2014挑战中考数学压轴题三角形四边形存在强化训练

挑战中考数学压轴题强化训练篇
专题训练一等腰三角形的存在性问题
针对训练
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．（09上海24）
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．（08南汇25）
3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．
三年真题
4．（12临沂26）如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB 的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．
图1 图2
6．（10南通27）如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF＝y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若
12
y
m
，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
两年模拟
7．（2012年福州市初中毕业班质量检查第21题）
如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16，DE ＝4．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF //AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），联结DF ，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．
（1）直接写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由；
（3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．
8．（宁波七中2012届保送生推荐考试第26题） 如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB ＝3，BC ＝32，直线y ＝323-x 经过点C ，交y 轴于点G ．
（1）点C 、D 的坐标分别是C （ ），D （ ）；
（2）求顶点在直线y ＝323-x 上且经过点C 、D 的抛物线的解
析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线y ＝323-x 平移，平移后的抛物
线交y 轴于点F ，顶点为点E （顶点在y 轴右侧）．平移后是否存在
这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？
若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 自编原创
9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，点D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，∠ADE ＝∠B ．设BD 的长为x ，CE 的长为y ．
（1）当D 为BC 的中点时，求CE 的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（3）如果△ADE 为等腰三角形，求x 的值．
备用图 备用图
等腰三角形的存在性问题参考答案:
1．因为D （3，4），所以OD ＝5，
3cos 5DOP ∠=． ①如图
1，当PD ＝PO 时，作PE ⊥OD 于E ．
在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠=
=，52OE =，所以256OO =． 此时点P 的坐标为25(,0)6
． ②如图2，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5，0)．
③如图3，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6，0)．
第1题图1 第1题图2 第1题图3
2．在Rt △ABC 中，10862222=+=+=BC AB AC .因此4cos 5ACB ∠=. 在△PQC 中，CQ ＝t ，CP ＝10－2t .
第2题图1 第2题图2 第2题图3
①如图1，当CP CQ =时，102t t =-，解得103
t =(秒). ②如图2，当QP QC =时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM ＝152PC t =
=-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠===，解得259
t =(秒). ③如图3，当PC PQ =时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN ＝1122
QC t ==. 在Rt △PNC 中，142cos 5102t CN PCN CP t
∠===-，解得8021t =(秒). 综上所述，当t 为秒秒、秒、21
80925310时，△PQC 为等腰三角形.
3．由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2．
如图，由△AOB ∽△QOP 得，OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1．
设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．
因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．
①当AP ＝AQ 时，AP 2＝AQ 2，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或43m =-
．所以符合条件的点P 不存在．
②当P A ＝PQ 时，P A 2＝PQ 2，解方程(2m ＋1)2＝5m 2，得25m =±．所以(425,0)P +． ③当QA ＝QP 时，QA 2＝QP 2，解方程m 2＋1＝5m 2，得12
m =±．所以(1,0)P ．
第3题图
4．（12临沂26）
（1）如图，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．
在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =
所以点B 的坐标为(2,23)--．
（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，
代入点B (2,23)--，232(6)a -=-⨯-．解得3a =． 所以抛物线的解析式为23323(4)y x x x =-=． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )． ①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±．
当P 在(2,3)时，B 、O 、P 三点共线．
②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==- ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-．
综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-．
第4题图
5．（11湖州24）（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．
（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =
（如图1）． ②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．
解得43
m =（如图2）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．
解得23
