辽源市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

辽源市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数()21
11
x f x x ++=
+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 2． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高 杂质低 旧设备 37 121 新设备
22
202
根据以上数据，则（ ） A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关 C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
3．
已知向量=（1
，
），=
（
，x ）共线，则实数x 的值为（ ）
A ．1
B
．
C
．
tan35°
D ．tan35°
4． 已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3
D ．﹣1或﹣3
5． 已知直线l
的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为（ ）
A ．4
π
α=
B ．3
π
α=
C ．34
πα=
D ．23
π
α=
6． 底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上，且O 在底面ABCD 内，PO ⊥平面ABCD ，当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时，球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．48π C ．60π
D ．72π
7． 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）
A ．（﹣∞，）
B ．（﹣，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（﹣∞，﹣）
8． 如果点P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1
()1e
x f x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ）
A ．－1
B ．
1
2
C ．1
D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
10．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）
A ．2160
B ．2880
C ．4320
D ．8640
11．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断： ①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≠0；②a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 不能同时成立，
下列说法正确的是（ ）
A ．①对②错
B ．①错②对
C ．①对②对
D ．①错②错
12．如图，该程序运行后输出的结果为（ ）
A．7 B．15 C．31 D．63
二、填空题
13．数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=．
14．已知sinα+cosα=，且＜α＜，则sinα﹣cosα的值为．
15．无论m为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过定点．
16．已知（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n=．
17．当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我过2000年第五次人口普查预测1564
的线性回归方程为
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．
18．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前16项和为．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中
放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.
（1）求0x =，1y =，2z =的概率；
（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.
【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．
20．已知正项等差{a n }，lga 1，lga 2，lga 4成等差数列，又b n =
（1）求证{b n }为等比数列．
（2）若{b n }前3项的和等于，求{a n }的首项a 1和公差d ．
21．已知函数f （x ）=．
（1）求f （x ）的定义域； （2）判断并证明f （x ）的奇偶性；
（3）求证：f （）=﹣f （x ）．
22．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （）
=1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
23．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5B 两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：
x ＜y ，且A 和B 两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B 班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X 表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X 的期望．
24．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC 中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面 AEF 平面B B AA 11.
辽源市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得()2112x f x x x -==-，则()21
'f x x
=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 2． 【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表 杂质高 杂质低 合计 旧设备 37 121 158 新设备 22 202 224 合计
59
323
382
由公式κ2
=
≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（
，x ）共线，
∴x==
==
，
故选：B ．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
4． 【答案】A
【解析】解：两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，
所以=
≠
，
解得 a=﹣3，或a=1． 故选：A ．
5． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴
4
π
α=，选A ．
6． 【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ，矩形ABCD 的长，宽分别为a ，b ， 则有a 2＋b 2＝4R 2≥2ab ，∴ab ≤2R 2，
又V 四棱锥P －ABCD ＝1
3
S 矩形ABCD ·PO
＝13abR ≤23R 3. ∴2
3
R 3＝18，则R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝36π，选A. 7． 【答案】D
【解析】解：当x ∈（0，）时，2x 2
+x ∈（0，1），
∴0＜a ＜1，
∵函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0，a ≠1）由f （x ）=log a t 和t=2x 2
+x 复合而成，
0＜a ＜1时，f （x ）=log a t 在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x 2+x ＞0的单调递减区间．
t=2x 2+x ＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），
∴f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣），
故选：D ． 【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数
大于0条件．
8． 【答案】D
【解析】解：∵P （sin θcos θ，2cos θ）位于第二象限， ∴sin θcos θ＜0，cos θ＞0，
∴sin θ＜0， ∴θ是第四象限角．
故选：D ． 【点评】本题考查了象限角的三角函数符号，属于基础题．
9． 【答案】C
【解析】令()()()()1
