高中数学 2.3《数学归纳法》教案 新人教A版选修22
人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
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山东省临沂第一中学
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 练习 下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n + +L+ = 1• 2 2 • 3 n • ( n + 1) n + 1
的过程.你认为他的证法正确吗 为什么 的过程 你认为他的证法正确吗?为什么 你认为他的证法正确吗
1 1 = , 右边 (1).当n=1时,左边 左边= 右边= 当 时 左边 1 • 2 2
12
山东省临沂第一中学
思考6 数学归纳法由两个步骤组成， 思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其 中第一步是归纳奠基 第二步是归纳递 归纳奠基， 中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递 完成这两个步骤的证明， 推，完成这两个步骤的证明，实质上解 决了什么问题？ 决了什么问题？ 逐一验证命题对从n 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数 都成立. n都成立.
山东省临沂第一中学
2.3 数学归纳法
临沂一中数学组
1
问题提出
山东省临沂第一中学
1.归纳推理的基本特征是什么？ 1.归纳推理的基本特征是什么？ 归纳推理的基本特征是什么 由个别事实概括出一般结论. 由个别事实概括出一般结论. 2.综合法， 2.综合法，分析法和反证法的基本思 综合法 想分别是什么？ 想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立， 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明. 证明.
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探究（ 探究（二）：数学归纳法的基本原理
山东省临沂第一中学
an 思考1 已知数列{a 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + an 1 a n∈N*），假设当n ），假设当 （n∈ ），假设当n＝k时，k = ，
人教版高中数学选修22数学归纳法教案和教案说明
课题：2.3数学归纳法（1）教材：普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2一、教学目标1.知识与技能（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解与记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
2.过程与方法（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力与严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
3.情感、态度与价值观（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度与不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
二、教学重、难点1.重点（1）初步理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（2）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
2.难点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。
三、教学方法与手段本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。
在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。
师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数n 有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。
既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性与合作性。
四、教学过程（一）创设问题情景情景一：观察下列等式，12+1+17＝19，22+2+17＝23，32+3+17＝29，42+4+17＝37……你能得出形如n 2+n+17的数为什么数（质数）？进一步提问，你得出的结论对吗？请你将16代入检验，（得出猜想是错的）说明这种不完全归纳得出的结论不可靠。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修2-2
即n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N*等式恒成立.
【补偿训练】用数学归纳法证明：
1 1 1 1 n (n N*). 2 4 4 6 68 2n(2n 2) 4(n 1) 1 1 【证明】(1)当n=1时，等式左边= ， 2 1 (2 1 2) 8 1 1 等式右边= . 4 (1 1) 8
n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小正整
数，这个正整数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基
要稳”是第一个关键点.
(2)递推是关键. 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程中， 要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，
弄清由n=k到n=k+1时，等式的两边会增加多少项.增加怎样的
【知识拓展】数学归纳法证题的口诀 数归证题真是妙， 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉.
【微思考】 (1)用数学归纳法证明不等式时是否通常与直接证明的方法同 时使用? 提示：是.尤其是证明n=k+1这一步时，会经常使用分析、综合、 放缩等方法. (2)与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法? 提示：不能.数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一 种方法.
