苏州吴江存志外国语学校八年级数学上册第三单元《轴对称》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12
AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）
A ．35cm
B ．30cm
C ．25cm
D ．20cm
2．如图，AD 是ABC ∆的中线，E 是AD 上一点，BE 交AC 于F ，若
,9,6BE AC BF CF ===，则AF 的长度为（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．2.5
3．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．如图所示，等腰直角三角形ADM 中，AM DM =，90AMD ∠=︒，E 是AD 上一点，连接ME ，过点D 作DC ME ⊥交ME 于点C ，过点A 作AB ME ⊥交ME 于点B ，4AB =，10CD =，则BC 的长度为（ ）
A ．3
B ．6
C ．8
D ．10 5．点1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，则()2021a b +的值为（ ）
A ．1-
B ．1
C ．0
D ．2021- 6．如图，已知ABC ∆中，,AB AC =点,D
E 是射线AB 上的两个动点(点D 在点E 的右侧)．且,CE DE =连结CD ，若ACE x ∠=，BCD y ∠=．则y 关于x 的函数关系式是（ ）
A ．()900180y x x =-<<︒
B ．()101802y x x =<<︒
C ．()39001802
y x x =-<<︒ D ．()201803
y x x =<<︒ 7．如图，ABC 是等边三角形，D 是线段BC 上一点（不与点,B C 重合），连接AD ，点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上，且DE DF AD ==，点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是（ ）
A ．不变
B ．一直变小
C ．先变大后变小
D ．先变小后变大 8．平面直角坐标系中，已知()1,1A ，()2,0B ．若在x 轴上取点C ，使ABC 为等腰三
角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
9．如图，已知点D 为ABC 内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若6AC =，4BC =，则BD 的长为（ ）
A ．2
B ．1.5
C ．1
D ．2.5
10．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（ ）
A ．80︒
B ．70︒
C ．45︒
D ．30︒
11．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．4或5
D ．103
12．下列图案是轴对称图形的是有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②③ 二、填空题
13．如图，点D 、E 是ABC 的边BC 上的点，且AED n ∠=︒，
::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，若点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，则n =________．
14．如图，在Rt ABC △中．AC BC ⊥，若5AC =，12BC =，13AB =，将Rt ABC △折叠，使得点C 恰好落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，点P 为AD 上一动点，则PEB △的周长最小值为___．
15．如图，ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E 交CD 于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 交BE 于点G ，考察下列结论：①AC BF =；②2BF CE =；③ADGE GHCE S S =四四边形边形；④DGF △为等腰三角形．其中正确的有___．
16．如图，在ABC 中，AB=AC ，40A ∠=，CD //AB ，则BCD ∠的度数是______°．
17．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一动点，BD ，CD 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点E ，F ，在点D 的运动过程中，EDF ∠与A ∠的大小关系是EDF ∠______A ∠（填“＞”“＝”或“＜”）．
18．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，BE ⊥AD 于E ，AB =6，AC =14，∠ABC =3∠C ，则BE =____．
19．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．
20．如图，在ABC 中，12 cm AB AC ==， 6 cm BC =，D 为AC 的中点，动点P 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动，设运动时间为t ，当过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，当其中一部分是另一部分的2倍时，
t =_________．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在△ABC 内，BD ＝BC ，∠DBC ＝60°，点E 在△ABC 外，∠CBE ＝150°，∠ACE ＝60°．
（1）求∠ADC 的度数．
（2）判断△ACE 的形状并加以证明．
（3）连接DE ，若DE ⊥CD ，AD ＝1，求DE 的长．
22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，ABC ∠的平分线交CD 的延长线于点E ，F 是BE 的中点，连接CF 并延长交AD 于点G ．
（1）求证：BCG DCG ∠=∠．
（2）若50CGD ︒∠=，58ABC ︒∠=，求ADE ∠的度数．
23．下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：ABC
