4，且a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（2）令c n ＝a n •b n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．
19．（6分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和132,12a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设4n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．（6分）已知a ()2cos ,1x =-，b (
)
3sin
cos ,1x x =+，函数()f x =a b ⋅.
(1)求()f x 在区间0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值；
(2)若函数()y f
x ω=在区间2,
3
3ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上是单调递增函数，求正数ω的取值范围. 21．（6分）已知直线l 的方程为3420x y+=-. (1)求过点()2,2-且与直线l 垂直的直线方程；
(2)求直线10x y --=与220x y +-=的交点，且求这个点到直线l 的距离.
22．（8分）近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.
（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+；
（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？ 参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+的斜率和截距的最小
二乘估计分别为1
2
2
1
,n
i i
i x y
nx b a y bx x
y nx
=--=
=--∑∑.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】
【分析】
根据两直线垂直，斜率相乘等于-1，求得直线l
的斜率为2
，进而求出圆心到直线l
的距离d =
代入弦长公式AB =求得弦长值. 【详解】
圆的标准方程为：2
2
(3)4x y -+=，设圆心(3,0)M ，
(2,2)D
，0
23
MD k -∴=
=-， l MD ⊥
，12
l MD
k k ∴=-
=
， ∴直线l
20y -=，
M ∴到直线l
的距离d =
=
=，
2AB ∴===.
【点睛】
求直线与圆相交的弦长问题，核心是利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离. 2．D 【解析】 【分析】
本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当01a <<时，函数x
y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1
x y a
=
过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x
y a =过定点(0,1)且单调递增，
则函数1x
y a =
过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【点睛】
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.
3．A 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理即可解得AB 的值． 【详解】 解：
23BC =，5AC =，30C ∠=︒，
由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-223
5(23)2523=+-⨯⨯⨯7=， 解得：7AB =，
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】
对于含变量的直线问题可采用赋特殊值法进行求解 【详解】
因为cos (2)sin 1x y θθ+-=
所以点(0,2)P 到M 中每条直线的距离221cos sin d θθ
=
=+即M 为圆22:(2)1C x y +-=的全体切
线组成的集合，所以存在圆心在(0,2)， 半径大于1的圆与M 中所有直线相交, A 正确 也存在圆心在(0,2)，半径小于1的圆与M 中所有直线均不相交，B 正确 也存在圆心在(0,2)半径等于1的圆与M 中所有直线相切，C 正确 故ABC 正确
因为M 中的直线与以(0,2)为圆心，半径为1的圆相切,所以M 中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 ABC △与 ADE 均为等边三角形而面积不等,
故D 错误，答案选D. 【点睛】
本题从点到直线的距离关系出发，考查了圆的切线与圆的位置关系，解决此类题型应学会将条件进行有效转化. 5．C 【解析】
试题分析：sin 2013o =(
)
(
)
00
00
sin 1800+213=sin 213=sin 180+33=-sin33． 考点：诱导公式．
点评：直接考查诱导公式，我们要熟记公式．属于基础题型． 6．C 【解析】 【分析】
根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知C 最大，利用余弦定理求得余弦值，从而求得角的大小. 【详解】
sin :sin :sin 3:5:7A B C = ∴由正弦定理可得：111012200120(4)(4)(4,)(4,){
()
x x AE EB x y y x y y y y y y μμμμ-+=+=⇒---=+--=-即
设3a k =，5b k =，7c k =
c 最大 C ∴为最大角
22222222
92549151
cos 2235302
a b c k k k k C ab k k k +-+--∴====-⨯⨯ ()0,C π∈ 23
C π
∴=
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】
由诱导公式将函数化简成
，再根据“左加右减”的平移原则，得到函数
，
因为平移后的函数为偶函数，则为它的一条对称轴.
【详解】
，
，
，向右平移个单位得：
，
平移后的函数恰为偶函数，为其对称轴，
时，，，即，
时，.
【点睛】
通过恒等变换把函数变成的形式，再研究三角函数的性质是三角函数题常见解题思路；三角函数若为偶函数，则该条件可转化为直线为其中一条对称轴，从而在时，函数取得最值.
8．B
【解析】
【分析】
利用分层抽样的定义和方法求解即可.
【详解】
设应抽取的女生人数为x，则
25
360540360
x
=
+
，解得10
x=．
故选B
【点睛】
本题主要考查分层抽样的定义及方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 9．B
【解析】
由向量平行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B
考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.
