深圳市福田区上沙中学数学整式的乘法与因式分解单元试卷(word版含答案)
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深圳市福田区上沙中学数学整式的乘法与因式分解单元试卷（word 版含答案）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．已知 a2 b2 6ab ，且 a>b>0，则 a b 的值为( )
ab
A． 2
【答案】A 【解析】
B．± 2
C．2
D．±2
【分析】已知 a2+b2=6ab，变形可得（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，可以得出（a+b）和（ab）的值，即可得出答案． 【详解】∵a2+b2=6ab， ∴（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab， ∵a＞b＞0，
（3）根据多项式乘法法则求出 x 2y m2x y n ，即可得到关于 m、n 的方程
组，解之即可求得 m、n、的值，代入计算即可； （4）4 个一组提取公因式，整体代入即可. 【详解】
（1） a3m 2 ， a3n 3 ，
a2m
3
bn
3 a2m b3n a4m
3．已知(x－2015)2＋(x－2017)2＝34，则(x－2016)2 的值是( )
A．4
B．8
C．12
【答案】D
【解析】
D．16
(x－2 015)2＋(x－2 017)2 =(x－2 016+1)2＋(x－2 016-1)2
= (x 2016)2 2(x 2016) 1 (x 2016)2 2(x 2016) 1
原式=(-3)× 1 x2+1y1+2= -x3y3 3
故答案为－x3y3 【点睛】 本题主要考查单项式乘以单项式的法则.要准确把握法则是解答此题的关键.
16．若 a，b 互为相反数，则 a2﹣b2=_____． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案． 【详解】∵a，b 互为相反数， ∴a+b=0， ∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0， 故答案为 0． 【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
9．若 a b 6， ab 7 ，则 a-b （ ）
A．
B． 2
C． 2
D． 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由关系式（a-b）2=（a+b）2-4ab 可求出 a-b 的值
【详解】
∵a+b=6，ab=7， （a-b）2=（a+b）2-4ab
∴（a-b）2=8，
∴a-b= 2 2 ．
故选：D．
D、x2-1 可用平方差公式，故 D 能用公式法分解因式；
故选 C．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．
7．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代 数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的 计算验证了一个恒等式，此等式是( )
2m n 1, 2n m 8,
mn 6,
m 2, 解得 n 3.
m3 n2
1 1
7 8
（4） 1 x x2 x3 0 ，
x x2 x3 x2016
x 1 x x2 x3 x2013 1 x x2 x3
00 0 故答案为： −5；9； 7 ；0.
①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是 ____________．
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b) 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案. 【详解】 ∵第一个图形的面积是 a2-b2，
第二个图形的面积是 1 （b＋b＋a＋a）（a－b）＝（a＋b）（a－b）， 2
∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得： a2-b2=(a+b)(a-b). 故答案为 a2-b2=(a+b)(a-b). 【点睛】 本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.
12．如果实数 a，b 满足 a+b＝6，ab＝8，那么 a2+b2＝_____． 【答案】20 【解析】 【分析】 【详解】
因为 a＝ 96 =312，b＝ 314 ，c＝ 275 =315，
所以，c>b>a
故选 C
【点睛】
本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.
D．b＞c＞a
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难） 11．在边长为 a 的正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形 (a b) ，再沿虚线剪开，如图
A 选项,从左到右变形错误,不符合题意, B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意, C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意, D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解, 属于分解不彻底,因此不符合题意, 故选 B. 【点睛】 本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接提取公因式（-3）m-1，进而分解因式即可．
【详解】
（-3）m+2×（-3）m-1
=（-3）m-1（-3+2）
=-（-3）m-1．
故选 C．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
6．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）
A． x2 9
4．化简 2x2 的结果是（ ）
A．x4 【答案】C 【解析】
B．2x2
C．4x2
D．4 x
【分析】
利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．
【详解】
(2x)²=2²·x²=4x²，
故选 C.
【点睛】
本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.
5．计算
，得（ ）
A．
B．
a3m
2 b3n
a3m
2 b3n
22 3 22 3 4 3 12 5 （2） x2 px q x2 x 2 对一切实数 x 均成立， p 1， q 2 p2 4q 9
（3） x 2y m2x y n 2x2 3xy 2y2 x 8y 6， 2x2 3xy 2y2 2m n x 2n m y mn 2x2 3xy 2y2 x 8y 6
∵ a b 6, ∴ (a b)2 a2 2ab b2 36,
∵ ab=8， ∴ a2 b2 36-2ab=36-2×8=20. 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.
