江西省赣州市崇义中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试卷

2016-2017学年江西省赣州市崇义中学高一（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．若A={x|x+1＞0}，B={x|x﹣3＜0}，则A∩B=（）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（1，3）
2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）
A．y=x3B．y=cosx C．D．y=ln|x|
3．数列，的一个通项公式是（）
A．B．C．D．
4．设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
5．在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为（）．
A．5 B．6 C．8 D．10
6．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=（）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣0.5
7．知||=1，||=2，与的夹角为60°，=3+，=λ﹣，若⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣
8．若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为（）
A．30° B．60° C．120°D．150°
9．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则φ的值为（）
A．B．C．D．
10．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模||•sinθ，若，则||=（）A．B．C．2 D．4
11．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx+cosx，sinx﹣cosx）（x∈R），若⊥，则x的取值集合为（）
A．{x|x=+，k∈Z} B．{x|x=kπ+，k∈Z}
C．{x|x=+，k∈Z} D．{x|x=kπ+，k∈Z}
12．在边长为3的正三角形ABC中，点M、N分别满足，则=（）A．B．C．D．
二、填空题：（（每小题5分，共20分）
13．若数列{a n}是等差数列，a3，a10是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，则a5+a8= ．
14．已知向量=（3，4），=（sina，cosa），且∥，则tan2a= ．
15．已知点A（1，0），B（2，﹣1），C（0，1），D（﹣1，2），则与的夹角大小为．16．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足，则= ．
三、解答题：（共70分）
17．已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求a1，d．
18．已知数列{a n}中，a1=3，a10=21，通项a n是项数n的一次函数，
①求{a n}的通项公式，并求a2009；
②若{b n}是由a2，a4，a6，a8，…，组成，试归纳{b n}的一个通项公式．
19．已知||=1，•=，（﹣）•（+）=．
（1）求向量与的夹角θ；
（2）求|+|．
20．设函数f（x）=2mcos2x﹣2msinx•cosx+n（m＞0）的定义域为，值域为．
（1）求m，n的值；
（2）若f（x）=2，求x的值．
21．已知=（，﹣1），=（，），且存在实数k和t，使得=+（t2﹣3）， =﹣k+t，且⊥，试求的最值．
22．四边形ABCD中，
（1）若，试求x与y满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
2016-2017学年江西省赣州市崇义中学高一（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．若A={x|x+1＞0}，B={x|x﹣3＜0}，则A∩B=（）
A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，3）C．（﹣1，3）D．（1，3）
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】根据集合的意义，A、B均是一元一次方程的解集，先求集合A、B，然后求交集，可以直接得结论．
【解答】解：根据集合的意义，A、B均是一元一次不等式的解集，
解可得，A={x|x＞﹣1}，B={x|x＜3}
由交集的运算可得，A∩B={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），
故选C．
2．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）
A．y=x3B．y=cosx C．D．y=ln|x|
【考点】3K：函数奇偶性的判断；3E：函数单调性的判断与证明．
【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性．
【解答】解：A．函数y=x3为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，所以A不合适．
B．函数y=cosx为偶数，但在（0，+∞）上不单调，所以B不合适．
C．函数y=为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，所以C不合适．
D．函数y=ln|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，所以D合适．
故选D．
3．数列，的一个通项公式是（）
A．B．C．D．
【考点】81：数列的概念及简单表示法．