10．A
【解析】
先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的加法运算求出答案． 【详解】
向量()()2,1,,2a b x ==-， //a b ， 22x ∴⨯-=（），
解得4x =-， ∴214221a b +=+--=--（，）（，）（，）， 故选A ． 【点睛】
本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题． 11．D 【解析】 【分析】
根据题意，结合线线垂直推证线面垂直，以及根据线面垂直推证线线垂直，即可求解。

【详解】
连接BH ，延长BH 与AC 相交于E ，连接AH ，延长AH 交BC 于D ，作图如下：
因为,PA PC PA PB ⊥⊥，故PA ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ， 故BC PA ⊥；
因为PH ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 故BC PH ⊥；
又PA ⊂平面PAH ，PH ⊂平面PAH 故BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ， 故BC AH ⊥， 即BC AD ⊥；
同理可得：AC BE ⊥，又BE 与AD 交于点H ， 故H 点为
ABC 的垂心.
【点睛】
本题考查线线垂直与线面垂直之间的相互转化，属综合中档题. 12．D 【解析】 【分析】
将本题转化为直线与半圆的交点问题，数形结合，求出b 的取值范围 【详解】
将曲线的方程234y x x =--化简为()()()2
2
23413,04x y y x -+-=≤≤≤≤
即表示以()23A ，
为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：
由圆心到直线y x b =+ 的距离等于半径22322
b
-+=
解得122b =+或122b =-结合图象可得1223b -≤≤ 故选D 【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了转化能力，在解题时运用点到直线的距离公式来计算，数形结合求出结果，本题属于中档题 二、填空题：本题共4小题 13．4 【解析】 【分析】
在OAB 中，令,OA a OB b ==，可得6π
∠=OBA ，可得点B 在半径为R 的圆上，22sin R A
=，可得R ，进而可得||b 的最大值． 【详解】
∵向量a 、b 满足|a |＝1，且b 与b a -的夹角等于
6
π
，
如图在OAB 中，令OA a =，OB b =，可得6
π∠=OBA 可得点B 在半径为R 的圆上，1R 2
sinA
==4，R ＝1． 则|b |的最大值为1R ＝4
【点睛】
本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题． 14．1 【解析】 【分析】 将6
x π
=-
代入函数计算得到答案.
【详解】 函数()212f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭
22)166124f ππππ⎛⎫⎛⎫
-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故答案为：1 【点睛】
本题考查了三角函数的计算，属于简单题. 1522
【解析】 【分析】
先根据两直线平行求出a ，再根据平行直线间的距离公式即可求出． 【详解】
因为直线1l 的斜率为13a k =-
，所以直线2l 的斜率存在，212
k a =--，
即123
a a -=--，解得3a =或1a =-． 当3a =时，1:3310l x y ++=，2:10l x y +-=即3330x y +-=，
故两平行直线的距离为
3
d ==． 当1a =-时，1:310l x y --=，2:310l x y --
=，两直线重合，不符合题意，应舍去．
． 【点睛】
本题主要考查平行直线间的距离公式的应用，以及根据两直线平行求参数，属于基础题．
16．< 【解析】 【分析】
直接利用作差比较法解答.
【详解】
由题得()()()
b b x ab bx ab ax b a x a a x a a x a x a ++----==+++， 因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,
所以()0,()
b a x a x a -<+ 所以
b b x a a x +<+. 故答案为＜
【点睛】 本题主要考查作差比较法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）,2x x k k ππ⎧
⎫≠-∈⎨⎬⎩
⎭Z （2） 【解析】
【分析】
（1）由分母不为0可求得排烟阀；
（2）由同角间的三角函数关系求得sin ,cos αα，由两角差的余弦公式展开，再由二倍角公式化为单角的函数，最后代入sin ,cos αα的值可得．
【详解】
（1）由sin 02x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得2x k ππ+≠，k ∈Z ， 所以2x k π
π≠-，k ∈Z ，
故()f x 的定义域为,2x x k k ππ⎧
⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭
Z （答案写成“,2x x k k ππ⎧
⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
Z ”也正确） （2）因为1tan 2
α=，且α是第三象限角， 所以由22sin cos 1sin 1cos 2
αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩
可解得sin α=
，cos α=. 故(
)214cos f πααα
⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=
221cos ααα
⎫++⎪⎪⎝⎭= cos2sin 21cos ααα
++= 22cos 2sin cos cos αααα
+= (
)2cos sin 5
αα=+=-
【点睛】 本题考查三角函数的性质，考查同角间的三角函数关系，考查应用两角差的余弦公式和二倍角公式求值．三角函数求值时一般要先化简再求值，这样计算可以更加简便，保证正确．
18． (1) a n ＝2n+1；b n ＝3n ；(2) S n ＝n•3n+1．
【解析】
【分析】
（1）利用基本元的思想，结合等差数列、等比数列的通项公式、等比中项的性质列方程，解方程求得,d q 的值，从而求得数列{}{},n n a b 的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求得数列{}n c 的前n 项和n S .