13．（1）已知 a3m 2 ， b3n 3 ，则
a2m
A．x－2
B．2x＋3
C．x＋4
D．2x2－1
【答案】B
【解析】
【分析】
将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】
因为 m 是整数，
∴将 2x2＋mx－3 分解因式：
2x2＋mx－3=（x-1）（2x+3）或 2x2＋mx－3=（x+1）（2x-3），
故选：B.
【点睛】
此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
18．若 x2 ax 4 x 22 ，则 a _____．
【答案】-4 【解析】 【分析】 直接利用完全平方公式得出 a 的值． 【详解】
解：∵ x2 ax 4 x 22 ，
∴ a 4 故答案为： 4
【点睛】 此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
19．已知： a b 7 ， ab 13，那么 a2 ab b2 ________________．
8
【点睛】 本题主要考察幂的运算及整式的乘法，掌握其运算法则是关键.
14．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________） 2-（__________） 2． 【答案】m n+p+q 【解析】
(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]= m2 n p q2 ，故答案为(1)m，(2)n+p+q.
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
【答案】B
【解析】
图（4）中，
∵ S 正方形=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，
∴ （a-b）2=a2-2ab+b2．
故选 B
∴a+b= 8ab ，a-b= 4ab ，
∴ a b = 8ab 2 ， a b 4ab
故选 A. 【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求 解，要注意 a、b 的大小关系以及本身的正负关系．
2．下列四个多项式，可能是 2x2＋mx－3 (m 是整数)的a4m ______．
（2）对于一切实数 x ，等式 x2 px q x 1 x 2 均成立，则 p2 4q 的值为
______．
（3）已知多项式 2x2 3xy 2 y2 x 8y 6 可以分解为 x 2y m2x y n 的形
式，则 m3 1 的值是______． n2 1
8．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．x2+4x+4=（x+2）2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】 因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套 用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定. 【详解】
（4）如果1 x x2 x3 0 ，则 x x2 x3 x2016 ______．
【答案】（1） 5 ; （2）9; （3） 7 ; （4）0. 8
【解析】
【分析】
（1）根据积的乘方和幂的乘方，将 a3m 2 整体代入即可；
（2）将等式后面部分展开，即可求出 p、q 的值，代入即可；
【答案】10 【解析】 ∵ （a+b） 2 =7 2 =49， ∴ a 2 -ab+b 2 =（a+b） 2 -3ab=49-39=10， 故答案为 10.
20．分解因式：3x2-6x+3=__． 【答案】3(x-1)2 【解析】 【分析】 先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】
【点睛】
考查了完全平方公式，解题关键是能灵活运用完全平方公式进行变形．
10．已知 a＝96，b＝314，c＝275，则 a、b、c 的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方可得：a＝ 96 =312，c＝ 275 =315，易得答案.
【详解】
B． a2 6ab 9b2
C． x2 y2
D． x2 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．
【详解】
A、x2-9，可用平方差公式，故 A 能用公式法分解因式；
B、-a2+6ab-9 b2 能用完全平方公式，故 B 能用公式法分解因式；
C、-x2-y2 不能用平方差公式分解因式，故 C 正确；
点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为 一项后，再运用平方差公式运算.
15．计算(-3x2y)•( 1 xy2)=_____________． 3
【答案】 x3 y3
【解析】 【分析】 根据单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】
17．分解因式：4ax2-ay2=________________. 【答案】a（2x+y）（2x-y） 【解析】 【分析】
首先提取公因式 a，再利用平方差进行分解即可． 【详解】 原式=a（4x2-y2） =a（2x+y）（2x-y）， 故答案为 a（2x+y）（2x-y）． 【点睛】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式， 然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
= 2(x 2016)2 2 =34
∴ (x 2016)2 16
故选 D. 点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把(x－2 015)2＋(x－2 017)2 化为 (x－2 016+1)2＋(x－2 016-1)2，利用完全平方公式展开，化简后即可求得(x－2 016)2 的值，注意要 把 x-2016 当作一个整体.
