高考数学一轮复习第10章概率第2讲古典概型课件

解 (1)由所给的茎叶图知，甲班 50 名同学的成绩由小 到大排序，排在第 25,26 位的是 108,109，数量最多的是 103， 故甲班数学成绩的中位数是 108.5，众数是 103；
A包含的基本事件的个数
P(A)＝
基本事件的总数
.
[必会结论] 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典 概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两 个特点的概型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决 概率问题的关键．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个 白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同．( × ) (2)从－3，－2，－1,0,1,2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同．( √ )
板块二 典例探究·考向突破
考向 简单的古典概型 例 1 (1)[2017·全国卷Ⅱ]从分别写有 1,2,3,4,5 的 5 张 卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第 一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.110 B.15 C.130 D.25
解析 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽 取 1 张的情况如图：
(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法， 但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．
(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是 无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
板块三 启智培优·破译高考
创新交汇系列 8——古典概型与统计的精彩交汇 [2018·长春模拟]某教师为了了解高三一模所教两个班 级的数学成绩情况，将两个班的数学成绩(单位：分)绘制成 如图所示的茎叶图．
(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数； (2)若规定成绩大于等于 115 分为优秀，分别求出两个 班级数学成绩的优秀率； (3)从甲班中 130 分以上的 5 名同学中随机抽取 3 人， 求至多有 1 人的数学成绩在 140 分以上的概率． 解题视点 (1)利用中位数、众数的概念求解；(2)由频 率的定义求解优秀率即可；(3)分别求出总的基本事件和满 足条件的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求解．
设“A1 和 B1 不全被选中”为事件 N，则其对立事件－N 表示“A1 和 B1 全被选中”，由于－N ＝{(A1，B1，C1)，(A1， B1，C2)}，所以 P(－N )＝122＝16，由对立事件的概率计算公式 得 P(N)＝1－P(－N )＝1－16＝56.
考向 较复杂的古典概型问题 命题角度 1 古典概型与平面几何相结合 例 2 [2018·洛阳统考]将一颗骰子先后投掷两次分别 得到点数 a，b，则直线 ax＋by＝0 与圆(x－2)2＋y2＝2 有公
A.12 B.13 C.14 D.15 解析 已知 2 位女同学和 2 位男同学走出的所有可能 顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男， 女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女， 男)，所以第 2 位走出的是男同学的概率是 P＝36＝12.
4．[2016·全国卷Ⅰ]为美化环境，从红，黄，白，紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种 在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ()
(1)读题，理解题意； (2)判断试验结果是否为等可能事件，设出所求事件 A； (3)分别求出基本事件总数 n 与所求事件 A 所包含的基 本事件的个数 m； (4)利用公式 P(A)＝mn 求出事件 A7·天津高考]有 5 支彩笔(除颜 色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这 5 支 彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有 红色彩笔的概率为( )
A.45 B.35 C.25 D.15
解析 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色彩笔的取法有 红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝 紫、绿紫，共 10 种，其中取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔 的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共 4 种，所以所求概 率 P＝140＝25.故选 C.
(2)[2018·海淀一模]现有 7 名数理化成绩优秀者，分别用 A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2 表示，其中 A1，A2，A3 的数学 成绩优秀，B1，B2 的物理成绩优秀，C1，C2 的化学成绩优 秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名，组成一 个小组代表学校参加竞赛，则 A1 和 B1 不全被选中的概率为
第10章 概率
第2讲 古典概型
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 基本事件的特点 1．任何两个基本事件是 互斥 的． 2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件
的和．
考点 2 古典概型 1．古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型．
2．古典概型的概率公式
5 ____6____．
解析 从这 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者 各 1 名，所有可能的结果组成的 12 个基本事件为：(A1， B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2， B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3， B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
(2)含有“至多”“至少”等类型的概率问题，从正面突 破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应 用 P(A)＝1－P( A )求解较好．
满分策略 古典概型求解中的注意事项
(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要 注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他 们是否是等可能的．
命题角度 2 古典概型与函数相结合 例 3 已知 M＝{1,2,3,4}，若 a∈M，b∈M，则函数 f(x)＝ax3＋bx2＋x－3 在 R 上为增函数的概率是( ) A.196 B.176 C.14 D.136 解析 记事件 A 为“函数 f(x)＝ax3＋bx2＋x－3 在 R 上 为增函数”．因为 f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以 f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋1.当函数 f(x)在 R 上为增函数时，f′(x)≥0 在 R 上 恒成立．又 a>0，所以 Δ＝(2b)2－4×3a＝4b2－12a≤0 在 R 上恒成立，即 a≥b32.