【详解】
（1）公差d 不为零的等差数列{a n }和公比为q 的等比数列{b n }，
a 1＝
b 1＝3，b 2＝a 4，且a 1，a 4，a 13成等比数列，
可得3q ＝3+3d ，a 1a 13＝a 42，即（3+3d ）2＝3（3+12d ），
解得d ＝2，q ＝3，
可得a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n+1；b n ＝3n ；
（2）c n ＝a n •b n ＝（2n+1）•3n ，
前n 项和S n ＝3•3+5•32+7•33+…+（2n+1）•3n ，
3S n ＝3•32+5•33+7•34+…+（2n+1）•3n+1，
两式相减可得﹣2S n ＝9+2（32+33+…+3n ）﹣（2n+1）•3n+1
＝9+2•()191313n ----（2n+1）•3n+1，
化简可得S n ＝n•3n+1． 【点睛】 本小题主要考查等差数列，等比数列通项公式，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.
19．（1）2n a n =（2）12
4433n n T n n +=++- 【解析】
试题分析：（1）将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组可求得基本量的值，从而确定通项公式；（2）首先化简数列{}n b 的通项公式24n
n b n =+，结合特点采用分组求和法求解
试题解析：（1）∵数列
是等差数列，是其前项和，. ∴
， 解得
， ∴
. （2）∵， 23122(123)(4444)
(1)4(14)2214
4433
n n n n T n n n n n +=++++++++++-=⨯+-=++- 考点：数列求通项公式及数列求和
20．（1）()()max min 2, 1.f x f x ==（2）10.4
ω<≤
【解析】
【分析】 （1）利用向量的数量积化简即可得()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，求出26x π+的范围结合
图像即可解决．
（2）根据（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭求出()f x ω，再根据正弦函数的单调性求出()f x ω的单调区间即可．
【详解】
解：()f x =a b
⋅)
2cos cos 1x x x =+
-2cos 22sin 2,6x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ （1）因为0,,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以22663x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()()max min 2, 1.f x f x == （2）解法一：()2sin 2,6f x x πωω⎛⎫=+
⎪⎝⎭令222,,262k x k k Z ππππωπ-<+<+∈ 得,,36k k x k Z π
πππωωωω
-<<+∈ 因为函数()f x 在233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上是单调递增函数， 所以存在0k Z ∈，使得233ππ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，0036k k ππππωωωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，， 所以有0033263k k πππωωπππωω
⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，， 因为0>ω，所以0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩，，所以016k >-， 又因为
2123322πππω-≤⋅，得302ω<≤，所以05.6
k ≤ 从而有015,66k -<≤所以00k =，所以10.4
ω<≤ 解法二：由2123322πππω-≤⋅，得302ω<≤， 因为2,33
x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以24263636x πωππωππω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，， 所以423362362ωπππωπππ+≤+≥或，解得10 2.4
ωω<≤≥或 又302ω<≤，所以10.4
ω<≤ 【点睛】
本题主要考查了正弦函数在给定区间是的最值以及根据根据函数的单调性求参数．属于中等题，解决本题的关键是记住正弦函数的单调性、最值等．
21．（1）4320x y ++=（2）1
【解析】
【分析】
(1)与l 垂直的直线方程可设为430x y c ++= ，再将点()2,2- 代入方程可得；(2)先求两直线的交点，再用点到直线的距离公式可得点到直线l 的距离．
【详解】
解：(1)设与直线3420x y+=-垂直的直线方程为430x y c ++=,把(2,2)-代入，得860c -++=，解得2c =,
∴所求直线方程为4320x y ++=.