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．已知 a2 b2 6ab ，且 a>b>0，则 a b 的值为( )
ab
A． 2
【答案】A 【解析】
B．± 2
C．2
D．±2
【分析】已知 a2+b2=6ab，变形可得（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，可以得出（a+b）和（ab）的值，即可得出答案． 【详解】∵a2+b2=6ab， ∴（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab， ∵a＞b＞0，
（3）根据多项式乘法法则求出 x 2y m2x y n ，即可得到关于 m、n 的方程
组，解之即可求得 m、n、的值，代入计算即可； （4）4 个一组提取公因式，整体代入即可. 【详解】
（1） a3m 2 ， a3n 3 ，
a2m
3
bn
3 a2m b3n a4m
3．已知(x－2015)2＋(x－2017)2＝34，则(x－2016)2 的值是( )
A．4
B．8
C．12
【答案】D
【解析】
D．16
(x－2 015)2＋(x－2 017)2 =(x－2 016+1)2＋(x－2 016-1)2
= (x 2016)2 2(x 2016) 1 (x 2016)2 2(x 2016) 1
原式=(-3)× 1 x2+1y1+2= -x3y3 3
故答案为－x3y3 【点睛】 本题主要考查单项式乘以单项式的法则.要准确把握法则是解答此题的关键.
16．若 a，b 互为相反数，则 a2﹣b2=_____． 【答案】0 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案． 【详解】∵a，b 互为相反数， ∴a+b=0， ∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0， 故答案为 0． 【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
9．若 a b 6， ab 7 ，则 a-b （ ）
A．
B． 2
C． 2
D． 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由关系式（a-b）2=（a+b）2-4ab 可求出 a-b 的值
【详解】
∵a+b=6，ab=7， （a-b）2=（a+b）2-4ab
∴（a-b）2=8，
∴a-b= 2 2 ．
故选：D．
D、x2-1 可用平方差公式，故 D 能用公式法分解因式；
故选 C．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．
7．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代 数恒等式．例如图①可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的 计算验证了一个恒等式，此等式是( )
2m n 1, 2n m 8,
mn 6,
m 2, 解得 n 3.
m3 n2
1 1
7 8
（4） 1 x x2 x3 0 ，
x x2 x3 x2016
x 1 x x2 x3 x2013 1 x x2 x3
00 0 故答案为： −5；9； 7 ；0.
①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是 ____________．
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b) 【解析】 【分析】 根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案. 【详解】 ∵第一个图形的面积是 a2-b2，
第二个图形的面积是 1 （b＋b＋a＋a）（a－b）＝（a＋b）（a－b）， 2
∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得： a2-b2=(a+b)(a-b). 故答案为 a2-b2=(a+b)(a-b). 【点睛】 本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.
12．如果实数 a，b 满足 a+b＝6，ab＝8，那么 a2+b2＝_____． 【答案】20 【解析】 【分析】 【详解】
因为 a＝ 96 =312，b＝ 314 ，c＝ 275 =315，
所以，c>b>a
故选 C
【点睛】
本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.
D．b＞c＞a
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难） 11．在边长为 a 的正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形 (a b) ，再沿虚线剪开，如图
A 选项,从左到右变形错误,不符合题意, B 选项,从左到右变形是套用完全平方公式进行因式分解,符合题意, C 选项, 从左到右变形是在利用平方差公式进行计算,不符合题意, D 选项, 从左到右变形利用提公因式法分解因式,但括号里仍可以利用平方差公式继续分解, 属于分解不彻底,因此不符合题意, 故选 B. 【点睛】 本题主要考查因式分解的定义,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接提取公因式（-3）m-1，进而分解因式即可．
【详解】
（-3）m+2×（-3）m-1
=（-3）m-1（-3+2）
=-（-3）m-1．
故选 C．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
6．下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）
A． x2 9
4．化简 2x2 的结果是（ ）
A．x4 【答案】C 【解析】
B．2x2
C．4x2
D．4 x
【分析】
利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．
【详解】
(2x)²=2²·x²=4x²，
故选 C.
【点睛】
本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握积的乘方的运算法则.
5．计算
，得（ ）
A．
B．
a3m
2 b3n
a3m
2 b3n
22 3 22 3 4 3 12 5 （2） x2 px q x2 x 2 对一切实数 x 均成立， p 1， q 2 p2 4q 9
（3） x 2y m2x y n 2x2 3xy 2y2 x 8y 6， 2x2 3xy 2y2 2m n x 2n m y mn 2x2 3xy 2y2 x 8y 6
∵ a b 6, ∴ (a b)2 a2 2ab b2 36,
∵ ab=8， ∴ a2 b2 36-2ab=36-2×8=20. 【点睛】 本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.