求作：ABC 的边BC 上的高AD
作法：（1）分别以点B 和C 为圆心，BA ，CA 为半径作弧，两弧相交于点E ； （2）作直线AE 交BC 边于点D ．
所以线段AD 就是所求作的高．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接BE ，CE ．
BA =______
∴点B 在线段AE 的垂直平分线上（ ）（填推理依据）
同理可证，点C 也在线段AE 的垂直平分线上
BC ∴垂直平分AE （ ）（填推理依据）
AD ∴是ABC 的高．
24．已知在ABC 中，CAB ∠的平分线AD 与BC 的垂直平分线DE 交于点D ，DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥交AC 的延长线于N ．
（1）证明：BM CN =；
（2）当80BAC ∠=︒时，求DCB ∠的度数．
25．如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，点M 从点B 出发沿线段BC 方向，在线段BC 上运动．在点M 运动的过程中，连结AM ，并以AM 为边在线段BC 上方，作等边AMN ∆，连结CN ．
（1）当_________BAM ∠=时，2AB BM =；
（2）请添加一个条件：_________，使得ABC ∆为等边三角形；当ABC ∆为等边三角形时，求证：CN CM AC +=；
26．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，Rt△ABC的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）画△ABC的角平分线CD交AB于点D；
（2）画AB边的垂直平分线l交直线CD于点P．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵MN垂直平分线段AD，
∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm，
∵AB+BC+AC=15cm，
∴AB+BC+DC=15cm，
∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
2．B
解析：B
【分析】
延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，证明()△△ACD GBD SAS ≅，根据全等三角形的性质可得到CAD G ∠=∠，AC=BD ，等量代换得到BE=BG ，再由等腰三角形的性质得到G BEG ∠=∠，推出EF=AF ，即可解决问题；
【详解】
如图，延长AD 到G 使得DG AD =，连接BG ，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴CD=BD ，
在△ACD 与△GBD 中，
CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()△△ACD GBD
SAS ≅， ∴CAD G ∠=∠，AC=BD ，
∵BE=AC ，
∴BE=BG ，
∴G BEG ∠=∠，
∵BEG AEF ∠=∠，
∴AEF EAF ∠=∠，
∴EF=AF ，
∴AF CF BF AF +=-，
即69AF AF +=-， ∴32
AF =
； 故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质求解是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
点D 到点A 、点B 的距离相等可知点D 在线段AB 的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D 到点A 、点B 的距离AD=BD ，
∴点D 在线段AB 的垂直平分线上，
故选择：D ．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图． 4．B
解析：B
【分析】
通过先证明AMB MDC △≌△，得到=4AB MC =,=10MB CD =，即可求得
=BC MB MC -，即可得到答案．
【详解】
解：∵DC ME ⊥，AB ME ⊥，90AMD ∠=︒
∴DCM B ∠=∠，+90AMB DMC ∠∠=︒,+90MDC DMC ∠∠=︒
∴AMB ∠=MDC ∠
∵AM DM =
∴AMB MDC △≌△
∴
AB MC =,MB CD =
∵4AB =，10CD = ∴4MC =,10MB =
∴=1046BC MB MC -=-=
故选B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形判定和性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得a ，b 的值，进一步可得答案．
【详解】
解：∵1(1,2020)P a -和2(2017,1)P b -关于x 轴对称，得
a-1=2017，1-b=2020．
解得a=2018，b=-2019，
∴()
()()202120212021=2018201911a b +-=-=- 故选：A ．
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 6．B
解析：B
【分析】
根据等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC=x+∠BCE 和∠D=∠DCE=y+∠BCE ，由三角形的外角性质得出∠ABC=∠D+∠BCD ，即x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，即x=2y ，得出y 关于x 的函数关系式．
【详解】
解：∵AB AC =，ACE x ∠=，
∴ ∠ACB=∠ABC=x+∠BCE ，
∵CE DE =，BCD y ∠=
∴∠D=∠DCE=y+∠BCE ，
∵ ∠ABC 是△BCD 的一个外角，
∴∠ABC=∠D+∠BCD ，
即 x+∠BCE= y+∠BCE+ y ，
即x=2y ， ∴()101802
y x x =
<<︒， 故选：B ．
【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的外角等于它不相邻的两个内角和．熟练掌握并运用各性质是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
先根据等边三角形的性质可得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，从而可得