(2k 1)(2k 2) =2(2k+1). k 1
f (k)
答案：2(2k+1)
(2)证明如下：当n=1时，左边= 1 1 1 ，右边= 1 ，所以等式
2 2 2
成立. 假设n=k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即 1 1 1 1
1 1 1 成立，那么n=k+1时， k 1 k 2 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2k 1 2k 2(k 1) 1 2(k 1) 1 1 1 1 1 k 1 k 2 2k 2k 1 2(k 1) 1 1 1 1 1 1 [ ] k 2 k 3 2k 2k 1 k 1 2(k 1) 1 1 1 1 ， (k 1) 1 (k 1) 2 (k 1) k 2(k 1) 2 3 4 1 1 2k 1 2k
人教版数学高二选修2-2讲义2.3数学归纳法
2.3数学归纳法1．了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理数学归纳法阅读教材P92～P94“例1”以上内容，完成下列问题．1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．()【答案】(1)×(2)×(3)√[小组合作型]用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是()A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)．【自主解答】(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.【答案】 D(2)①当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2.等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)那么当n＝k＋1时，[(k＋1)＋1]·[(k＋1)＋2]·…·[(k＋1)＋(k＋1)]＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)＝2×2k×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)×[2(k ＋1)－1]即当n＝k＋1时，等式也成立．根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立．数学归纳法证题的三个关键点1．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．3．利用假设是核心在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[再练一题]1．(1)下面四个判断中，正确的是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n －1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋kC ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13 D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4(2)用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 【解析】 (1)A 中，n ＝1时，式子＝1＋k ；B 中，n ＝1时，式子＝1；C 中，n ＝1时，式子＝1＋12＋13；D 中，f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1. 故正确的是C.【答案】 C(2)【证明】①当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立；②假设当n＝k(k≥1，且k∈N*)时等式成立，即：1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12(k＋1)－1－12(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12(k＋1)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k＋1－12(k＋1)＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋12(k＋1)＝右边，所以当n＝k＋1时等式也成立．由①②知对一切n∈N*等式都成立.用数学归纳法证明不等式(1)用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n>1324(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．(2)证明：不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．【精彩点拨】(1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．【自主解答】(1)当n＝k＋1时左边的代数式是1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋1 2k＋2，增加了两项12k＋1与12k＋2，但是少了一项1k＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 【答案】 1(2k ＋1)(2k ＋2)(2)①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．[再练一题] 2．试用数学归纳法证明例2(1)中的不等式．【证明】 ①当n ＝2时，12＋1＋12＋2＝712>1324. ②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k >1324， 那么当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋1k ＋1－1k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2＝1324＋12(2k＋1)(k＋1)>1324.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．[探究共研型]用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”问题探究【提示】解决此类问题的基本思路是：可以先从观察入手，发现问题的特点，以形成解决问题的初步思路，然后用归纳的方法进行试探，提出猜想，最后用数学归纳法给出证明．已知数列{a n}的前n项和为S n，其中a n＝S nn(2n－1)且a1＝13.【导学号：62952086】(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．【精彩点拨】(1)令n＝2,3可分别求a2，a3.(2)根据a1，a2，a3的值，找出规律，猜想a n，再用数学归纳法证明．【自主解答】(1)a2＝S22(2×2－1)＝a1＋a26，a1＝13，则a2＝115，类似地求得a3＝1 35.(2)由a1＝11×3，a2＝13×5，a3＝15×7，…，猜得：a n＝1(2n－1)(2n＋1).