(2)解方程组10,220,x y x y --=⎧⎨+-=⎩得1,0,x y =⎧⎨=⎩
∴直线10x y --=与220x y +-=的交点为(1,0),点(1,0)到直线3420x y+=-的距离1
d =
=. 【点睛】
本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式． 22．（1）ˆ0.70.35y
x =+（2）使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元 【解析】
【分析】
（1）由已知图形中的数据求得ˆb 与ˆa 的值，则线性回归方程可求；（2）直接由ˆ0.70.3510y
x =+>求得x 的范围得答案．
【详解】
（1）3456 4.54
x +++==， 2.534 4.5 3.54y +++==， 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯， ˆ 3.50.7 4.50.35a
=-⨯=． 故线性回归方程为ˆ0.70.35y
x =+； （2）由ˆ0.70.3510y x =+>，解得111314
x >． 故使用年限至少为14年时，维护费用将超过10万元．
【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》中有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问若聘该女子做工半月（15日），一共能织布几尺（ ）
A ．75
B ．85
C ．105
D ．120
2．若110b a <<，则下列不等式不成立．．．的是( ) A ．1
1
a b a >- B ．a b < C ．a b > D ．22a b >
3．已知()3,3a =，()1,0b =，则()2a b b -=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．3
4．若m 是2与8的等比中项，则m 等于( )
A ．1
2 B ．4± C ．4- D ．32
5．如图，在ABC ∆中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确的是
A ．11
44AD a b =+ B ．5
1
44AD a b =+ C ．31
44AD a b =+ D ．5144AD a b =- 6．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比2q ，则2019a =（ ）
A ．20172
B ．20182
C ．20192
D ．20202
7．已知等比数列{}n a 中，0n a >，164a a =，则22232425log log log log a a a a +++=（
） A ．10 B ．7 C ．4 D ．12
8．在△ABC 中，7a =，3c =,3A π
=．sin C 的值为( )
A ．33
16 B ．33
14 C ．3
7 D ．3
16
9．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ）
A ．30x y --=
B ．10x y --=
C ．30x y -+=
D ．30x y +-=
10．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A
．1
5
B．
2
5
C．
8
25
D．
9
25
11．执行如图所示的程序框图,若输入的6
n=，则输出S=
A．
5
14
B．
1
3
C．
27
56
D．
3
10
12．若0.52
5
log0.2,2,0.5
a b c
===，则,,
a b c三个数的大小关系是（）
A．a c b
<<B．b c a
<<
C．b a c
<<D．c a b
<<
二、填空题：本题共4小题
13．设变量x y
，满足条件
1
1
x y
x y
x
+≤
⎧
⎪
-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则2
z x y
=-的最小值为___________
14．若角α的终边经过点(2,2)
P-，则arctan(tan)
α的值为________
15．把正整数排列成如图甲所示的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙所示的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a，若
2019
n
a=，则n=________________．
16．将边长为1的正方形11
AAO O(及其内部)绕
1
OO旋转一周形成圆柱,点B､C分别是圆O和圆
1
O上的点,
AB 长为
3π,1AC 长为23
π,且B 与C 在平面11AAO O 的同侧,则1OO 与BC 所成角的大小为______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:14600O x y mx y +--+=，三个点(2,4)A ，B 、C 均在圆1
O 上，
（1）求该圆的圆心1O 的坐标； （2）若OA BC =，求直线BC 的方程；
（3）设点(0,)T t 满足四边形TABC 是平行四边形，求实数t 的取值范围.
18．如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，且CA CB =.
（1）证明：BC ∥平面PDE ；
（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，证明：AB PC ⊥.
19．（6分）设12,e e 是两个相互垂直的单位向量，且12122,a e e b e e λ=--=-
（Ⅰ）若a b ，求λ的值；
（Ⅱ）若a b ⊥，求λ的值．
20．（6分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3221S S =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n a 为递增数列，数列{}n b 满足()*212n n
n b n a -=∈N ，求数列n b 的前n 项和n T . （3）在条件（2）下，若不等式30n n nT n b λλ-+<对任意正整数n 都成立，求λ的取值范围. 21．（6分）在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
22．（8分）求下列方程和不等式的解集
（1）22sin 3sin 20x x +-=
（2）()arccos3arccos 25x x <-
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D
【解析】
设第一天织1a 尺，第二天起每天比前一天多织d 尺，由已知得11
117672824715a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+++++=⎩111a d =⎧⇒⎨=⎩，1511514151202
S a d ⨯∴=+=，故选D. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.