【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．
【解答】解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴
故选B
4．设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【考点】4M：对数值大小的比较；4C：指数函数单调性的应用．
【分析】易知a＜0 0＜b＜1 c＞1 故 a＜b＜c
【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，
∴有a＜b＜c
故选A．
5．在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为（）．
A．5 B．6 C．8 D．10
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】本题主要是等差数列的性质等差中项的应用，用求出结果．
【解答】解：由等差数列的性质得a1+a9=2a5，
∴a5=5．
故选A
6．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=（）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣0.5
【考点】96：平行向量与共线向量．
【分析】把、可以作为平面向量的一组基底，求得向量和向量的坐标，再利用两个向量共线的性质，求得λ的值．
【解答】解：方法1：因为向量与共线，所以存在实数x有=x=2x，
则，解得．
方法2：由于与是两个不共线的向量，故、可以作为平面向量的一组基底，
故向量的坐标为（1，λ），向量的坐标为（2，﹣1）
是且向量与共线，可得 1×（﹣1）﹣2λ=0，解得λ=﹣，
故选D．
7．知||=1，||=2，与的夹角为60°，=3+，=λ﹣，若⊥，则实数λ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣
【考点】9Y：平面向量的综合题．
【分析】由题设条件⊥可得•=0，将=3+，=λ﹣代入，展开，再将||=1，||=2，与的夹角为60°代入，即可得到关于参数的方程，求出参数的值
【解答】解：由题意⊥可得•=0，
又=3+，=λ﹣
∴3λ﹣+（λ﹣3）=0
又||=1，||=2，与的夹角为60°
∴3λ﹣4+λ﹣3=0
∴λ=
故选C
8．若非零向量，满足||=||，（2+）•=0，则与的夹角为（）
A．30° B．60° C．120°D．150°
【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由题意，可先由条件|，（2+）•=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项
【解答】解：由题意（2+）•=0
∴2•+=0，即2||||cos＜，＞+=0
又||=||
∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π
∴则与的夹角为120°
故选C
9．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数
的图象，则φ的值为（）A．B．C．D．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据函数图象的平移变换法则，可求出平移后函数图象的解析式，进而结合φ的取值范围，求出结果．
【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，
可得y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象
故φ=
故选D
10．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模||•sinθ，若
，则||=（）A．B．C．2 D．4
【考点】93：向量的模．
【分析】先求向量a和向量b的夹角，然后利用所给公式求解即可．
【解答】解：∵cosθ==，θ∈（0，π），∴，
∴|a×b|=|a|•|b|•sinθ=．
故选C．
11．已知向量=（sinx，cosx），=（sinx+cosx，sinx﹣cosx）（x∈R），若⊥，则x的取值集合为（）
A．{x|x=+，k∈Z} B．{x|x=kπ+，k∈Z}
C．{x|x=+，k∈Z} D．{x|x=kπ+，k∈Z}
【考点】9J：平面向量的坐标运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由向量垂直的性质得=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx﹣cosx）=0，由此利用二倍角公式、三角函数恒等变换能求出x的取值集合．
【解答】解：∵向量=（sinx，cosx），=（sinx+cosx，sinx﹣cosx）（x∈R），⊥，
∴=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx﹣cosx）
=sin2x+sinxcosx+cosxsinx﹣cos2x
=2sinxcosx﹣（cos2x﹣sin2x）
=sin2x﹣cos2x
=sin（2x﹣）=0，
∴，k∈Z，
解得x的取值集合{x|x=+，k∈Z}．
故选：A．
12．在边长为3的正三角形ABC中，点M、N分别满足，则=（）
A．B．C．D．
【考点】9V：向量在几何中的应用．
【分析】先根据条件得到M，N分别为AB，BC的三分点；再把转化为，放到根号内即可计算其模长．
【解答】解：由题得：M，N分别为AB，BC的三分点，
且=
=
=．
∴||=||
==
=
=×=2．
故选D．
二、填空题：（（每小题5分，共20分）
13．若数列{a n}是等差数列，a3，a10是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，则a5+a8= 3 ．
【考点】8F：等差数列的性质；&R：根与系数的关系．
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得a3 +a10=3，再由等差数列的定义和性质a5+a8=a3 +a10，从而得出结论．
