经过相等时间返回出发点的动力学定理

一个源自高考题的动力学定理
一、定理的背景
在我们教学及测试过程中，经常会遇到下面两道相似的高考题：
试题1（1995年上海卷）物体静止在光滑的水平面上，先对物体施一水平向右的恒力F1，经时间t后撤去F1，立即再对它施一水平向左的恒力F2，又经过时间t后物体回到原出发点，在这一过程中，F1、F2分别对物体做的功W1、W2的关系是（）
A. W1=W2
B. W2=2W1
C. W2=3W1 D . W2=5W1
试题2（1996年全国卷）在光滑的水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水平恒力乙推这一物体，当恒力乙与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体动能为32J，则在整个过程中，恒力甲做的功等于J，恒力乙做的功等于J。

通过对比可知，这两道连续两年出现的高考题具有以下相同的特点：
物体的初速度为零，先经历了一段匀加速直线运动，然后立即做匀减速直线运动，两个运动过程经历了相等的时间并且回到了原出发点。

在此，把这一问题称为“返回式”动力学问题。

二、定理的内容及证明
针对以上返回式动力学问题，经过进一步分析和研究可以得出下面这一返回式动力学定理：
物体由静止出发，先经过一段时间匀加速直线运动，速度达到v1，然后立即做匀减速直线运动，如果经过相等的时间物体回到了原出发点，那么物体做匀减速直线运动的加速度等于匀加速直线运动时加速度的三倍，且回到原出发点时的速度v2等于v1的二倍。

这一定理可以利用高中物理不同阶段的知识和方法进行证明，现选择其中的一种方法证明如下：
如图1所示，设物体由A 点出发做匀加速直线运动，加速度大小为a 1，运动到B 点时速度大小为v 1，这时立即以大小为a 2的加速度做匀减速直线运动， 由题意可知，物体应先减速到
C 点再返回出发点A ，速度为v 2
从A 点运动到B 点的时间等于由
B 经
C 回到A 点的时间，设为t ，
取向右为正方向：
物体从A 到B ，由运动学公式得：s=21a 1t 2 -------------------⑴
v 1= a 1t -------------------⑵
从B 返回A 的整个过程：-s= v 1 t -21a 2t 2 ---------------------⑶
-v 2= v 1- a 2t -------------------------⑷
由⑴、⑵、⑶、⑷解得： a 2=3 a 1 ---------------------------⑸
v 2=2 v 1 ----------------------------⑹
由以上结论可进一步得出该定理的推论：
设从A 到B （匀加速过程）受到的合外力大小为F 1，合力做的功为W 1，物体受到的冲量为I 1；从B 返回A （匀减速过程）受到的合力为F 2，合力做的功为W 2，物体受到的冲量为I 2，则：
∵a 2=3 a 1 ∴由F=ma 得 F 2 =3F 1 ------------------⑺
∵W 1 =F 1s W 2=F 2s ∴ W 2= 3W 1 ------------------⑻
∵I 1= F 1t I 2= F 2t ∴ I 2=3 I 1 -------------------⑼
三、 定理的应用
图1
前面的两道高考题由定理中的⑻式可以直接得出正确答案。

下面介绍这一定理的拓展应用。

1、斜面上的应用：
如图２，一个质量为m 的物块静止在光滑的斜面底端，现对它施加一沿斜面向上的恒力F ，使物块开始沿斜面加速运动，作用一段时间t 后，撤去力F ，物块又经过相同的时间t 恰好返回斜面底端，返回底端时的动能为120J 。

以知斜面倾角为θ，且斜面足够长，
求：⑴恒力F 是重力的多少倍？
⑵撤去恒力F 时物块的动能是多少？
⑶撤去恒力F 后物块返回斜面底端的过程中重力做了多少功？
解析：由题可知v 0=0，有F 作用的过程中物块做匀加速运动，合力为F-mg sin θ，撤去F 后物体的合力为mg sin θ，方向沿斜面向下，开始作匀减速运动，且经过相同的时间回到了出发点，符合返回式动力学定理的适用条件，所以：
⑴由定理中的⑺式得： mg sin θ=3（F-mg sin θ） 解得： 34sin θmg F
⑵设撤去力F 时速度大小为v 1，动能为E k1，返回斜面底端时的速度大小为v 2，动能为E k2，由定理中的⑹式得：
v 2=2v 1 ∵ E k =21
mv 2 ∴ E k2=4E k1 ， 且E k2=120J ∴E k1=30J
⑶设在力F 作用下合力做的功为W 1，撤去力F 后合力做的功即重力做的功设为
W 2，由定理中⑻式得：
W 2=3W 1 又∵ W 2+W 1=120J ∴ 撤去恒力F 后重力做的功W 2=90J 图2
2、在电场中的应用
如图３，有一质量为m 带电的物块静止在绝缘光滑的水平面上，某一时刻在空间加一水平向右的匀强电场，同时对物块施加一个水平向右的恒力F 1，使物块开始向右加速，作用一段时间速度达到v ，这时将拉力F 1 立即变为反向恒力F 2，能够使物
块又经过相同的时间恰好回到出 发点，则整个过程中外力对物块做的总功为 。

解析：分析题意可知，虽然此题有电场出现，但受力情况及运动情况都符合返回式动力学定理的适用条件，由定理中⑹式可得：
物块回到出发点时速度v 2=2v ，
针对全过程，由动能定理得：W 总=△E k =21m （2v ）2=2mv 2
Ｅ。