2．A
【解析】
【分析】
由题得a ＜b ＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解.
【详解】
由题得a ＜b ＜0，
对于选项A,11 a b a --=110,()
b a a b a b a <∴<--，所以选项A 错误. 对于选项B,显然正确.
对于选项C,0a b a b b a -=-+=->，所以a b >，所以选项C 正确.
对于选项D,2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以选项D 正确.
故答案为A
【点睛】
(1)本题主要考查不等式的基本性质和实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤
是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差. 3．A 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算法则直接求解. 【详解】
因为()
3,3a =,()1,0b =, 所以2(1,3)a b -=,
所以()
21101a b b -⋅=⨯+=, 故选:A. 【点睛】
本题考查向量的坐标运算,属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】
利用等比中项性质列出等式，解出即可。

【详解】
由题意知，228m =⨯，∴4m =±． 故选B 【点睛】
本题考查等比中项，属于基础题。

5．C 【解析】 【分析】
由4BC BD =得14BD BC =，再由向量的加法得14
AD AB BD AB BC =+=+，最后把,AB a AC b ==代入，求得答案. 【详解】
因为111
()44344
AD AB BD AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+，故选C. 【点睛】
本题考查向量的加法和数乘运算的几何意义，考查平面向量基本定理在图形中的应用.
6．B 【解析】 【分析】
由等比数列的通项公式1
1n n a a q -=可得出.
【详解】
解：由已知得20191
2018201820191122a a q -==⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题. 7．C 【解析】 【分析】
由等比数列性质可知1625344a a a a a a ===,进而根据对数的运算法则计算即可 【详解】
由题,因为等比数列,所以1625344a a a a a a ===,
则()()2
222232425223452162log log log log log log log 44a a a a a a a a a a +++====, 故选:C 【点睛】
本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算 8．B 【解析】 【分析】
由正弦定理列方程求解。

【详解】 由正弦定理可得：
sin sin a c
A C
=，
所以
7
3
sin sin
3
C π
=
，解得：sin C =. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，属于基础题。

9．C
【解析】 【分析】
根据倾斜角求得斜率，再根据点斜式写出直线方程，然后化为一般式. 【详解】
倾斜角为45，斜率为1，由点斜式得21y x -=+，即30x y -+=.故选C. 【点睛】
本小题主要考查倾斜角与斜率对应关系，考查直线的点斜式方程和一般式方程，属于基础题. 10．B 【解析】
试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2
5
10n C ==，甲被选中包含的基本事
件的个数11
144m C C ==，所以甲被选中的概率2
5
m p n =
=，故选B ． 考点：古典概型及其概率的计算． 11．B 【解析】 【分析】
首先确定流程图所实现的功能，然后利用裂项求和的方法即可确定输出的数值. 【详解】
由流程图可知，程序输出的值为：1111023344556
S =++++⨯⨯⨯⨯， 即1111111123344556S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111263=-=. 故选B. 【点睛】
本题主要考查流程图功能的识别，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．A 【解析】 【分析】
根据对数函数以及指数函数的性质比较a ，b ，c 的大小即可． 【详解】
a ＝log 50.2＜0，
b ＝20.5＞1，0＜
c ＝0.52＜1，
则a c b <<， 故选A ． 【点睛】
本题考查了对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．-1 【解析】 【分析】
根据线性规划的基本方法求解即可. 【详解】 画出可行域有：
因为22z x y y x z =-⇒=-.根据当直线2y x z =-纵截距最大时, 2z x y =-取得最小值.由图易得在
()0,1A 处取得最小值1-.