证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；②假设当n＝k时猜想成立，即a k＝1(2k－1)(2k＋1)，那么，当n＝k＋1时，由题设a n＝S nn(2n－1)，得a k＝S kk(2k－1)，a k＋1＝S k＋1(k＋1)(2k＋1)，所以S k＝k(2k－1)a k＝k(2k－1)1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，S k＋1＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1，a k＋1＝S k＋1－S k＝(k＋1)(2k＋1)a k＋1－k2k＋1.因此，k(2k＋3)a k＋1＝k2k＋1，所以a k＋1＝1(2k＋1)(2k＋3)＝1[2(k＋1)－1][2(k＋1)＋1].这就证明了当n＝k＋1时命题成立．由①②可知命题对任何n∈N*都成立．1．“归纳—猜想—证明”的一般环节2．“归纳—猜想—证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．[再练一题]3．已知函数y＝f(n)(n∈N*)，设f(1)＝2，且任意的n1，n2∈N*，有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．(1)求f (2)，f (3)，f (4)的值；(2)试猜想f (n )的解析式，并用数学归纳法给出证明．【解】 (1)因为f (1)＝2，f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)，所以f (2)＝f (1＋1)＝f (1)·f (1)＝22＝4，f (3)＝f (2＋1)＝f (2)·f (1)＝22·2＝23＝8.f (4)＝f (3＋1)＝f (3)·f (1)＝23·2＝24＝16.(2)猜想：f (n )＝2n (n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，f (1)＝21＝2，所以猜想正确．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想正确，即f (k )＝2k ，那么当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，所以，当n ＝k ＋1时，猜想正确．由①②知，对任意的n ∈N *，都有f (n )＝2n .1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和等于(n －2)π”时，归纳奠基中n 0的取值应为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 边数最少的凸n 边形为三角形，故n 0＝3.【答案】 C2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( )【导学号：62952087】A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3【解析】 当n ＝1时，n ＋1＝2，故左边所得的项为1＋a ＋a 2.【答案】 B3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．【解析】当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.【答案】1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)24．以下是用数学归纳法证明“n∈N*时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即2k＞k2.那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n∈N*不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．【解析】在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.【答案】(2)5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝n2(n－1)(n＋1)4.【证明】(1)当n＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k2(k－1)(k＋1)4.那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k ＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k)＝k2(k－1)(k＋1)4＋(2k＋1)k(k＋1)2＝14k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)]＝14k(k＋1)(k2＋3k＋2)＝(k＋1)2[(k＋1)－1][(k＋1)＋1]4.所以当n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*等式成立．。
高中数学教案选修2-2《2.3数学归纳法》
教课目的：1．理解数学概括法的观点 ,掌握数学概括法的证明步骤．2．经过数学概括法的学习 ,领会用不完好概括法发现规律 ,用数学概括法证明规律的门路．教课要点：1．能用数学概括法证明一些简单的数学命题．2．难点：概括 →猜想 →证明．教课过程：一、预习1．思虑并证明：平面内有 n(n ≥2)条直线 ,此中任何两条不平行 ,任何三条可是同一点 ,证明交点的个数为 f(n)＝ n(n －1)．22．小结：数学概括法是一种证明与正整数相关的数学命题的重要方法．主要有两个步骤、一个结论：（ 1）证明当 n 取第一个值 n 0（如 n 0＝1 或 2 等）时结论正确．（ 2）假定 n ＝k 时,结论正确 ,证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确（用上假定 ,递推才真）．（ 3）由（ 1）,（2）得出结论（结论写明 ,才算完好）．此中第一步是递推的基础 ,解决了特别性；第二步是递推的依照 ,解决了从有限到无穷的过渡．这两步缺一不行．只有第一步 ,属不完好概括法；只有第二步 ,假定就失掉了基础．二、讲堂训练例 1 设 n ∈ N *,F(n)＝5n＋2×3n ＿ 1＋1,（ 1）当 n ＝1,2,3,4 时 ,计算 f(n)的值．（ 2）你对 f(n)的值有何猜想？用数学概括法证明你的猜想．例 2 在平面上画 n 条直线 ,且任何两条直线都订交 ,此中任何三条直线不共点．问：这 n 条直线将平面分红多少个部分？1．用数学法明： 1＋2＋22＋⋯＋ 2n＿1＝ 2n－1 (n∈N* )．2．下边是某同学用数学法明命 1 ＋ 1＋＋1＝n的12 23n( n＋1)n＋1程,上 ,原命建立．3．求： (n＋ 1)(n＋2)⋯ (n＋n)＝2n·1·3·⋯·（2n－ 1）（ n∈N*）．四、堂小① 法：由特别到一般,是数学的重要方法；②数学法的科学性：基正确；可；③数学法程序化步：两个步,一个；④数学法点：战胜了完好法的繁、不行行的弊端,又战胜了不完全法不行靠的不足,是一种科学方法 ,使我到事情由到繁、由特别到一般、由有限到无．五、作本 P94 第 6,7,8 ．。
高中数学教案选修22《2.3数学归纳法》