基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡 片上的数的事件数为 10，∴所求概率 P＝1205＝25.故选 D.
(2)[2017·山东高考]从分别标有 1,2，…，9 的 9 张卡片 中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张，则抽到的 2 张卡 片上的数奇偶性不同的概率是( )
5 457 A.18 B.9 C.9 D.9
5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种 颜色的运动服中选择 1 种，则他们选择相同颜色运动服的概
1 率为___3_____．
解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种的所有可能情况为(红，白)，(白， 红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)， (白，白)，(蓝，蓝)，共 9 种，他们选择相同颜色运动服的 所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共 3 种．故 所求概率为 P＝39＝13.
7 共点的概率为___1_2____．
解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数 所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共 36 种，其中满足直线 ax＋by＝0 与圆(x－2)2＋y2＝2 有公共点， 即满足 a22＋a b2≤ 2，a2≤b2 的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)， (1,4)，…，(6,6)，共 6＋5＋4＋3＋2＋1＝21 种，因此所求 的概率等于2316＝172.
1125 A.3 B.2 C.3 D.6
解析 从红，黄，白，紫 4 种颜色的花中任选 2 种有 以下选法：(红，黄)，(红，白)，(红，紫)，(黄，白)，(黄， 紫)，(白，紫)，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花 坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有 4 种，所以 所求事件的概率 P＝46＝23.故选 C.
当 b＝1 时，有 a≥13，故 a 可取 1,2,3,4，共 4 个数； 当 b＝2 时，有 a≥43，故 a 可取 2,3,4，共 3 个数； 当 b＝3 时，有 a≥3，故 a 可取 3,4，共 2 个数； 当 b＝4 时，有 a≥136，故 a 无可取值． 综上，事件 A 包含的基本事件有 4＋3＋2＝9 种． 又 a，b∈{1,2,3,4}，所以所有的基本事件共有 4×4＝ 16 种． 故所求事件 A 的概率为 P(A)＝196.故选 A.
或 AC⊥BC，由A→B·A→C＝0，得 2k＋4＝0，所以 k＝－2，因 为B→C＝A→C－A→B＝(2－k,3)，由A→B·B→C＝0，得 k(2－k)＋3＝0，
所以 k＝－1 或 3，
由A→C·B→C＝0，得 2(2－k)＋12＝0，所以 k＝8(舍去)，故
使△ABC 为直角三角形的 k 值为－2，－1 或 3，所以所求概 率 P＝37.
6．[2018·兰州诊断]从 2 本不同的数学书和 2 本不同的 语文书中任意抽出 2 本书(每本书被抽中的机会相等)，则抽
1 出的书是同一学科的概率等于____3____．
解析 数学书为 a1，a2，语文书为 b1，b2，从中任取两 本，基本事件为 a1a2，a1b1，a1b2，a2b2，a2b1，b1b2，其中 抽出的书是同一学科的取法共有 a1a2，b1b22 种，因此所求 的概率等于26＝13.
(3)利用古典概型的概率公式求“在边长为 2 的正方形 内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于 1”的概 率．( × )
(4)“从长为 1 的线段 AB 上任取一点 C，求满足 AC≤13 的概率是多少”是古典概型. ( × )
2．[2018·武汉调研]同时抛掷两颗均匀的骰子，则向上 的点数之差的绝对值为 4 的概率为( )
1 1 11 A.18 B.12 C.9 D.6
解析 同时抛掷两颗骰子，基本事件总数为 36，记“向 上的点数之差的绝对值为 4”为事件 A，则事件 A 包含的基 本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共 4 种，故 P(A)＝346＝ 1 9.
3.某天下课以后，教室里还剩下 2 位男同学和 2 位女同 学．如果他们依次走出教室，则第 2 位走出的是男同学的概 率为( )
命题角度 3 古典概型与平面向量相结合
例 4 [2018·宿迁模拟]已知 k∈Z，A→B＝(k,1)，A→C＝ (2,4)，若|A→B|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率是
3 ___7_____．
解析 因为|A→B|＝ k2＋1≤4，所以－ 15≤k≤ 15，
因为 k∈Z，所以 k＝－3，－2，－1,0,1,2,3， 当△ABC 为直角三角形时，应有 AB⊥AC，或 AB⊥BC，
触类旁通 较复杂的古典概型问题的求解方法
解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化 为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数， 然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．
核心规律 古典概型的两种破题技巧
(1)树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事 件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时 也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．
解析 ∵9 张卡片中有 5 张奇数卡片，4 张偶数卡片， 且为不放回地随机抽取，
∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝158， P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝158. ∴P(抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同)＝158＋158＝59. 故选 C.
触类旁通 求古典概型概率的步骤