m =（如图3）或2m =（不合题意，舍去）． 综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为
32，43或23．
第5题图1 第5题图2 第5题图3
[另解]第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图1，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．
所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32
m =． ②如图2，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．
所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43
m =．
（3）点H 所经过的路径长为54π．思路是这样的： 如图4，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．
第5题图4 第5题图
6．（10南通27）
(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．
又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．
因此DC EB CE BF
=，即8m x x y -=． 整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m
=-
+． (2)如图1，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+． 因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．
(3) 若12y m =
，那么21218x x m m m
=-+．整理，得28120x x -+=． 解得x ＝2或x ＝6．
要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．
因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ． 将x ＝y ＝2代入12y m =
，得m ＝6（如图2）； 将x ＝y ＝6代入12y m
=，得m ＝2（如图3）．
第6题图1 第6题图2 第6题图3
7．（1）4BE t =+，5(4)8EF t =+． （2）△DEF 中，∠DEF ＝∠C 是确定的．
①如图1，当DE ＝DF 时，DE EF AB BC =，即5(4)481016t +=．解得15625
t =． ②如图2，当ED ＝EF 时，54(4)8t =+．解得125
t =． ③如图3，当FD ＝FE 时，FE AC DE BC
=，即5(4)108416t +=．解得0t =，即D 与B 重合．
第7题图1 第7题图2 第7题图3
（3）MN 是△FDE 的中位线，MN //DE ，MN ＝2，MN 扫过的形状是平行四边形． 如图4，运动结束，N 在AC 的中点，N 到BC 的距离为3； 如图5，运动开始，D 与B 重合，M 到BC 的距离为34
． 所以平行四边形的高为39344-=，面积为99242
⨯=．
第7题图4 第7题图5
8．（1）(4,23)C ，(1,23)D ． （2）顶点E 在AB 的垂直平分线上，横坐标为52，代入直线y ＝323-x ，得3y 设抛物线的解析式为253()2y a x =-(4,23)C ，可得23a =． 所以物线的解析式为22353)2y x -． （3）由顶点E 在直线y ＝323-x 上， 可知点G 的坐标为(0,23)-，直线与y 轴正半轴的夹角为30°， 即∠EGF ＝30°．
设点E 的坐标为(323)m m -，那么EG ＝2m ，平移后的抛物线为223)323y x m m --F 的坐标为223323)m -．
①如图1，当GE ＝GF 时，y F －y G ＝GE ＝2m ，所以223323m m m +=． 解得m ＝0或332
-．m ＝0时顶点E 在y 轴上，不符合题意． 此时抛物线的解析式为223373(3)3322
y x =-++-． ②如图2，当EF ＝EG 时，FG ＝23E x ，所以2233233m m m +=．解得m ＝0或32． 此时抛物线的解析式为22333()322
y x =--． ③当顶点E 在y 轴右侧时，∠FEG 为钝角，因此不存在FE ＝FG 的情况．
第8题图1 第8题图2
9．（1）当D 为BC 的中点时，AD ⊥BC ，DE ⊥AC ，CE 83
=
． （2）如图1，由于∠ADC ＝∠ADE ＋∠1，∠ADC ＝∠B ＋∠2，∠ADE ＝∠B ， 所以∠1＝∠2．
又因为AB ＝AC ，所以∠C ＝∠B ．
所以△DCE ∽△ABD ．因此DC CE AB BD
=，即86x y x -=． 整理，得21463
y x x =-+．x 的取值范围是0≤x ≤8． （3）①如图1，当DA ＝DE 时，△DCE ≌△ABD ．因此DC ＝AB ，8－x ＝6．解得x ＝2． ②如图2，当AD ＝AE 时，D 与B 重合，E 与C 重合，此时x ＝0．
③如图3，当EA ＝ED 时，∠DAE ＝∠ADE ＝∠B ＝∠C ，所以△DAC ∽△ABC ．因此8668x -=．解得72x =．
第9题图1 第9题图2 第9题图3
专题训练二平行四边形的存在性问题
典藏回顾
平行四边形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年上海、山西、河南、江西和以市为单位统一考试的江苏、浙江、山东、湖北、福建、四川等省份的部分市考到过这个问题，也是上海各区模拟考试的热点．
专题攻略
解平行四边形的存在性问题一般分三步：
第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．
针对训练
1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．(11金山24)
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（11普陀24）
3．将抛物线c1：2
=-+沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图所示．现将抛物线c1向
33
y x
左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．(11江西24)
三年真题
4．（11上海24）已知平面直角坐标系xOy （如图），一次函数334y x =
+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32
y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．
（1）求线段AM 的长；
（2）求这个二次函数的解析式；
（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像
上，点D 在一次函数334
y x =
+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．
5．（12福州21）如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD //BC ，交AB 于点D ，联结PQ ．点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．
（1）直接用含t 的代数式分别表示：QB ＝_______，PD ＝_______；
（2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q 的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ 的中点M 所经过的路径长．
图1 图2
6．（11成都28）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA |∶|OB |＝1∶5，|OB |＝|OC |，△ABC 的面积S △ABC ＝15，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过A 、B 、C 三点．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为72？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
