天津市河西区2004年高三总复习质量调查(一)数学试卷文史类

天津市河西区2004年高三总复习质量调查（一）数学试卷文史类
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把所选答案的标号字母填在下表的对应题目处。

）
1. 若双曲线的两个焦点分别是F F 120202()()，，，-，且经过点P （3，－2），则双曲线的离心率等于 A. 2
B.
32
C.
2
D.
54
2. “”是“”a b a b <<||的 A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 若集合S y y x R T y y x x S T x
==-∈==+>{|()}{|log ()}12
1112，，，，则 等于 A. {0}
B. {|}y y ≥0
C. S
D. T
4. 若a b c m a b c →=-→=-→=-→=→+→+→()()()123117，，，，，，且，则m →
等于
A. 23a b →-→
B. 23b a →-→
C. 4a b →-→
D. 23a b →+→
5. 函数y x =
-21|cos |的定义域为
A. {|}x k x k k Z 23
23
ππ
ππ
-≤≤+
∈，
B. {|}x k x k k Z ππ
ππ
-
≤≤+∈6
6
， C. {|}x k x k k Z ππ
ππ
+
≤≤+
∈3
23
，
D. {|}x k x k k Z ππ
ππ
-
≤≤+
∈3
3
，
6. 已知a ，b ，c ，d 成等比数列，则下列三个数列：①a b b c c d +++，，；②ab bc cd ，，；③a b -，
b c c d --，中，必成等比数列的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. 已知m ，n 是直线，αβγ、、是平面，有下面四个命题： ①若m ∥n ，n m ⊂αα，则∥； ②若αγβγαβ⊥，⊥，则∥；
③若m ⊥αβαβ，⊥，⊥，则⊥n m n ； ④若αββγαγ∥，∥，⊥，则⊥m m 。

其中正确的两个命题是 A. ①与④
B. ②与③
C. ②与④
D. ③与④
8. 将函数y f x x x R =∈()cos ²，的图象向右平移
π
4
个单位长度，再作关于x 轴的对称变换，得到y x x R =∈cos2，的图象，则f x ()可以是
A. sinx
B. cosx
C. 2sinx
D. 2cosx
9. (||||
)x x +
-1
23的展开式中的常数项为 A. －20
B. －14
C. －8
D. 8
10. 若实数x ，y 满足x y x y 22240+-+=，则x y -3的最大值是 A. 710+
B. 752+
C. 14
D. 75+
11. 球面上有三点A 、B 、C ，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1
4
，且经过A 、B 、C 三点的截面面积为4π，则该球面积为 A. 83π
B. 163π
C. 12π
D. 24π
12. 已知函数y f x y f x ==-()()与1互为反函数，又y f x y g x =+=-11()()与的图象关于直线y=x 对称，若f x x x ()log ()()=+>12
2
20，那么g()6等于
A. －4
B. －3
C. －2
D. 2
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案直接填在题中横线上。

）
13. 某示范高中校有学生1800人，其中高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的学生个数分别应为___________。

14. 化简cos 2
75°的值是___________。

15. 正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，沿EF 将正方形折成60°的二面角，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值是___________。

16. “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1 4 5 8），则四位“渐升数”共有___________个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第60个数为___________。

三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17. （本小题满分12分）
某厂生产的甲产品的正品率为0.9，乙产品的正品率为0.8，现从甲、乙两种产品中各任意抽取2件。

（I ）求抽出的4件产品中至少有1件不是正品的概率。

（II ）求抽出的4件产品中恰有1件不是正品的概率。

18. （本小题满分12分）
设{a n }为公差大于0的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项的和。

已知S 424=，a a 2335=。

（I ）求数列{}a n 的通项公式a n ； （II ）若b a a n n n =
+1
1
，求{b n }的前n 项和T n 。

19. （本小题满分12分） 解关于x 的不等式
x a
x
x ->||，其中a >0。

20. （本小题满分12分）
如图，已知平面α⊥平面β，αβαβ =∈∈AB C D ，点，点，且AB
===A B C C 23，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD=6。

（I ）求证：BD ⊥平面α；
（II ）求证：平面AED ⊥平面BCD ； （III ）求三棱锥C －AED 的体积。

21. （本小题满分12分）
把边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去边长为x cm 的相等的正方形，然后折成一个高度为x cm 的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k(k >0)，问x 取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？ 22. （本小题满分14分）
设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN MP PM PF →=→→→
2，⊥。

（I ）当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程；
（II ）设A x y B x y D x y ()()()112233，，，，，是曲线C 上的三点，且||AF →
、 ||||BF DF →→
、成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E （3，0）时，求B 点的坐标。

【试题答案】
一、选择题：（每小题5分，共60分） 1. A 2. B 3. C 4. B 5. D 6. B
7. D
8. C
9. A
10. B
11. D
12. A
二、填空题：（每小题4分，共16分） 13. 28、24、20； 14.
23
4-； 15.
510
； 16. 126，2348。