11e
x g x f x kx k x =--=-+
，则直线l ：1y kx =-与曲线C ：()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1
1
11101e k g k -⎛⎫
=-+< ⎪-⎝⎭
．又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没
有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时,()1
0e x
g x =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解，所以k 的最大值为1，故选C ．
10．【答案】C
【解析】解：由题意及频率分布直方图的定义可知：属于醉酒驾车的频率为：（0.01+0.005）×10=0.15， 又总人数为28800，故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320． 故选C
【点评】此题考查了学生的识图及计算能力，还考查了频率分布直方图的定义，并利用定义求解问题．
11．【答案】A
【解析】解：由：“a ，b ，c 是不全相等的正数”得：
①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2中至少有一个不为0，其它两个式子大于0，
故①正确； 但是：若a=1，b=2，c=3，则②中a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 能同时成立，
故②错． 故选A ．
【点评】本小题主要考查不等关系与不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑思维能力．属于基础题．
12．【答案】如图，该程序运行后输出的结果为（ ） D
【解析】解：因为A=1，s=1
判断框内的条件1≤5成立，执行s=2×1+1=3，i=1+1=2； 判断框内的条件2≤5成立，执行s=2×3+1=7，i=2+1=3；
判断框内的条件3≤5成立，执行s=2×7+1=15，i=3+1=4；
判断框内的条件4≤5成立，执行s=2×15+1=31，i=4+1=5；
判断框内的条件5≤5成立，执行s=2×31+1=63，i=5+1=6；
此时6＞5，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m值应是5．
故答案为5．
【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束．
二、填空题
13．【答案】49
【解析】解：
=
=7a4
=49．
故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
14．【答案】．
【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，
∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，
∴2sinαcosα=﹣1=，
且sinα＞cosα，
∴sinα﹣cosα=
==．
故答案为：．
15．【答案】（3，1）．
【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，得
即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，
∴2x+y﹣7=0，①
且x+y﹣4=0，②
∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0的图象就和m无关，恒过一定点．
由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；
故答案为：（3，1）
16．【答案】5．
【解析】二项式定理．
【专题】计算题．
【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利
用（x）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．
【解答】解：设（x）n（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n﹣r x﹣3r=x n﹣4r，2≤n≤8，
当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；
当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；
当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；
当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；
当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；
当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；
综上所述，n=5时，满足题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．17．【答案】y=﹣1.7t+68.7
【解析】解： =， ==63.6．
=（﹣2）×4.4+（﹣1）×1.4+0+1×（﹣1.6）+2×（﹣2.6）=﹣17．
=4+1+0+1+2=10．
∴
=﹣
=﹣1.7.
=63.6+1.7×3=68.7．
∴y 关于t 的线性回归方程为y=﹣1.7t+68.7． 故答案为y=﹣1.7t+68.7．
【点评】本题考查了线性回归方程的解法，属于基础题．
18．【答案】 546 ．
【解析】解：当n=2k ﹣1（k ∈N *
）时，a 2k+1=a 2k ﹣1+1，数列{a 2k ﹣1}为等差数列，a 2k ﹣1=a 1+k ﹣1=k ；
当n=2k （k ∈N *
）时，a 2k+2=2a 2k ，数列{a 2k }为等比数列，
．
∴该数列的前16项和S 16=（a 1+a 3+...+a 15）+（a 2+a 4+...+a 16） =（1+2+...+8）+（2+22+ (28)
=
+
=36+29﹣2 =546．
故答案为：546．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）由0x =，1y =，2z =知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
此时的概率2
13
111
324
P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭.
（4分）
20．【答案】
【解析】（1）证明：设{a n}中首项为a1，公差为d．
∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，
∴a22=a1a4．
即（a1+d）2=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．
当d=0时，a n=a1，b n==，∴=1，∴{b n}为等比数列；
当d=a1时，a n=na1，b n==，∴=，∴{b n}为等比数列．
综上可知{b n}为等比数列．
（2）解：当d=0时，S3==，所以a1=；
当d=a1时，S3==，故a1=3=d．
【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵1+x2≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）；
（2）∵f（﹣x）===f（x），
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=．
∴f（）===﹣=﹣f（x）．
即f（）=﹣f（x）成立．
【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
从而C的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M（2，0）
（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）
N点的直角坐标为
所以P点的直角坐标为，则P点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为，ρ∈（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵（7+7+7.5+9+9.5）=8，
=（6+x+8.5+8.5+y），
∵，∴x+y=17，①
∵，
=，
∵，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②
由①②解得或，
∵x＜y，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含个基本事件，
共有个基本事件，
∴P（C）=，
即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．
（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
EX==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．
24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是矩形， 故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理.。