两年模拟
7．（2012年从化市初三综合测试）
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过A(－1,0)、B(0,3)两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；
（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（3）如图2，P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ 的最大面积和此时Q点的坐标．
图1 图2
8．（2012年高安市九年级模拟考试）
已知抛物线2
(2)
y a x b
=-+(0)
ab<的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．
（1)直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A、B、C、D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．
自编原创
9．如图，已知双曲线
6
y
x
=与直线AB交于A、B两点，与直线CD交于C、D两点．
（1）求证四边形ACBD是平行四边形；
（2）四边形ACBD可能是矩形吗？可能是正方形吗？
（3）如果点A的横坐标为3，点C的横坐标为m(m＞0)，四边形ACBD的面积为S，求S 与m的之间的关系式．
平行四边形的存在性问题参考答案:
1．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，
得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．
如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．
①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．
因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)．
②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．
因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)．
③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．
因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．
第1题图
2．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．
①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2．
当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．
②如图2，图3，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．
所以点M的横坐标为4或－4．
如图2，当x＝4时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点M的坐标为(4，－5)．
如图3，当x＝－4时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点M的坐标为(－4，－21)．
第2题图1 第2题图2 第2题图3
3． 抛物线c 1：233
y x =-+与x 轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)． 抛物线c 1向左平移m 个单位长度后，顶点M 的坐标为(,3)m -，与x 轴的两个交点为(1,0)A m --、(1,0)B m -，AB ＝2．
抛物线c 2在平移的过程中，与抛物线c 1关于原点对称．所以四边形AMEN 是平行四边形．如果以点四边形AMEN 是矩形，那么AE ＝MN ．所以OA ＝OM ．
而OM 2＝m 2＋3，所以(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1（如图）．
第3题图
[另解]探求矩形ANEM ，也可以用几何说理的方法：
在等腰三角形ABM 中，因为AB ＝2，AB 3ABM 是等边三角形． 同理△DEN 是等边三角形．
当四边形ANEM 是矩形时，B 、D 两点重合．
因为起始位置时BD ＝2，所以平移的距离m ＝1．
4．（1）当x ＝0时，3334
y x =+=，所以点A 的坐标为(0，3)，OA ＝3． 如图1，因为MO ＝MA ，所以点M 在OA 的垂直平分线上，点M 的纵坐标为
32． 将32y =代入32y x =，得x ＝1．所以点M 的坐标为3(1,)2
．因此13AM = （2）因为抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (0，3)、M 3(1,)2，所以3,31.2
c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得52b =-，3c =．所以二次函数的解析式为2532
y x x =-+． （3）如图2，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ．
在Rt △ADE 中，设AE ＝4m ，DE ＝3m ，那么AD ＝5m ．
因此点C 的坐标可以表示为(4m ，3－2m )．
将点C(4m ，3－2m )代入2532
y x x =-+，得23216103m m m -=-+． 解得12
m =
或者m ＝0（舍去）． 因此点C 的坐标为（2，2）．
第4题图1 第4题图2
5．（1）QB＝8－2t，PD＝4
3
t．
（2）当点Q的速度为每秒2个单位长度时，四边形PDBQ不可能为菱形．说理如下：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．
已知PD//BC，当PQ//AB时，四边形PDBQ为平行四边形．
所以CQ CP
CB CA
=，即
26
86
t t-
=．解得
12
5
t=．
此时在Rt△CPQ中，
24
5
CQ=，
245
6
sin54
CQ
PQ
CPQ
==⨯=
∠
．
所以
2416
8
55
BQ CB CQ
=-=-=，6
BD PQ
==．
因此BQ≠BD．所以四边形PDBQ不是菱形．
如图1，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ 是菱形．
过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．
在Rt△APE中，
23
cos
5
AE
A
AP t
===，所以
10
3
t=．
当PQ//AB时，CQ CP
CB CA
=，即
10
6
3
86
CQ-
=．解得
32
9
CQ=．
所以点Q的运动速度为321016
9315
÷=．第5题图1
（3）以C为原点建立直角坐标系．
如图2，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图3，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．
如图4，PQ的中点M的坐标可以表示为（6
2
t-
，t）．经验证，点M（
6
2
t-
，t）在直
线EF上．
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．
第5题图2 第5题图3 第5题图4 [另解]第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：
当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．
设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，
得
930,
4,
42 2.