【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，a3，a10是方程x2﹣3x﹣5=0的两根，∴a3 +a10=3．
再由差数列的定义和性质可得 a5+a8=a3 +a10=3．
故答案为 3．
14．已知向量=（3，4），=（sina，cosa），且∥，则tan2a= ．
【考点】GU：二倍角的正切；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据∥可得3cosα﹣4sinα=0，求得tanα==，利用二倍角公式求得tan2α=的值．
【解答】解：由题意可得3cosα﹣4sinα=0，∴tanα==，
∴tan2α==，
故答案为．
15．已知点A（1，0），B（2，﹣1），C（0，1），D（﹣1，2），则与的夹角大小为180°．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由题意可得，，，则可得，从而可求向量的夹角
【解答】解：由题意可得，，
∴
即向量与共线且反向，其夹角为180
故答案为：180°
16．已知△AOB，点P在直线AB上，且满足，则= 1或．
【考点】97：相等向量与相反向量．
【分析】把代入所给的式子进行化简，再由与共线，设=m根据定比分点公式求出t和m关系，由向量共线的等价条件列出由关、和的式子，根据向量相等求出t的值．
【解答】解：∵，且，
∴（1+2t）=2t+t，即=+，①
∵点P在直线AB上，∴设=m，即||：||=m，
根据定比分点公式得，，∵=t+（1﹣t），②，
由①②和向量相等得，，解得t=或，
∵，∴m=1或，
∴=1或．
故答案为：1或．
三、解答题：（共70分）
17．已知等差数列{a n}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求a1，d．
【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．
【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．
【解答】解：{a n}是等差数列，设{a n}的公差为d，a3a7=﹣16，a4+a6=0，
则（a1+2d）（a1+6d）=﹣16…①
a1+3d+a1+5d=0…②
由①②解得：a1=﹣8，d=2；或a1=8，d=﹣2，
18．已知数列{a n}中，a1=3，a10=21，通项a n是项数n的一次函数，
①求{a n}的通项公式，并求a2009；
②若{b n}是由a2，a4，a6，a8，…，组成，试归纳{b n}的一个通项公式．
【考点】F1：归纳推理；8F：等差数列的性质．
【分析】①由题意，设a n与n的一次函数的通项，根据a1=3，a10=21，求解即可．②计算出a2，a4，a6，a8，…，猜想{b n}的一个通项公式．
【解答】解：①由题意，通项a n是项数n的一次函数，设a n=kn+b，
当n=1时，a1=3，
当n=10时，a10=21，
解得k=2，b=1，
所以通项a n=2n+1，
那么a2009=2×2009+1=4019．
②由①可知a n=2n+1，
则a2=2×2+1=5，
a4=2×4+1=9，
a6=2×6+1=13，
a8=2×8+1=17
…
猜想b n=4n+1．
19．已知||=1，•=，（﹣）•（+）=．
（1）求向量与的夹角θ；
（2）求|+|．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据平面向量的数量积运算与夹角公式，计算即可；
（2）根据平面向量的模长公式，计算即可．
【解答】解：（1）∵（﹣）•（+）=，
∴﹣=，
即||2﹣||2=．
∵||=1，∴||2=，∴||=；…
∴cosθ===，
又θ∈，∴θ=；…
（2）|+|2=2+2•+2
=1+2×+
=，
∴|+|==．…
20．设函数f（x）=2mcos2x﹣2msinx•cosx+n（m＞0）的定义域为，值域为．（1）求m，n的值；
（2）若f（x）=2，求x的值．
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．
【分析】（1）先根据两角和与差的公式进行化简，再由x的范围确定2x+的范围，再由余弦函数的性质表示出函数f（x）的值域，进而可确定m，n的值．
（2）根据（1）求得函数f（x）的解析式，然后令f（x）=2，根据余弦函数的性质得到x的值．【解答】解：（1）
=．
∵，
∴
，
∵m＞0，，
所以f（x）max=2m+n=4，
f（x）min=﹣m+n=1，
m=1，n=2
（2）由（1）可知，m＞0时，
所以
，结合定义域为，
解得或x=．
21．已知=（，﹣1），=（，），且存在实数k和t，使得=+（t2﹣3）， =﹣k+t，且⊥，试求的最值．
【考点】9Y：平面向量的综合题．
【分析】由可知，再由，可得，即
，化简得
，根据二次函数的性质可求最值
【解答】解：由题意有，
因为，故有
因为，故
∴化简得
=
当t=﹣2时，有最小值为
22．四边形ABCD中，
（1）若，试求x与y满足的关系式；
（2）满足（1）的同时又有，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
【考点】96：平行向量与共线向量；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】（1）根据所给的三个向量的坐标，写出要用的的坐标，根据两个向量平行的充要条件写出关系式，整理成最简形式．
（2）写出向量的坐标，根据两个向量垂直的充要条件写出关系式，结合上一问的结果，联立解方程，针对于解答的两种情况，得到四边形的面积．
【解答】解：
（1）∵
∴x•（﹣y+2）﹣y•（﹣x﹣4）=0，
化简得：x+2y=0；
（2），
∵
∴（x+6）•（x﹣2）+（y+1）•（y﹣3）=0
化简有：x2+y2+4x﹣2y﹣15=0，
联立
解得或
∵
则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形
当
此时
当，此时．
2017年6月7日。