Word 文档仅限参照教课目：1．理解数学法的观点, 掌握数学法的明步．2．通数学法的学 , 领会用不完整法律, 用数学法明律的门路．掌握从特别到一般是用的一种主要思想方法．教课要点：掌握数学法的原理及明的方法．教课点：能用数学法明一些的数学命．教课程：一、1．：好多同学小候都玩的游 , （教具）就是一种放的游 , 放保随意相的两 , 若前一倒下 , 必定致后一也倒下 , 只需推倒第一就会致所有都倒下（种游称多米骨牌游）．思虑个游中 , 能使所有多米骨牌所有倒下的条件是什么？只需足以下两个条件 , 所有的多米骨牌都能倒下：（ 1）；（ 2）．思虑你条件（ 2）的作用是什么？思虑假如条件（ 1）不要 , 能不可以保所有的骨牌都倒下？．我知道于数列n已知1＝1,且a n＋1＝a n（n＝1, 2, 3⋯）通＋2{ a } ,a1 a n＝前4的,我能够猜想出其通公式＝1, 但推理得出n 1, 2, 3,4,a n n的猜想不必定建立 , 必通格的明．要明个猜想 , 同学自然就会从 n＝5开始一个个往下 , 当 n 小可以逐一 , 但当 n 大 , 逐一起来会很麻,特是明 n 取所有正整数 ,Word 文档仅限参照逐一考证是不行能的．能不可以追求一种方法, 经过有限个步骤的推理 , 证明 n 取所有正整数都建立．思虑？你以为证明数学的通项公式是a n＝1, 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏 n有相像性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？多米诺骨牌游戏原理通项公式 a n＝1的证明方法n（ 1）第一块骨牌倒下．（1）当 n＝时, 猜想建立（ 2）若第 k 块倒下时 , 则相邻的第（ 2）若当n ＝时, 猜想建立 ,即, 则当 n＝时 , 猜想也成k＋ 1 块也倒下．立, 即．依据（ 1）和（ 2） , 可知无论有多依据（ 1）和（ 2） , 可知对随意的少块骨牌 , 都能所有倒下．正整数 n, 猜想都建立．证明：（1）．（ 2）假定,3．小结．数学概括法的定义：一般地 , 证明一个与正整数相关的命题, 可按以下步骤进行：（1）（概括奠定）证明当 n 取第一个值 n0时命题建立．（2）（概括递推）假定 n＝ k(k≥ n0,k∈N* )时命题建立 , 证明当 n＝k＋1 时命题也建立．只需达成这两个步骤 , 就能够判定数题对从 n0开始的所有正整数都建立．上述明方法叫做数学法．用框表示：n＝n0若 n＝k (k≥ n命建立0),命建立．明 n＝k＋1 命也建立．奠定推命从 n0从开始所有的正整数 n 都成立．注两个步缺一不行 , 只达成步（ 1）而缺乏步（ 2） , 就做出判断可能得出不正确的 , 因靠步（ 1）, 没法推下去 , 即 n 取 n0此后的数命能否正确 , 我没法判断．同 , 只有步（ 2）而缺乏步（ 1）, 也可能得出不正确的 , 缺乏步（ 1）个基 , 假就失掉了建立的前提 , 步（ 2）也就没存心了．二、堂例 1 明等差数列通公式 a n＝ a1＋(n－ 1)d．例 2 用数学法明： 1＋ 3＋ 5＋⋯＋（ 2n－1）＝n2．例 3用数学法明12＋22＋32＋⋯＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)（n∈N* ）．6：n n用数学法明：－ 1＋3－5＋⋯＋ (－ 1) (2n－1)＝ (－1) n．n＋22n＋11－ a1．用数学法明：“1＋ a＋a ＋＋a＝ a ≠ 1， n ∈N”1－a在 n＝1建立 , 左算所得的果是．．已知：＝1＋1＋＋1, f (k＋1)等于．2 f (n)＋＋2＋n 1n3n 13．用数学法明： 1×2＋2×3＋3×4＋⋯＋ n( n＋1) ＝1n( n＋1)(n＋2) ．3222－2＋－n－12n－1 n(n＋1)4．用数学法明：1－＋34＋n＝－．2( 1)( 1)2四、小要点：两个步骤、一个结论；注意：奠定基础不行少 , 概括假定要用到 , 结论写明莫忘记．五、作业课本 P94第 1, 2, 3题．。
高中数学 归纳法教案 新人教A版选修2
分析数学归纳法的实质。
教学难点
数学归纳法中递推思想的正确理解和把握。
教学方法
引导发现法，讲练结合法
教学手段
多媒体课件
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
引入新课
情境一：
1财主儿子学写字的笑话。
2“小明弟兄三个，大哥叫大毛……〞的脑筋急转弯等。
情境二:等差数列 通项公式推导过程。
思考不完全归纳法产生的问题如何解决
学生思考，形成结论
培养生理论联系实际的能力。
学生练习
多媒体出示练习
1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，
当n＝1时，左边所得项是；
当n＝2时，左边所得项是；
2、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋〔2n－1〕＝ ．
学生思考，独立完成
通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．
这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．
数学
归纳法
引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
(1)〔归纳奠基〕证明当n取第一个值 时命题成立；
(2)〔归纳递推〕假设当n＝k(k∈ ，k≥ )时命题成立那么当n=k+1时命题也成立
从而由〔1〕,(2)得出结论
课题
2.3 数学归纳法
教学目标
知识目标：使学生理解数学归纳的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法〞证明简单的与正整数有关的命题
能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.3数学归纳法
2.3数学归纳法[目标] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[重点] 数学归纳法及其应用．[难点] 对数学归纳法原理的理解．知识点数学归纳法[填一填]1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．用框图表示数学归纳法的步骤[答一答]1．在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值n0是否一定为1?提示：不一定，n0还可以取其他值，如证明“2n>n2”中，n0＝5，而证明“凸n边形内角和为(n－2)·180°”中，n0＝3.2．所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？提示：数学归纳法是证明与正整数有关的命题的有力工具，但并不是所有与正整数n有关的命题都能用数学归纳法证明，一般当从n ＝k过渡到n＝k＋1时，问题中存在可利用的递推关系时才能应用．3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？提示：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．类型一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 【证明】 (1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．总之，由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．