120EBD DCF ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得
BAD E CDF ∠=∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE CD =，从而可得BED 周长为BE BD DE BC AD ++=+，最后根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】 ABC 是等边三角形，
60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒，
120EBD DCF ∴∠=∠=︒，
DF AD =，
CAD F ∴∠=∠，
又6060BAD CAD BAC CDF F ACB ∠+∠=∠=︒⎧⎨∠+∠=∠=︒⎩， BAD CDF ∴∠=∠，
DE AD =，
BAD E ∴∠=∠，
E CD
F ∴∠=∠，
在BDE 和CFD △中，EBD DCF E CDF DE FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()BDE CFD AAS ∴≅，
BE CD ∴=，
则BED 周长为BE BD DE CD BD AD BC AD ++=++=+，
在点D 从B 运动到C 的过程中，BC 长不变，AD 长先变小后变大，其中当点D 运动到BC 的中点位置时，AD 最小，
∴在点D 从B 运动到C 的过程中，BED 周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
8．C
解析：C
【分析】
分三种情况：当AB=AC 时，当BA=BC 时，当AC=AB 时，根据等腰三角形两边相等的性质分别作图即可得解．
【详解】
当AB=AC 时，点C 与点O 重合；
当BA=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与x 轴有两个交点；
当AC=AB 时，作线段AB 的垂直平分线，与x 轴有一个交点，
共有4个点C ，
故选：C ．
．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，直角坐标系中作等腰三角形的方法，熟记等腰三角形的性质并利用其作图是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=6，BC=4，即可推出BD的长度．
【详解】
解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=6，BC=4，
∴CE=4，
∴AE=AC-EC=6-4=2，
∴BE=2，
∴BD=1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等
腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
10．A
解析：A
【分析】
由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解．
【详解】
∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°，
∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°，
∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．
【详解】
解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，
∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；
由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等
（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；
（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；
（3）当3x-5=5时，解得103
x =，则2x-3=113，不合题意； （4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；
综上所述：x 的值为4．
故答案为：B
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 12．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
二、填空题
13．80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得
∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80
【分析】
先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．
【详解】
解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，
∴AD=CD ，AE=BE ，
∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，
∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，
∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，
∴,2C x B x ∠=∠=，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴322180x x x x x ++++=︒，
解得20x =︒，
∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
14．【分析】根据由沿AD 对称得到进而表示出最后求周长即可【详解】由沿AD 对称得到则E 与C 关于直线AD 对称∴如图连接由题意得∴当P 在BC 边上
即D 点时取得最小值12∴周长为最小值为故答案为:20【点睛】本题 解析：【分析】
根据ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称,得到AE AC =，进而表示出
PB PE PB PC BC ，最后求PEB ∆周长即可．
【详解】
ADE ∆由ACD ∆沿AD 对称得到，
则E 与C 关于直线AD 对称，
5AE AC ==，
∴1358BE AB AE =-=-=，
如图,连接PC ，
