番禺区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

番禺区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设函数，则有（）
A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数，y=b x
C．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，
2．设0＜a＜b且a+b=1，则下列四数中最大的是（）
A．a2+b2B．2ab C．a D．
3．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
4．已知m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β
5．（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
6．三个数60.5，0.56，log0.56的大小顺序为（）
A．log0.56＜0.56＜60.5B．log0.56＜60.5＜0.56
C．0.56＜60.5＜log0.56 D．0.56＜log0.56＜60.5
7．已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（）
A．24B．80C．64D．240
8．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A5
B4
C3 D2
9． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4 C.-2 D ．3 10．在△AB
C 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的
面积的最大值为
4，则此时△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
11．为了得到函数
y=sin3x 的图象，可以将函数
y=
sin （
3x+
）的图象（ ）
A
．向右平移
个单位 B
．向右平移
个单位
C
．向左平移个单位 D
．向左平移个单位
12．已知AC ⊥BC ，AC=BC ，D
满足
=t +（1﹣t
），若∠ACD=60°，则t 的值为（ ）
A
．
B
．
﹣
C
．
﹣1
D
．
二、填空题
13．集合A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}，则A ∩B= ．
14．已知()2
12811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.
15．将边长为1
的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
，
则S 的最小值是 ． 16．直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线，若l 1与l 2的交点为（1，3），则l 1与l 2的夹角的正切值等于 _________ 。

17．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ． 18．函数f （x ）
=
（x ＞3）的最小值为 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲．
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于E ，过E 的切线与AC 交于D .
（1）求证：CD ＝DA ；
（2）若CE＝1，AB＝2，求DE的长．
20．坐标系与参数方程
线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数．
21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1，
（1）求证：直线BC1∥平面D1AC；
（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．
22．（本小题满分12分）
已知向量,a b 满足：||1a =，||6b =，()2a b a ∙-=. （1）求向量与的夹角； （2）求|2|a b -.
23．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2
3
3-=n n a S （+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n b 满足143log +=⋅n n n a b a ，记n n b b b b T ++++= 321，求证：2
7
<
n T （+∈N n ）. 【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n 项和.重点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.
24．设a ＞0，是R 上的偶函数．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明：f （x ）在（0，+∞）上是增函数．
番禺区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．
而f（）===﹣=﹣f（x），
故选C．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
2．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b且a+b=1
∴
∴2b＞1
∴2ab﹣a=a（2b﹣1）＞0，即2ab＞a
又a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2＞0
∴a2+b2＞2ab
∴最大的一个数为a2+b2
故选A
3．【答案】D
【解析】：解：∵∥，
∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．
故选：D．
4．【答案】C
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；
对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
5． 【答案】B
【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=﹣+
，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f
（a ）的最大值为，
故（﹣6≤a ≤3）的最大值为
=
，
故选B ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
6． 【答案】A
【解析】解：∵60.5＞60=1， 0＜0.56＜0.50=1， log 0.56＜log 0.51=0． ∴log 0.56＜0.56＜60.5． 故选：A
【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．
7． 【答案】B 【解析】 试题分析：805863
1
=⨯⨯⨯=
V ,故选B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 8． 【答案】C
【解析】由已知，得{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为3. 9． 【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算.
10．【答案】A
【解析】解：∵（acosB+bcosA）=2csinC，
∴（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2
C，
∴sinC=2sin2
C，且sinC＞0，
∴sinC=，
∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC的面积的最大值S
△ABC=absinC≤=4，
∴a=b=4，
则此时△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
11．【答案】A
【解析】解：由于函数y=sin（3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，
即可得到y=sin[3（x+﹣）]=sin3x的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．
12．【答案】A
【解析】解：如图，根据题意知，D在线段AB上，过D作DE⊥AC，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F；
若设AC=BC=a ，则由
得，CE=ta ，CF=（1﹣t ）a ；
根据题意，∠ACD=60°，∠DCF=30°；
∴；
即；
解得．
故选：A ．
【点评】考查当满足
时，便说明D ，A ，B 三点共线，以及向量加法的平行四边形法则，
平面向量基本定理，余弦函数的定义．
二、填空题
13．【答案】 {x|﹣1＜x ＜1} ．
【解析】解：∵A={x|﹣1＜x ＜3}，B={x|x ＜1}， ∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜1}， 故答案为：{x|﹣1＜x ＜1}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
14．【答案】()2
245f x x x =-+ 【解析】
试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()22
2(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()
f x 的解析式为()2
245f x x x =-+.
考点：函数的解析式.
15．【答案】 ．
【解析】解：设剪成的小正三角形的边长为x，则：S==，（0＜x＜1）令3﹣x=t，t∈（2，3），
∴S===，当且仅当t=即t=2时等号成
立；
故答案为：．
16．【答案】
【解析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：。