应用数学归纳法时应注意的问题：(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n ＝1，有时需验证n ＝2，n ＝3，甚至需要验证n ＝10，如证明：对足够大的正整数n ，有2n >n 3，就需要验证n ＝10时不等式成立.(2)n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性.(1)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( B )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：左边应为1＋a ＋a 2.故选B.(2)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( B ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1类型二 用数学归纳法证明不等式【例2】 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 【证明】 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N ＋)，∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立．即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，原不等式均成立．运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，如本例就是利用了比较法.用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，∵14<12，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，即122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)得，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．类型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】 用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．【思路分析】 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n ＝1时命题成立；(2)假设n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．【证明】(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋6(3k＋1)·7k＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k.由假设知(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为(18k＋27)·7k能被9整除，所以[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．综上由(1)(2)知，对所有正整数n，命题成立．当n＝1时，原式等于27被9整除，因此要研究(3k＋1)·7k－1与(3k ＋4)·7k＋1－1之间的关系，以便利用归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除来推证(3k＋4)·7k＋1－1也能被9整除.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么，当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k ＋2＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2·y 2k ＋x 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)，因为x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，所以x 2k ＋2－y 2k ＋2能被x ＋y 整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意n ∈N *都成立．数学归纳法证明问题从n ＝k到n ＝k ＋1时弄错增加项【例4】 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)．【错解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12.那么当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②得1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)成立．【错因分析】 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12也是错误的． 【正解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立，由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12.用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n>1124(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k>1124， 即当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.因为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， 所以1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对于任意正整数n ，不等式成立．1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( C )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( C )A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,4解析：逐个代入验证．3．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，则S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49，猜想S n ＝n 2n ＋1. 解析：分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝n 2n ＋1. 4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是2k .解析：当n ＝k 时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1， 当n ＝k ＋1时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，故增加的项数为2k 项． 5．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2 ＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，n ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立．。