由题意得PC PE =，
∴12PB PE PB PC BC ，
当P 在BC 边上，即D 点时取得最小值12，
∴PEB ∆周长为PE PB BE ，最小值为12820+=．
故答案为:20．
【点睛】
本题考查了三角形折叠问题，正确读懂题意是解本题的关键．
15．①②④【分析】只要证明△BDF ≌△CDA △BAC 是等腰三角形即可判断①②正确作GM ⊥BD 于M 只要证明GH ＜DG 即可判断③错误证明可判断④正确【详解】解：①又又∴是等腰直角三角形在和中故①正确；②平分 解析：①②④
【分析】
只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，即可判断①②正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断③错误，证明DGF DFG ∠=∠可判断④正确．
【详解】
解：①CD AB ⊥，
90CDA BDF ∠∴∠==︒，
18090DBF DFB BDF ︒∠+∠=-∠=︒，
又BE AC ⊥，
90BEA ∴∠=︒，
18090DBF DAC BEA ∠+∠=-∠=∴︒︒，
DAC DFB ∠=∠∴，
又
45ABC ∠=︒，
18045DCB ABC BDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，
∴BCD △是等腰直角三角形，
BD CD ∴=，
在ACD △和FBD 中， DAC DFB CDA BDF CD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD FBD AAS ∴≅，
AC BF ∴=．故①正确；
②BE 平分ABC ∠，BE AC ⊥，
ABE CBE ∴∠=∠，90BEA BEC ∠=∠=︒，
∴在ABE △和CBE △中，
ABE CBE BE BE
BEA BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ASA ABE CBE ∴≅，
AE CE ∴=，
2AC AE CE CE ∴=+=，
又AC BF =，
2BF CE ∴=，故②正确；
③如图所示，过G 作GM BD ⊥于点M ，
H 为等腰直角BCD △斜边BC 的中点，
DH BC ∴⊥，即90GHB ∠=︒，
又BE 平分ABC ∠，GM BD ⊥，
GM GH ∴=，
又BD BH >，
BDG BGH S S ∴>，
又ABE CBE ≅
ABE CBE S S ∴=，
ABE BDG ADGE S S S ∴=-四边形，CBE BGH GHCE S S S =-四边形，
ADGE GHCE S S ∴<四边形四边形，故③错误；
④18090HBG BGH GHB ∠+∠=︒-∠=︒，18090DBF DFG BDF ∠+∠=︒-∠=︒，HBG DBF ∠=∠，
BGH DFG ∴∠=∠，
又BGH DGF ∠=∠，
DGF DFG ∴∠=∠，
DGF ∴为等腰三角形．
∴综上，答案为①②④．
【点睛】
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第三个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．
16．110【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B=70º再根据平行线的性质求出的度数【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠ACB==70º∵//∴+∠B=180º∴=110º故答案为：110【点睛】本题考查了
解析：110
【分析】
根据等腰三角形的性质，求出∠B=70º，再根据平行线的性质，求出BCD ∠的度数．
【详解】
解：∵AB=AC ，40A ∠=，
∴∠B=∠ACB=180402
︒-︒=70º， ∵CD //AB ，
∴BCD ∠+∠B=180º，
∴BCD ∠=110º，
故答案为：110．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练运用已知条件，准确推理计算，是解决这类题的关键．
17．＝【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EDFD=FC 则根据等腰三角形的性质得到∠EDB=∠B ∠FDC=∠C 然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ）利用三角形内角和定理
解析：＝
【分析】
先根据线段的垂直平分线的性质得到EB=ED ，FD=FC ，则根据等腰三角形的性质得到
∠EDB=∠B ，∠FDC=∠C ，然后利用平角的定义得∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ），利用三角形内角和定理得到∠A=180°-（∠B+∠C ），所以∠EDF=∠A ．
【详解】
解：∵BD 、CD 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ，
∴EB=ED ，FD=FC ，
∴∠EDB=∠B ，∠FDC=∠C ，
∴∠EDB+∠FDC=∠B+∠C ，
∵∠EDF=180°-（∠EDB+∠FDC ），∠A=180°-（∠B+∠C ），
∴∠EDF=∠A ．
故答案为：=．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
18．【分析】如图延长交于证明可得再求解再证明：可得从而可得答案【详解】解：如图延长交于AD 平分∠BAC 故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义等腰三角形的判定与性 解析：4.
【分析】
如图，延长BE ，
交AC 于G ， 证明,AGB ABG ∠=∠ 可得,AG AB = ,GE BE = 再求解CG ，
再证明：C CGB ∠=∠， 可得,BG CG = 从而可得答案． 【详解】
解：如图，延长BE ，
交AC 于G ，
AD 平分∠BAC ，
,GAE BAE ∴∠=∠
,BE AD ⊥
90AEG AEB ∴∠=∠=︒，
,AGB ABG ∴∠=∠
6AG AB ∴==，
,GE BE = 14AC =，
8CG ∴=，
,AGB C CBG ∠=∠+∠
2,ABC ABG CBG AGB CBG C CBG ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠
3,ABC C ∠=∠
32,C C CBG ∴∠=∠+∠
,C CBG ∴∠=∠
8BG CG ∴==，
1 4.2
BE BG ∴== 故答案为：4.