17．【答案】（﹣1，﹣1）．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，
即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
18．【答案】12．
【解析】解：因为x ＞3，所以f （x ）＞0
由题意知：
=﹣
令t=∈（0，），h （t ）=
=t ﹣3t 2
因为 h （t ）=t ﹣3t 2
的对称轴x=，开口朝上知函数h （t ）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；
故h （t ）∈（0，]
由h （t ）=⇒f （x ）=
≥12
故答案为：12
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）证明：
如图，连接AE ， ∵AB 是⊙O 的直径， AC ，DE 均为⊙O 的切线， ∴∠AEC ＝∠AEB ＝90°， ∠DAE ＝∠DEA ＝∠B ， ∴DA ＝DE .
∠C ＝90°－∠B ＝90°－∠DEA ＝∠DEC ， ∴DC ＝DE ， ∴CD ＝DA .
（2）∵CA 是⊙O 的切线，AB 是直径， ∴∠CAB ＝90°，
由勾股定理得CA 2＝CB 2－AB 2， 又CA 2＝CE ×CB ，CE ＝1，AB ＝2， ∴1·CB ＝CB 2－2，
即CB 2－CB －2＝0，解得CB ＝2，
∴CA2＝1×2＝2，∴CA＝ 2.
由（1）知DE＝1
2CA＝
2 2，
所以DE的长为2
2.
20．【答案】
【解析】解：圆C：的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4
由于圆心C（﹣1，2）到直线l：3x+4y﹣12=0的距离
d==＜2
故直线与圆相交
故他们的公共点有两个．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．
21．【答案】
【解析】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB=C1D1，
故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上，
故直线BC1平行于平面DA1C；
（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h）
以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得
而△AD1C中，，故
所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积，
即直线BC1到平面D1AC的距离为．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．
22．【答案】（1）3
π
；（2）27． 【解析】
试题分析：（1）要求向量,a b 的夹角，只要求得这两向量的数量积a b ⋅，而由已知()2a b a ∙-=，结合数量积的运算法则可得a b ⋅，最后数量积的定义可求得其夹角；（2）求向量的模，可利用公式2
2
a a =，把
考点：向量的数量积，向量的夹角与模．
【名师点睛】本题考查向量的数量积运算及特殊角的三角函数值，求解两个向量的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别计算两个向量的模；第三步，根据公式cos ,a b a b a b
⋅<>=求得这两个
向量夹角的余弦值；第四步，根据向量夹角的范围在[0,]π内及余弦值求出两向量的夹角． 23．【答案】 【
解
析
】
24．【答案】
【解析】解：（1）∵a＞0，是R上的偶函数．
∴f（﹣x）=f（x），即+=，
∴+a•2x=+，
2x（a﹣）﹣（a﹣）=0，
∴（a﹣）（2x+）=0，∵2x+＞0，a＞0，
∴a﹣=0，解得a=1，或a=﹣1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知，
∴
∵x＞0，
∴22x＞1，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
【点评】本题主要考查函数单调性的判断问题．函数的单调性判断一般有两种方法，即定义法和求导判断导数正负．。