a b c
a b c
a b c
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
解得a＝0，b＝－2，c＝6．
所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．
6．（1）设OA的长为m，那么OB＝OC＝5m．
由△ABC的面积S△ABC＝15，得m＝5．
所以点A、B、C的坐标分别为(－1，0)、(5，0)、(0，－5)．
设抛物线的解析式为y＝a(x＋1) (x－5)，代入点C(0，－5)，得a＝1．
所以抛物线的解析式为y＝(x＋1) (x－5)＝x2－4 x－5．
（2）抛物线的对称轴为直线x＝2，设点E在对称轴右侧，坐标为(x，x2－4 x－5)．
①如图1，当E在x轴上方时，EF＝2(x－2)，
EH＝x2－4 x－5．解方程2(x－2)＝x2－4 x－5，得310
x=+或310
x=-（舍去）．此时正方形的边长为2210
+．
②如图2，当E在x轴下方时，EF＝2(x－2)，EH＝－(x2－4 x－5)．
解方程2(x－2)＝－(x2－4 x－5)，得110
x=+或110
x=-（舍去）．此时正方形的边长为210．
第6题图1 第6题图2 第6题图3 （3）如图3，因为点B、C的坐标分别为(5，0)、(0，－5)，
所以BC与x轴正半轴的夹角为45°．
过点B作BM⊥BC，且使得BM＝72
过点M作x轴的垂线，垂足为N，那么△BMN是等腰直角三角形．
在Rt △BMN 中，斜边BM ＝72，所以BN ＝MN ＝7． 因此点M 的坐标为(－2，7)或(12，－7)．
经检验，点(－2，7)在抛物线y ＝(x ＋1) (x －5)上；点(12，－7)不在这条抛物线上． 所以点M 的坐标是(－2，7)．
[另解]第（3）题也可以这样思考：
设抛物线上存在点M ，设点M 的坐标为(x ，x 2－4 x －5)．
由于△BMN 是等腰直角三角形，BN ＝MN ，所以5－x ＝x 2－4 x －5．
解得x ＝－2或x ＝5（与点B 重合，舍去）．
所以点M 的坐标是(－2，7)．
这种解法不需要分情况讨论点M 的位置，这是因为：
当M 在点B 的右侧时，方程为x －5＝－(x 2－4 x －5)，这个方程和点M 在点B 的左侧时的方程是同一个方程．
7．（1）抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，C (3,0)，顶点D (1,4)．
（2）如图1，直线BD 为y ＝x ＋3，E (－3,0)．
过△ABE 的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交，得到三个点F ．
① 点E (－3,0)向左平移2个单位得到点A (－1,0)，那么点B (0,3) 向左平移2个单位得
到点F 1(2,3)．经验证，F 1(2,3)在抛物线上．
② F 2不在抛物线上．
③由B (0,3)先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点E (－3,0)，那么点A (－1,0) 先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到点F 3(－4,－3)．经验证，F 3(－4,－3)不在抛物线上．
（3）如图2，直线AP 的解析式为y ＝x ＋1．过点Q 作y 轴的平行线交AP 于H ．
设Q (x , －x 2＋2x ＋3)，那么H (x , x ＋1)．
因此S △APQ ＝S △AQH ＋S △PQH ＝211()(2)322P A QH x x x x -=-++⨯23127()228x =--+
． 所以当12x =时，△APQ 的最大面积为827．此时Q )4
15,21(．
第7题图1 第7题图2
8．（1）抛物线对称轴是直线x ＝2． （2）点B (0,0)关于对称轴x ＝2对称的点C 为(4,0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)．
当△ABC 为直角三角形时，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°． 所以点A 的坐标为(2,2)或(2,－2)．
①将A (2,2)代入y ＝ax (x －4)，得12a =-．于是211(4)222
y x x x x =--=-+．因此2b =．
②当A(2,－2)代入y＝ax(x－4)，得
1
2
a=．于是2
11
(4)2
22
y x x x x
=-=-．因此2
b=-．
（3）如果四边形ABDC是正方形，那么A、D关于BC（x轴）对称且△ABC为等腰直角三角形．
由A(2,b)，得B(2＋b,0)、C(2－b,0)．
于是可得抛物线的解析式为y＝a(x－2－b)(x－2＋b)．
代入A(2,b)，得b＝－ab2．所以1
ab=-．
9．（1）因为A、B关于原点O对称，C、D关于原点O对称，所以OA＝OB，OC＝OD．所以四边形ACBD是平行四边形．
（2）如图1，当直线AB与直线CD关于直线y＝x对称时，OA＝OB＝OC＝OD，所以四边形ACBD可以成为矩形．
因为x≠0，y≠0，所以点A、B、C、D不可能落在坐标轴上，因此直线AB与CD不可能垂直，即平行四边形ACBD的对角线不可能互相垂直，所以四边形ACBD不可能成为正方形．
（3）如图2，作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，那么S△AOE＝S△COF．
①如图2，当点C在点A上方时，设OA与CF交于点M，那么S四边形AEFM＝S△COM．
因此S△AOC＝S梯形AEFC＝169
(2)(3)
2
m m
m m
+-=-．
所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC
36
4m m
=-．
②如图3，当点C在点A下方时，S△AOC＝S梯形AEFC＝169 (2)(3)
2
m m
m m
+-=-．
所以S＝S平行四边形ACBD＝4S△AOC
36
4m
m
=-．
第9题图1 第9题图2 第9题图3。