河南省开封市五校(杞县高中等)2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

河南省开封市五校（杞县高中等）2023-2024学年高一下学期4
月期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．化简ME+EN−PN=（）
A．MP B．MN C．NM D．PM
2．i2023−i2024=（）
A．1+2i B．1−2i
C．−1−i D．1−i
3．不等式x−21−2x≥0的解集为（）
A． x x>1
2B． x1
2
≤x≤2
C．x|x≤0.5或x≥2D． x x≤1
2
4．下列四个函数中，在(0,+∞)上为增函数的是（）
A．f(x)=3−x B．f(x)=x2+x
C．f(x)=−|x|D．f(x)=−3
x−1
5．如图所示，在直角坐标系中，已知A(1,0)，B(−1,2)，C(−1,0)，D(1,−2)，则四边形ABCD的直观图面积为（）
A．42B．32C．22D．2
6．已知函数f x=A sinωx+φ ω>0,A>0,φ<π
2
的一段图象过点0,1，如图所示，则函数f x=（）
A．f x=sin2x+π
6B．f x=2sin2x+π
3
C．f x=sin2x+π
3D．f x=2sin2x+π
6
7．若向量a，b的夹角是π
3
，a是单位向量， b=2，c=2a+b，则向量c与b的夹角为（）
A．π
6B．π
3
C．2π
3
D．3π
4
8．在三棱锥A−BCD中，△ABD和△BCD均为边长为2的等边三角形，AC=3，则该三棱锥的外接球的表面积是（）
A．82π
9B．83π
9
C．28π
3
D．28π
二、多选题
9．已知复数z=2+3i，则（）
A．z的虚部为3
B．z是纯虚数
C．z的模是7
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知函数f x=3sin2x+π
6
，则下列说法错误的是（）
A．f x的最小正周期为πB．f x的图象关于点π
12
,0对称C．f x为偶函数D．f x是周期函数
11．如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，O是它的中心，P是它边上任意一点，则（）
A．AH与CF不能构成一组基底B．OA+OC=22OB
,3+22 C．AG在AB上的投影向量的模为2D．PA⋅PB的取值范围为 −1
4
三、填空题
12．若f x=ax2a+b+b是幂函数，则f a+b=．
13．已知平面内A,B,C三点不共线，且点O满足OA⋅OB=OB⋅OC=OA⋅OC，则O是△ABC的心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）
14．在三棱锥P−OAB中，已知PO⊥平面OAB，OP=10，AB=20，PA与平面OAB所成的角为30∘，PB与平面OAB所成的角为45∘，则∠AOB=．（用角度表示）
四、解答题
15．如图，已知在正四棱锥S−ABCD中，SA=5，AB=6.
(1)求四棱锥S−ABCD的表面积；
(2)求四棱锥S−ABCD的体积.
16．已知向量a=3,2,b=−2,−1,c=a+2b．
(1)若 a−b∥ b+mc，求实数m的值；
(2)若向量d满足 a+d⋅ c−d=−d2且d⊥ a+b，求向量d的坐标．
．
17．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=2,c=2,cos C=−3
3
(1)求sin B 和a 的值； (2)求△ABC 的面积．
18．如图，在梯形ABCD 中，|DA |=2，∠CDA =π
3，CB =12
DA ，E 为AB 的中点，DP =λDC (λ≠0).
(1)若PE =34
DA +1
4
DC
，试确定点P 在线段DC 上的位置； (2)若|DC
|=t ，当λ为何值时，|PE |最小? 19．已知f x =log 2 4x +
1
2
+2 + 1
2
x −a 2
是偶函数．
(1)求a 的值；
(2)证明：f x 在 0,+∞ 上单调递增；
(3)若锐角α满足f −cos α =f tan α ，证明：cos 2α+cos 4α=1．。