人教新课标版数学高一B版必修4课件 三角函数的定义

13 3.
反思与感悟 利用三角函数的定义，求一个角的三角函 数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的 点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意， 当点的坐标含有参数时，应分类讨论.
跟踪训练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正
半轴，若 P(4，y)是角 θ 终边上一点，且 sin θ＝－255，则 y ＝ －8 .
(2)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角 时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有 终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然 能够最终计算出三角函数值. (3)正弦、余弦、正切函数都是以角为自变量，以单位圆 上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种 函数统称为三角函数.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探要点·究所然
情境导学 在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐 角为自变量，以比值为函数值的函数， 角的概念推广 后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角 函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.
探究点一 锐角三角函数的定义 思考1 如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，若 已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sin A，cos B， sin B，cos A，tan A，tan B的值. 答 sin A＝cos B＝ac＝35； sin B＝cos A＝bc＝45； tan A＝ab＝34； tan B＝ba＝43.
3π (3) 2 . 解 当 α＝32π时，x＝0，y＝－r， 所以 sin 32π＝－1，cos 32π＝0，tan 32π不存在， csc 32π＝－1，sec 32π不存在，cot 32π＝0. 反思与感悟 求任意角的三角函数值，最后常常转化为求特 殊角的三角函数值，因此对特殊角的三角函数值应当适当加 强记忆.
cos α＝35，则 tan α 等于( D )
A.－34
B.34
C.43
D.－43
解析 ∵cos α＝ 323＋y2＝35，
∴ 32＋y2＝5，∴y2＝16，
∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－43.
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4.如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是 {x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z} .
例1 已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的六个三角函数值. 解 因为x＝2，y＝－3，
所以 r＝ 22＋－32＝ 13.
于是 sin α＝yr＝－133＝－31313，cos α＝xr＝ 213＝21313，
tan α＝yx＝－32，cot α＝－23，
sec α＝xr＝
213，csc α＝yr＝－
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2.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的
值等于( A )
1 A.2
B.－12
C.－
3 2
3 D. 2
解析 2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－ 3，
∴r＝2，∴cos α＝12.
3.若点 P(3，y)是角 α 终边上的一点，且满足 y<0， 1 2 3 4
思考2 如图，锐角α的顶点与原点O重 合，始边与x轴的非负半轴重合，在α 终边上任取一点P(a，b)，它与原点的 距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角 三角形中三角函数的定义求出sin α， cos α，tan α吗？ 答 sin α＝br，cos α＝ar，tan α＝ab.
思考3 如图所示，在直角坐标系中，
思考 正统、余弦、正切三种函数的值在各象限的符号会怎样？
答 三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取
决于x，y的符号. (1)sin α＝yr(r>0)，因此 sin α 的符号与 y 的符号相同，当 α 的终边在 第一、二象限时，sin α>0；当 α 的终边在第三、四象限时，sin α<0. (2)cos α＝xr(r>0)，因此 cos α 的符号与 x 的符号相同，当 α 的终边在第 一、四象限时，cos α>0；当 α 的终边在第二、三象限时，cos α<0.
填要点·记疑点
1.三角函数的定义 (1)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，那么 ①xr叫做角 α 的 余弦 ，记作 cos α ，即 cos α＝xr ； ②yr叫做角 α 的 正弦 ，记作 sin α ，即 sin α＝yr ； ③yx叫做角 α 的 正切 ，记作 tan α ，即 tan α＝yx .
跟踪训练3 已知cos θ·tan θ<0，那角θ是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
解析 ∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ<0， 或cos θ>0，
tan θ>0
tan θ<0.
cos θ<0，
由
得角 θ 为第三象限角.
tan θ>0，
第一章 基本初等函数(Ⅱ)
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解 三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正 切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的 同一三角函数值相等.
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、
正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值
为函数值的函数，统称为三角函数.
(2)角α的正割：sec
α＝co1s
α
＝
r x
；
角α的余割：csc
α＝sin1
α＝
r y
；
角α的余切：cot α＝tan1 α＝
x y
.
2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
明目标、知重点
(3)tan α＝yx，因此 tan α 的符号由 x、y 确定，当 α 终边在第一、三象限 时，xy>0，tan α>0；当 α 终边在第二、四象限时，xy<0，tan α<0. 三角函数值在各象限内的符号，如图所示：
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
例3 判断下列各式的符号： (1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； 解 ∵α是第二象限角. ∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0. (2)sin 285°cos(－105°)； 解 ∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0， ∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0， ∴sin 285°·cos(－105°)>0.
解析
因为 sin θ＝
y ＝－2 42＋y2
5
5，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
例2 求下列各角的六个三角函数值. (1)0； 解 当α＝0时，x＝r，y＝0， 所以sin 0＝0，cos 0＝1，tan 0＝0， csc 0不存在，sec 0＝1，cot 0不存在； (2)π； 解 当α＝π时，x＝－r，y＝0， 所以sin π＝0，cos π＝－1，tan π＝0. csc π不存在，sec π＝－1，cot π不存在；
(3)π3； 解 sin π3＝ 23，cos π3＝12，tan π3＝ 3，sec π3＝2， csc π3＝233，cot π3＝ 33；
π (4)2. 解 sin π2＝1，cos π2＝0，tan π2不存在，sec π2不存 在，csc π2＝1，cot π2＝0.
探究点三 三角函数在各象限的符号
cos θ>0，
由
得角 θ 为第四象限角.
tan θ<0，
∴角θ为第三或第四象限角.
答案 C
当堂测·查疑缺
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1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
A.45
B.35
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y
＝3，r＝5，所以 cos α＝xr＝－45.
跟踪训练2 利用任意角三角函数的定义写出下列角 的六个三角函数值. (1)π6； 解 sin π6＝12，cos π6＝ 23，tan π6＝ 33，sec π6＝233， csc π6＝2，cot π6＝ 3；
(2)π4； 解 sin π4＝ 22，cos π4＝ 22，tan π4＝1，sec π4＝ 2， csc π4＝ 2，cot π4＝1；
以原点为圆心，以单位长度为半径
的圆为单位圆.锐角α的终边与单位
圆交于P(x，y)点，则有：sin α＝ y ，
cos
α＝ x ，tan
α＝
y x
.
探究点二 任意角三角函数的概念
思考1 任意角三角函数是怎样定义的？
①单位圆定义法：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交
于点P(x，y)，那么： y 叫做α的正弦，记
作sin α，即sin α＝ y ； x 叫做α的余弦，记
作cos α，即cos α＝ x ；yx 叫做α的正切，记
作tan
α，即tan
α＝
y x
(x≠0).
②终边定义法：
设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距
离为r，则有sin
α＝yr，cos
α＝
xr，tan
α＝
y x
(x≠0)，其
(3)sin 3·cos 4·tan－234π. 解 ∵π2<3<π，π<4<32π，∴sin 3>0，cos 4<0. ∵－234π＝－6π＋π4，∴tan－234π>0， ∴sin 3·cos 4·tan－234π<0. 反思与感悟 准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确 记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.
中r＝ x2＋y2 >0.
思考2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α 的终边上的位置的改变而改变呢？ 答 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值， 即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与 角有关，与角α终边上P点的位置无关.
思考3 在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系 有什么特点，函数值是什么？ 答 (1)当 α＝2π＋kπ (k∈Z)时，α 的终边在 y 轴上，终边上任 意一点的横坐标 x 都等于 0，所以 tan α＝yx无意义，除此情况 外，对于确定的值 α，上述三个值都是唯一确定的实数.
呈重点、现规律 1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三 角函数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题， 并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正 确选取. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.