（每空2分）
三、解答题：（共74分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分） 17. 解：（I ）甲产品的正品率为0.9，则非正品率为10901-=.. 1分 抽出的2件甲产品都是正品的概率为P C 122200901081==...³ 2分 抽出的2件乙产品都是正品的概率为P C 222200802064==...³ 3分 所以抽出的4件产品全是正品的概率为P P 1208106405184==...³ 4分 于是至少有1件不是正品的概率为P P P =-=10481612. 6分
（II ）恰有1件不是正品有两种情况，抽出甲2件正品，乙1件正品与甲1件正品，乙2件正品，7分，它们的概率分别是C C C C 22
2
21
21
22
2
0908********......³³与³³ 9分
即0.2592与0.1152，10分 所以恰有1件不是正品的概率为0.2592+0.1152=0.3744 12分 18. 解：（I ）S a a 41442
=
+()
2分 =+=22423()a a ， 由a a a a a a 2323
2312
3557+==⎧⎨
⎩==解得，，
或，a a 2375==，4分，
∵d a a d a a a >===-==0572323321，∴，，于是，， 6分 ∴a n n n =+-=+32121() 8分
（II ）b n n n n n =++=+-+12123121211
23
()()() 10分
∴T n n n n n =
-+-+++-+=+121315151712112369
[()()()]… 12分 19. 解：等价于（I ）x x a x x >->⎧⎨⎪⎩⎪0或（II ）x x a x
x <->-⎧⎨⎪
⎩⎪0
2分
（I ）等价于x x x a x >-+<⎧⎨⎪
⎩
⎪0
02 3分
⇔>-+<⎧⎨⎩-+<=-x x x a x x a a 0
01422，的，∆
当014011421142
<<
>--<<
+-a a x a
时，，其解为∆ 4分 ∵141-<a ， ∴（I ）的解集为{|}x a x a
11421142
--<<+- 5分
当a I ≥
<∅1
4
0时，，的解集为∆()。

7分 （II ）等价于x x x a x x x x a <+->⎧⎨⎪
⎩
⎪⇔<+-<⎧⎨⎩0
00022
， 8分 x x a a 2
0140+-<=+>的∆其解为
--+<<
-++11421142
a x a
9分 ∵a a a
>+>-++>01411142
0，，
，
∴（II ）的解集为{|}x a
x --+<<1142
0 10分
综上可得01
4
<<
a 时，原不等式解集为
{|
}x a x a x a
--+<<--<<+-1142011421142或
当a x a x ≥
--+<<141142
0时，原不等式解集为{|} 12分 20. 解：（I ）证明：作CF ⊥AB 于F ，∵αβ⊥，∴CF ⊥β，故CF ⊥BD 2分 又∵BD ⊥AC ，AC CF=C ，∴BD ⊥平面α 4分
（II ）在等边△ABC 中，E 为BC 中点，∴AE ⊥BC ， 5分 又由（I ）知DB ⊥α，故DB ⊥AE 。

∴AE ⊥平面DBC ， 7分
∵AE ⊂平面AED ，∴平面AED ⊥平面DBC 8分 （III ）由E 为BC 中点，知V V V c AED B AED C ADB ---==1
2
9分 =
1213()S CF ADB
△² 10分 =
=161
2
11223632
23²²²²²²²AB BD CF
=33 12分
21. 解：设长方体高为x cm ，则底面边长为()()602030-<<x cm x ， 1分 长方体容积（单位：cm 3）
V V x x x x x ==-=-()()()60243022 2分
∵
x x k x k
k 60206021
-≤<≤+，∴。

即函数定义域为(]06021
，
k
k +，3分 V x x x x x x '()()()()()=-+-=--4308304303302
=--123010()()x x 5分
令V x x x '()()===01030，解得，不合题意舍去于是
7分
①当1060211
4
≤
+≥k k k ，即时， 8分 在x=10时，V 取得最大值为V max ==4020160002² 10分 ②当
6021100146021
k k x k k V +<<<=+，即时，在时，取得最大值
V k
k m a x ()
=+216000213
12分 答：略
22. 解：（1）∵MN MP →=→
2，故P 为MN 中点，1分
又∵PM PF →→
⊥，P 在y 轴上，F 为（1，0），
故M 在x 轴的负方向上，设N （x ，y ）则M （－x ，0），P （0，
y
2
），（x>0），2分 ∴PM x y PF y
→=--→=-()()，，，212
，3分
又∵PM PF PM PF →→→→
=⊥故²0，4分
即 -+=x y 2
4
0 ∴y x x C 2
40=>()是轨迹的方程 5分
（II ）抛物线C 的准线方程是x=－1，由抛物线定义知||AF x BF →=+→=11，x 21+，||DF x →
=+31， 6
分
∵||||||AF BF DF →→→
、、成等差数列，
∴x x x x x x 132********+++=++=()，∴ 7分 又y x y x y x 12
122
232
3444===，，，
故y y y y y y x x 12
32
1313134-=+-=-()()()， ∴k y y x x y y AD =
--=+131313
4
8分
∴AD 的中垂线为y y y x =-
+-13
4
3() 10分 而AD 中点()x x y y 1
313
22
++，在其中垂线上，
∴
y y y y x x 131313
2423+=-++-()。

即11
2
3122=--=()x x ，∴，12分
由y x y 222242==，∴±，
∴B 点坐标为（1，2）或（1，－2）。

14分。