13．（1）已知 a3m 2 ， b3n 3 ，则
a2m
A．x－2
B．2x＋3
C．x＋4
D．2x2－1
【答案】B
【解析】
【分析】
将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】
因为 m 是整数，
∴将 2x2＋mx－3 分解因式：
2x2＋mx－3=（x-1）（2x+3）或 2x2＋mx－3=（x+1）（2x-3），
故选：B.
【点睛】
此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
18．若 x2 ax 4 x 22 ，则 a _____．
【答案】-4 【解析】 【分析】 直接利用完全平方公式得出 a 的值． 【详解】
解：∵ x2 ax 4 x 22 ，
∴ a 4 故答案为： 4
【点睛】 此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
19．已知： a b 7 ， ab 13，那么 a2 ab b2 ________________．
8
【点睛】 本题主要考察幂的运算及整式的乘法，掌握其运算法则是关键.
14．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________） 2-（__________） 2． 【答案】m n+p+q 【解析】
(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]= m2 n p q2 ，故答案为(1)m，(2)n+p+q.
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－b2
【答案】B
【解析】
图（4）中，
∵ S 正方形=a2-2b（a-b）-b2=a2-2ab+b2=（a-b）2，
∴ （a-b）2=a2-2ab+b2．
故选 B
∴a+b= 8ab ，a-b= 4ab ，
∴ a b = 8ab 2 ， a b 4ab
故选 A. 【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求 解，要注意 a、b 的大小关系以及本身的正负关系．
2．下列四个多项式，可能是 2x2＋mx－3 (m 是整数)的a4m ______．
（2）对于一切实数 x ，等式 x2 px q x 1 x 2 均成立，则 p2 4q 的值为
______．
（3）已知多项式 2x2 3xy 2 y2 x 8y 6 可以分解为 x 2y m2x y n 的形
式，则 m3 1 的值是______． n2 1
8．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 B．x2+4x+4=（x+2）2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．ax2﹣a=a（x2﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】 因式分解是指将多项式和的形式转化成整式乘积的形式,因式分解的方法有:提公因式法,套 用公式法,十字相乘法,分组分解法,解决本题根据因式分解的定义进行判定. 【详解】
（4）如果1 x x2 x3 0 ，则 x x2 x3 x2016 ______．
【答案】（1） 5 ; （2）9; （3） 7 ; （4）0. 8
【解析】
【分析】
（1）根据积的乘方和幂的乘方，将 a3m 2 整体代入即可；
（2）将等式后面部分展开，即可求出 p、q 的值，代入即可；
【答案】10 【解析】 ∵ （a+b） 2 =7 2 =49， ∴ a 2 -ab+b 2 =（a+b） 2 -3ab=49-39=10， 故答案为 10.
20．分解因式：3x2-6x+3=__． 【答案】3(x-1)2 【解析】 【分析】 先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】
【点睛】
考查了完全平方公式，解题关键是能灵活运用完全平方公式进行变形．
10．已知 a＝96，b＝314，c＝275，则 a、b、c 的大小关系是( )
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方可得：a＝ 96 =312，c＝ 275 =315，易得答案.
【详解】
B． a2 6ab 9b2
C． x2 y2
D． x2 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．
【详解】
A、x2-9，可用平方差公式，故 A 能用公式法分解因式；
B、-a2+6ab-9 b2 能用完全平方公式，故 B 能用公式法分解因式；
C、-x2-y2 不能用平方差公式分解因式，故 C 正确；
点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为 一项后，再运用平方差公式运算.
15．计算(-3x2y)•( 1 xy2)=_____________． 3
【答案】 x3 y3
【解析】 【分析】 根据单项式乘以单项式的法则计算即可． 【详解】
17．分解因式：4ax2-ay2=________________. 【答案】a（2x+y）（2x-y） 【解析】 【分析】
首先提取公因式 a，再利用平方差进行分解即可． 【详解】 原式=a（4x2-y2） =a（2x+y）（2x-y）， 故答案为 a（2x+y）（2x-y）． 【点睛】 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式， 然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
= 2(x 2016)2 2 =34
∴ (x 2016)2 16
故选 D. 点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把(x－2 015)2＋(x－2 017)2 化为 (x－2 016+1)2＋(x－2 016-1)2，利用完全平方公式展开，化简后即可求得(x－2 016)2 的值，注意要 把 x-2016 当作一个整体.