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
19．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角∠B ＝∠A 时③∠A 是底角∠B ＝∠A 时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A 是顶角∠B ＝（180°−∠A ）÷
解析：50°或80°或65°
【分析】
由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，③∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，利用三角形的内角和进行求解．
【详解】
①∠A 是顶角，∠B ＝（180°−∠A ）÷2＝65°；
②∠A 是底角，∠B ＝∠A ＝50°．
③∠A 是底角，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°−50°×2＝80°，
∴当∠B 的度数为50°或65°或80°时，△ABC 是等腰三角形．
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．
20．4或14秒【分析】由于动点P 从点A 出发沿的方向运动所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时设P 点运动了t 秒用含t 的代数式分别表示BPAP 根据条件过DP 两点的直线将的周长分成两部分使其中一部分是另
解析：4或14秒．
【分析】
由于动点P 从点A 出发，沿A B C --的方向运动，所以分两种情况进行讨论：（1）P 点在AB 上时，设P 点运动了t 秒，用含t 的代数式分别表示BP ，AP ，根据条件过D ，P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分，使其中一部分是另一部分的2倍，求出t 的值；（2）P 点在BC 上时，同理，可解得t 的值．
【详解】
解：分两种情况：
（1）P 点在AB 上时，如图，
∵12 cm AB AC ==，1 6 cm 2AD CD AC ==
=， 设P 点运动了t 秒，则AP t =，12BP t =-，由题意得： ()12AP AD BP BC CD +=
++或()12AP AD BP BC CD +=++， ∴()1612662t t +=-++①或1(6)12662
t t +=-++②， 解①得4t =秒，解②得，14t =（舍去）；
（2）P 点在BC 上时，如图，P 点运动了t 秒，
则AB BP t +=，18PC AB BC t t =+-=-，
由题意得：()2AD AB BP PC CD ++=+或()2AD AB BP PC CD ++=+， ∴()62186t t +=-+①或()26186t t +=-+②
解①得14t =秒，解②得，4t =秒（舍去）．
故当4t =或14秒时，过D 、P 两点的直线将ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
故答案为4或14秒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及动点问题．解答此题时要分情况进行讨论，不要漏解．
三、解答题
21．（1）150°；（2）等边三角形，见解析；（3）2
【分析】
（1）首先证明△DBC 是等边三角形，推出∠BDC ＝60°，DB ＝DC ，再证明△ADB ≌△ADC ，推出∠ADB ＝∠ADC 即可解决问题；
（2）利用ASA 证明△ACD ≌△ECB 得到AC ＝CE ，结合∠ACE ＝60°可得△ACE 是等边三角形；
（3）首先证明△DEB是含有30度角的直角三角形，求出EB与DE的关系，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形．
∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．
在△ADB和△ADC中，
∵
AC=AB AD=AD DC=DB ⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，
∴△ADC≌△ADB（SSS）．∴∠ADC＝∠ADB．
∴∠ADC
＝1
2
（360°﹣60°）＝150°．（2）解：△ACE是等边三角形．
理由如下：∵∠ACE＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ECB．
∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，
∴∠ADC＝∠EBC．
在△ACD和△ECB中，
∵
ACD=ECB CD=CB
ADC=EBC ∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
，
∴△ACD≌△ECB（ASA）．
∴AC＝CE．
∵∠ACE＝60°，
∴△ACE是等边三角形．（3）解：连接DE．
∵DE⊥CD，
∴∠EDC＝90°．
∵∠BDC＝60°，
∴∠EDB＝30°．
∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°，
∴∠DBE ＝90°．
∴EB ＝12
DE ． ∵△ACD ≌△ECB ，AD ＝1，
∴EB ＝AD ＝1，
∴DE ＝2EB ＝2．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 22．（1）见解析；（2）111ADE ︒∠=．
【分析】
（1）根据BE 平分ABC ∠，得到12
ABF CBF ABC ∠=∠=∠，由 AB CD ∥，可证得BCE 是等腰三角形，根据F 为BE 的中点，可证BCG DCG ∠=∠；