故答案为：1- 【点睛】
本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题. 14．4
π-
. 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义求出tan α的值，然后利用反三角函数的定义得出()arctan tan α的值. 【详解】
由三角函数的定义可得2tan 12α==--，()()arctan tan arctan 14
πα∴=-=-， 故答案为4
π
-. 【点睛】
本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出tan α的
值，考查计算能力，属于基础题. 15．1032 【解析】 【分析】
由图乙可得：第k 行有k 个数，且第k 行最后的一个数为2k ，从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为2的等差数列，注意到2441936=，2452025=，据此确定n 的值即可. 【详解】
分析图乙，可得①第k 行有k 个数，则前k 行共有
(1)
2
k k +个数，②第k 行最后的一个数为2k ，③从第三行开始每一行的数从左到右都是公差为2的等差数列，又由2441936=，2452025=，则
2244201945<<，则2019出现在第45行，第45行第一个数为24411937+=，这行中第
201919371422-+=个数为2019，前44行共有4445
9902
⨯=个数，则2019为第990421032+=个
数．故填1032． 【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 16．
4
π 【解析】 【分析】
画出几何体示意图，将1OO 平移至于直线BC 相交，在三角形中求解角度. 【详解】
根据题意，过B 点作BH//1OO 交弧1
AC 于点H ，作图如下：
因为BH//1OO ，故CBH ∠即为所求异面直线的夹角， 在
CBH 中，1BH =，
在
1O HC 中，因为1111,1,3
O H O C HO C π
==∠=
，故
该三角形为等边三角形，即：1HC =， 在
CBH 中，1BH =，1HC =，且母线BH 垂直于底面，故：
1HC tan CBH BH ∠=
=，又异面直线夹角范围为0,2π⎛⎤
⎥⎝⎦， 故4
CBH π
∠=
，
故答案为：4
π. 【点睛】
本题考查异面直线的夹角求解，一般解决方法为平移至直线相交，在三角形中求角. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）1(6,7)O （2）25y x =+或215y x =-（3
）[4-
4+ 【解析】 【分析】
（1）将A 点代入圆的方程可得m 的值，继而求出半径和圆心（2）可设直线BC 方程为：2y x b =+，可得圆心1(6,7)O 到直线BC 的距离，结合弦心距定理可得b 的值，求出直线方程（3）设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，因为平行四边形的对角线互相平分，得21212
4
x x y y t =-⎧⎨
=+-⎩，2211(8)(11)25x y t -++-=，于是点B 既
在圆1O 上，又在圆22(8)(11)25x y t -++-=上，从而圆22(6)(7)25x y -+-=与圆
22(8)(11)25x y t -++-=上有公共点，即可求解．
【详解】
（1）将(2,4)A 代入圆22
1:14600O x y mx y +--+=
得416256600m +--+=， 解得12m =，
1(6,7)O ∴．半径=5r ．
（2
）
OA BC =，
2BC OA k k ∴==
，且||||BC OA ==
设直线:2BC y x b =+，即20x y b -+=， 圆心1O 到直线20x y b -+=
的距离d =
=，
由勾股定理得=
220
d
∴=，
∴2
(5)
20
5
b
+
=，
510
b
∴+=±，
5
b
∴=或15
b=-，
所以直线BC的方程为25
y x
=+或215
y x
=-．
（3）设
1
(B x，
1
)
y，
2
(
C x，
2
)
y，
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以21
21
2
4
x x
y y t
=-
⎧
⋯
⎨
=+-
⎩
①，
因为点C在圆1O上，
所以22
22
(6)(7)25
x y
-+-=⋯②
将①代入②，得
22
11
(8)(11)25
x y t
-++-=，
于是点B既在圆1
O上，又在圆22
(8)(11)25
x y t
-++-=上，
从而圆22
(6)(7)25
x y
-+-=与圆22
(8)(11)25
x y t
-++-=有公共点，
所以22
55(86)(117)5
5
t
--+--+，
解得44
46
t
-+
因此，实数t的取值范围是[4-4+．
【点睛】
本题考查了直线与圆的关系，涉及了向量知识，弦心距公式，点到直线的距离公式等内容，综合性较强，难度较大．
18．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明||
DE BC，再证明BC∥平面PDE；（2）先证明AB⊥平面PCD，再证明AB PC
⊥.
【详解】
证明：（1）因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以||
DE BC.
又DE ⊂平面PDE ，BC ⊂/平面PDE ， 所以BC ∥平面PDE .
（2）因为CA CB =，D 为AB 中点，所以AB CD ⊥. 又平面PCD ⊥平面ABC . 平面PCD
平面ABC CD =，所以AB ⊥平面PCD .
又PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥.
【点睛】
本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 19．（Ⅰ）1
2
λ=-（Ⅱ）2λ= 【解析】 【分析】
（Ⅰ）a b ，则存在唯一的μ使b μ=，解得所求参数的值； （Ⅱ）若a b ⊥，则0a b ⋅=，解得所求参数的值． 【详解】
解：（Ⅰ）若a b ，则存在唯一的μ，使b μ=，∴1212(2)e e e e λμ-=--
1212μλμλμ
=-⎧∴⇒==-⎨-=-⎩，
∴当1
2
λ=-时a b ，；
（Ⅱ）若a b ⊥，则0a b ⋅=，
1212(2)()0e e e e λ--⋅-= 22
11222(21)0e e e e λλ⇒-+-⋅+=
因为12,e e 是两个相互垂直的单位向量，2λ∴=
∴当2λ=时，a b ⊥.