数学人教版高中二年级选修2 《数学归纳法》教学设计
《数学归纳法》教学设计人民教育出版社A版教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，积极参与，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体播放人的多米诺骨牌视频；学生动手参与多米诺骨牌游戏等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：回顾复习，课前准备复习1：类比推理及其一般步骤1、类比推理是由特殊到特殊的推理。
2、类比推理一般步骤：（1）观察、比较（2）联想、类推（3）猜想新结论复习2：归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（回顾复习类比推理和归纳推理目的是为数学归纳法推理的奠定基础。
第二章 2.3 数学归纳法
人教A版数学·选修2-2
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方法技巧 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情 况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝ k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的 表达式变形．
人教A版数学·选修2-2
人教A版数学·选修2-2
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法一：(分析法) 下面证(*)式≥56， 即3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3－k＋1 1≥0， 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
较法、分析法、综合法、放缩法等．
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跟踪探究 2.用数学归纳法证明： n2＋n＜n＋1(n∈N*)
证明：①当n＝1时，左边＝ 2，右边＝2， 2＜2成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即 k2＋k＜k＋1成立． 则当n＝k＋1时，左边＝ k＋12＋k＋1 ＝ k2＋k＋2k＋2 ＜ k＋12＋2k＋2 ＝
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[自我检测]
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝
1－a2n＋2 1－a
(a≠1)”．在验证n＝1时，左
端计算所得项为( )
A．1＋a
B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
数学归纳法教案
选修2-2 §2.3数学归纳法 (第一课时)教案时间：2014年4月班级：高二3班授课教师：文瑾一、教材分析1、教学内容数学归纳法是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》第二章推理与证明第3节的内容，主要内容是了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2、地位和作用数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中第五条：设M是正整数的一个子集，且它具有下列性质：①1∈M；②若k∈M，则k+1∈M．那么M是全体正整数的集合，即M=N*）也叫做归纳公理。
不难看出归纳公理是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两个证明步骤恰是验证这条公理所说的两个性质。
数学归纳法是高中数学中的一个较难理解的概念，也是一种重要的数学方法。
证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题（例如：数列通项及前n项和等）。
数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用．3、教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题，对于数学归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析。
4、教学难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设。
如果不会运用“假设当n=k,（k ≥n0，k∈N*）时，命题成立”这一条件，直接将n=k+1代入命题，便说命题成立，实质上是没有证明。
二、学情分析1、学生知识准备在进行本节课的教学时，学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”。
这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础。
2、能力储备学生具备一些的从特殊到一般的归纳能力，但对复杂的逻辑推理是模糊的。
数学：2.3《数学归纳法》教案(新人教A版选修2-2)
数学： 2.3 《数学概括法》教课设计（新人教 A 版选修 2-2 ）第一课时 2.3数学概括法（一）教课要求 ：认识数学概括法的原理 , 并能以递推思想作指导 , 理解数学概括法的操作步骤 , 能用数学概括法证明一些简单的数学命题 , 并能严格依据数学概括法证明问题的格式书写 .教课重点 ：能用数学概括法证明一些简单的数学命题 . 教课难点 ：数学概括法中递推思想的理解 .教课过程 ： 一、复习准备 ：a n1. 问题 ：在数列 { a n } 中 , a 1 1,a n ,( n*) , 先算出 a 2 , a 3 , a 4 的值 , 再11N1推断通项 a n 的公式 .1 1 a n 1a 41 由此获得： a n* ）（过程： a 2, a 3, , , n N 2. 问题 2： 2 n 41 , 234nf (n) n nf (n) 能否都为质数？当 ∈N 时,过程： f (0) =41, f (1) =43, f (2) =47, f (3) =53,f (4) =61, f (5) =71, f (6) =83,f (7) =97, f (8) =113, f (9) =131, f (10) =151, f (39) =1 601 ．可是 f (40) =1681=412 是合数3. 问题 3：多米诺骨牌游戏 . 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的摆列 , 保证前一张牌倒则后一张牌也必然倒 .二、讲解新课：1. 教课数学概括法观点：① 给出定义：概括法：由一些特别案例推出一般结论的推理方法 . 特色：由特别→一般 .不完整概括法：依据事物的部分 ( 而不是所有 ) 特例得出一般结论的推理方法叫不完整概括法 .完整概括法：把研究对象一一都考察到了而推出结论的概括法称为完整概括 法 .