（2）根据AB CD ∥，58ABC ︒∠=，可得 122BCD ︒∠=，利用CG 平分BCD ∠，求得
1612
GCD BCD ︒∠=∠=，根据 50CGD ︒∠=，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，可求得 111ADE ∠=︒．
【详解】
解：（1）∵BE 平分ABC ∠， ∴12
ABF CBF ABC ∠=∠=
∠． ∵AB CD ∥，
∴ABF E ∠=∠，
∴CBF E ∠=∠，
∴BC ＝CE ， ∴BCE 是等腰三角形．
∵F 为BE 的中点，
∴CF 平分BCD ∠，
即BCG DCG ∠=∠．
（2）∵AB CD ∥， ∴180ABC BCD ∠+∠=︒．
∵58ABC ︒∠=，
∴122BCD ︒∠=．
∵CG 平分BCD ∠， ∴1612
GCD BCD ︒∠=∠=． ∵50CGD ∠=︒，ADE CGD GCD ∠=∠+∠，
∴111ADE ∠=︒．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质等等知识点，判断出△BCE是等腰三角形是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）BE，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线
【分析】
（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到BA=BE，CA=CE，则根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理得到点B、点C在线段AE的垂直平分线上，从而得到BC垂直平分AE．
【详解】
（1）如图，AD为所作；
（2）证明：连接BE，CE．
BA=__BE____
∴点B在线段AE的垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）（填推理依据）
同理可证，点C也在线段AE的垂直平分线上
∴垂直平分AE（两点确定一条直线）（填推理依据）
BC
∴是ABC的高．
AD
故答案为：BE；与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握基本作图，灵活运用垂直平分线的性质是解题关键．
24．（1）证明见解析；（2）∠DCB=40°．
【分析】
（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）根据角平分线的性质得到DM=DN，根据全等三角形的性质得到∠ADM=∠ADN，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠EDC=50°于是得到结论．
【详解】
（1）证明：连接BD ，DC ，如图所示：
∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，
∴DM=DN ，
∵DE 垂直平分BC ，
∴DB=DC ，
在Rt △DMB 和Rt △DNC 中，
DB DC DM DN
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △DMB ≌Rt △DNC （HL ），
∴BM=CN ；
（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN ，
∵AD 是∠CAB 的平分线，DM ⊥AB ，DN ⊥AC ，
∴DM=DN ，
在Rt △DMA 和Rt △DNA 中，
DA DA DM DN =⎧⎨=⎩
∴Rt △DMA ≌Rt △DNA （HL ），
∴∠ADM=∠ADN ，
∵∠BAC=80°，
∴∠MDN=100°，∠ADM=∠ADN=50°，
∵∠BDM=∠CDN ，
∴∠BDC=∠MDN=100°，
∵DE 是BC 的垂直平分线，
∴DB=DC ，
∴∠EDC=12
∠BDC=50°， ∴∠DCB=90°-∠EDC=40°，
∴∠DCB=40°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 25．（1）30；（2）AB=AC ；证明详见解析．
【分析】
（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）利用等边三角形的判定即可解答；利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证得△BAM≌△CAN（SAS），利用全等三角形的性质即可求证结论．
【详解】
（1）当∠BAM=30°时，
∴∠AMB=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴AB=2BM；
故答案为30；
（2）添加一个条件AB=AC，可得△ABC为等边三角形；
故答案为AB=AC；
①∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴BC＝AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴BM=CN，
∴BM＋CM=CN＋CM
即BC＝AC＝CN＋CM．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学知识．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）取格点T，连接CT交AB于点D，线段CD即为所求．
（2）取格点G，R，作直线GR交直线CT于点P，点P即为所求．
【详解】
解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）如图，直线l即为所求．
【点睛】
本题考查作图的应用与设计，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。