【点睛】
本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用． 20．（1）当2q
时：12n n a ；当1q =-时：1(1)n n a -=-
（2）23
32n n n T +=-（3）
314
λ> 【解析】 【分析】
（1）直接利用等比数列公式得到答案. （2）利用错位相减法得到答案.
（3）将不等式30n n nT n b λλ-+<转化为2
21
23n n n
λ->+，根据双勾函数求数列的最大值得到答案. 【详解】
（1）2
3211111212212,1S S a a q a q a a q q q =+⇒++=++⇒==-
当2q
时：12n n
a
当1q =-时：1
(1)n n a -=-
（2）数列{}n a 为递增数列，12n n
a ，211(21)()2
2n n
n n b n -=
=- 231111
(21)(13()5().22)2..2n n n T =⨯+⨯+⨯+-+
312411111()3()5()...1(21)()2
2
222n n T n +=⨯+⨯+⨯-++
两式相加，化简得到
24131111112()2()2()...2()222221
(21)(2)2n n n T n +=+⨯+⨯+⨯++⨯-- 211233()(21)()3222n n n n n T n -+=---=-
（3）2113()(21)()322
n n
n T n -=---<
2211()(21)()]21(21)()2121
2
303(23)22
3[n
n n n n n n n n b n n nT n b n nT n n n n
n λλλ-----+<⇒>
===-+++-
设21n t -=
原式222
454
5t t t t t
=
=
++++ （t 为奇数） 根据双勾函数知：1t =或3t =时有最大值.
1t =时，原式1
5
=
3t =时，原式314=
故3
14
λ>
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式，错位相减法求前N 项和，恒成立问题，将恒成立问题转化为利用双勾函数求数列的最大值是解题的关键，此题综合性强，计算量大，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
21．（1）29n a n =-；（2）(
)228,4
832,5
n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】 【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，可得出450
a a ≤⎧⎨≥⎩，可得出d 的取值
范围，结合d Z ∈，可求出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出n a ；
（2）将数列{}n b 的通项公式表示为分段形式，即(),4,5n n n
n a n b a n N a n *
-≤⎧==∈⎨≥⎩，于是得出()4,4
2,,5
n n n n S n T n N S S a n *-≤⎧=∈⎨-≥⎩可得出n T 的表达式. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d Z ∈， 由题意知，{}n S 的最小值为4S ，则45
0a a ≤⎧⎨
≥⎩， 17a =-，所以370470
d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得77
43d ≤≤，
d Z ∈，2d ∴=，
因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； （2）
29n n b a n ==-.
当4n ≤时，0n a <，则n n n b a a ==-，()
272982
n n n n T S n n -+-∴=-=-
=-+；
当5n ≥时，0n a >，则n n n b a a ==，()22
428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+.
综上所述：(
)228,4
832,5
n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及绝对值分段求和，解题的关键在于将n S 的最小值转化为与项相关的不等式组进行求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题. 22．（1）26
x x k π
π⎧=
+⎨⎩
或52,6x k k Z ππ⎫
=
+∈⎬⎭；（2）134
5x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】
（1）先将方程变形得到()()sin 22sin 10+-=x x ，根据1sin 1x -≤≤，得到1sin 2
x =
，进而可求出结果； （2）由题意得到3251311251x x x x >-⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩
，求解即可得出结果.
【详解】
（1）由22sin 3sin 20x x +-=得()()sin 22sin 10+-=x x ，
因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 2x =，因此26x k ππ=+或52,6ππ=+∈x k k Z ； 即原方程的解集为：26x x k ππ⎧=+⎨⎩或52,6x k k Z ππ⎫=
+∈⎬⎭； （2）由()arccos3arccos 25x x <-得3251311251x x x x >-⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩
， 即14113
31355x x x ⎧>⎪⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得：1345<≤x . 故，原不等式的解集为：134
5x
x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 【点睛】
本题主要考查解含三角函数的方程，以及反三角函数不等式，熟记三角函数性质，根据函数单调性即可求解，属于常考题型.。