② 议论：问题 1 中, 假如 n=k 猜想建立 , 那么 n=k+1 能否建立？ 对所有的正整数 n 能否建立？③ 提出数学概括法两大步：（i ）概括奠定：证明当 n 取第一个值 n 0 时命题建立；（ ii ）概括递推：假定 n=k （ k ≥ n 0 , k ∈N* ）时命题建立 , 证明当 n=k+1 时命题也建立 . 只需达成这两个步骤 , 就能够判定数题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都建立 .原由 ：在基础和递推关系都建即刻 , 能够递推出对所有不小于 n 0 的正整数 n 0+1, n 0+2, , 命题都建立 . 重点：从假定 n=k 建立 , 证得 n=k+1 建立 .2. 教课例题：① 出示例 1： 12 2 2 3 2 K n 2 n ( n 1)(2 n 1) , n N * .剖析：第 1 步怎样写？ n k 的假定怎样写？ 6待证的目标式是什么？怎样从假= 设出发？ 小结：证 n=k+1 时, 需从假定出发 , 对照目标 , 剖析等式两边同增的项 , 朝 目标进行变形 . ② 练习：求证：1 4 2 7 3 10 K n(3n 1) n( n 1)2 ,n N * .1③ 出示例 ：设 a n ＝ 1×2 + 2×3 n(n 1) ( n ∈ N*),a( n ＋ 1) 2 . 21 + + 1 求证： n <2 重点：a k 1 < ( k ＋1) 2 + (k 1)(k 2) ＝ ( k+1) 2+ k 2 3k12 +( k+ 3)2 22 < ( k+1)22＝ 1( k+2) 22, 对照目标发现放缩门路 .变式：求证 a n > 1 n n ＋ 1) 小结：放缩法2 (3. 小结：书写时一定明确写出两个步骤与一个结论 ,注意“递推基础不行少 , 归纳假定要用到, 结论写明莫忘记”；从 n k 到 n k时 ,变形方法有乘 法公式、== +1因式分解、添拆项、配方等 .三、稳固练习： 1. 练习：教材 108 练习 1、2 题 2. 作业：教材 108 B 组 1、2、3 题 . 第二课时 2.3 数学概括法（二）教课要求 ：认识数学概括法的原理 , 并能以递推思想作指导 , 理解数学概括法的操作步骤 , 能用数学概括法证明一些简单的数学命题 , 并能严格依据数学概括法证明问题的格式书写 .教课重点 ：能用数学概括法证明一些简单的数学命题 .教课难点 ：经历试值、猜想、概括、证明的过程来解决问题 . 教课过程 ：一、复习准备 ：1. 练习：已知 f (n) 1 3 5 L2n 1 , n N * , 猜想 f (n) 的表达式 , 并给出证明？过程：试值 f (1) 1, f (2) 4 , , → 猜想 f ( n) n 2→ 用数学概括法证明 .2. 发问：数学概括法的基本步骤？二、讲解新课：1. 教课例题：1 , 11 1① 出示例 1：已知数列2 8 , , , 1) , 猜想 S n 的表达式 , 并 证明 .5 5 8 11 (3n (3n 2)剖析：怎样进行猜想？（试值 S 1 ,S 2 , S 3 ,S 4 →猜想 S n ） → 学生练惯用数学概括法证明 → 议论：怎样直接求本题的 S n ？ （裂项相消法）小结：探究性问题的解决过程（试值→猜想、概括→证明） ②练 习 ： 是 否 存 在 常 数 a 、 b 、 c 使得等式1 32 43 5 ...... n( n 2)1 n( an2 bn c) 对全部自然数 n 都建立 ,试证明你的结论 .6解题重点：试值 n=1,2,3, → 猜想 a 、 b 、 c → 数学概括法证明2. 练习：① 已 知111a i 0 (i 1,2,L , n) ,考 察 (i) a1a 11； (ii ) (a 1 a 2 )( a 1 a 2 ) 4 ；(iii ) (a 1 a 2 a 3)(1) 9以后概括出对 a 1 ,a 2 ,L ,a n 也建立的近似不等式并证明你11的结论 . a 1a 2a 3② （ 89 年全国理科高考题）能否存在常数a 、b 、c, 使得等式（答案：a=3, b=11, c=10）1 22 2 32 .....n(n 1)2n( n 1) ( an 2 bnc) 对全部自然数 n 都建立？并证明你的结论123. 小结：探究性问题的解决模式为“一试验→二概括→三猜想→四证明” . 三、稳固练习：1. 平面内有 n 个圆 , 随意两个圆都订交于两点 , 任何三个圆都不订交于同一点 , 求证这 n 个圆将平面 分红 f ( n)= n 2－ n+2 个部分 .2.能否存在正整数 m, 使得 f （ n） =（ 2n+7）·3n+9 对随意正整数 n 都能被 m 整除 ?若存在 , 求出最大的 m值 , 并证明你的结论；若不存在 , 请说明原由 . （答案：m=36）3.试证明面值为 3 分和 5 分的邮票可支付任何n (n 7, n N )的邮资 .证明：（ 1）当n 8,9,10时, 由8 3 5,9 333,10 5 5可知命题建立；（ 2）假定n k ( k 7, k N ) 时,命题建立.则当 n k 3 时,由（1）及概括假定 , 明显n k 3 时建立.依据（1）和（2）,可知命题建立 .小结：新的递推形式 , 即（ 1）考证P(n0 ), P(n01),L, P( n0 l1)建立(l N )；（）2假定 P(k ) 建立,并在此基础上 , 推出P( k l )建立 .依据 (1)和 (2),对全部自然数 n ( n0 ) ,命题 P( n) 都建立.2.作业：。
2015高中数学2.3数学归纳法教学设计新人教A版选修2-2
数学归纳法教学设计【教学目标】（1）知识与技能：①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。
（2）过程与方法：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。
（3）情感态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数有关的数学命题；【教学难点】数学归纳法中递推关系的应用。
【辅助教学】多媒体技术辅助课堂教学。
【教学过程】一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）（情景一）问题1：大球中有个小球，如何证明它们都是绿色的？问题2: 如果是一个等差数列，怎样得到?（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。
【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。
归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。
（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？二、搜索生活实例，激发学生兴趣展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。
）①第一块骨牌必须要倒下②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下相当于能推倒第一块骨牌相当于第块骨牌能推倒第块骨牌三、师生合作，形成概念。
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数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A 版选修2-2）
第一课时 2.3 数学归纳法（一）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.
教学过程：
一、复习准备： 1. 问题1： 在数列{}n a 中，*111,,()1n n n
a a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,n a n N n =∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？
过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83，(7)f =97，
(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数
3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.
二、讲授新课：
1. 教学数学归纳法概念：
① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.
完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.
② 讨论：问题1中，如果n =k 猜想成立，那么n =k +1是否成立？对所有的正整数n 是否成立？
③ 提出数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立. 关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.
2. 教学例题： ① 出示例1：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈. 分析：第1步如何写？n =k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？ 小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.
② 练习：
求证：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈. ③ 出示例2：设a n
n ∈N *)，求证：a n <12(n ＋1)2. 关键：a 1k +<12(k ＋2+<12(k +1)2+(k +32)＝12(k +2)2 小结：放缩法，对比目标发现放缩途径. 变式：求证a n >12n (n ＋1) 3. 小结：书写时必须明确写出两个步骤与一个结论，注意“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.
三、巩固练习： 1. 练习：教材108 练习1、2题 2. 作业：教材108 B 组1、2、3题.
第二课时 2.3 数学归纳法（二）
教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
教学难点：经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：已知()*()13521,f n n n N =+++
+-∈，猜想()f n 的表达式，并给出证明？
过程：试值(1)1f =，(2)4f =，…，→ 猜想2()f n n = → 用数学归纳法证明.
2. 提问：数学归纳法的基本步骤？
二、讲授新课：
1. 教学例题： ① 出示例1：已知数列1111,,,,2558811(31)(32)n n ⋅⋅⋅⨯⨯⨯-⨯+，猜想n S 的表达式，并证明. 分析：如何进行猜想？（试值1234,,,S S S S →猜想n S ） → 学生练习用数学归纳法证明 → 讨论：如何直接求此题的n S ？ （裂项相消法）
小结：探索性问题的解决过程（试值→猜想、归纳→证明）
② 练习：是否存在常数a 、b 、c 使得等式132435......(2)n n ⨯+⨯+⨯+++=21()6n an bn c ++对一切自然数n 都成立，试证明你的结论.
解题要点：试值n =1,2,3， → 猜想a 、b 、c → 数学归纳法证明
2. 练习： ① 已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥之后，归纳出对12,,,n a a a 也成立的类似不等式，并证明你的结论. ② （89年全国理科高考题）是否存在常数a 、b 、c ，使得等式 （答案：a =3,b =11,c =10） 12222(1)22
3.....(1)()12n n n n an bn c +⨯+⨯+++=++对一切自然数n 都成立？并证明你的结论
3. 小结：探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”.
三、巩固练习：
1. 平面内有n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n 个圆将平面分成f (n )=n 2－n +2个部分.
2. 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意正整数n 都能被m 整除?若存在，
求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. （答案：m =36）
3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何(7,)n n n N >∈的邮资.
证明：（1）当8,9,10n =时，由835,9333,1055=+=++=+可知命题成立；
（2）假设(7,)n k k k N =>∈时，命题成立. 则
当3n k =+时，由（1）及归纳假设，显然3n k =+时成立.根据（1）和（2），可知命题成立.
小结：新的递推形式，即（1）验证00(),(1),,P n P n + 0(1)P n l +-成立()l N ∈；（2）假设()P k 成立，并在此基础上,推出()P k l +成立. 根据(1)和(2)，对一切自然数0()n n ≥,命题()P n 都成立.
2. 作业：。