高考(新课标)数学(理)一轮复习配套课件第九章平面解析几何9.6精选ppt版本

解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，2c＝6，即 a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的标准方程为2x52 ＋1y62 ＝1. (2)∵所求的椭圆与椭圆x92＋y42＝1 的焦点相同，∴其焦点在 x 轴上，且 c2＝5. 设所求椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)， ∵所求椭圆过点 P(－3，2)，∴有a92＋b42＝1.
类型二 椭圆的离心率
设 F1(－c，0)，F2(c，0)分别是椭圆ax22＋by22＝1(a＞ b＞0)的左、右焦点，若在直线 x＝ac2上存在点 P，使线段 PF1
的中垂线过点 F2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A.0， 22
B.0， 33
C. 22，1
D. 33，1
解：设左焦点为 F1，由 F(c，0)关于直线 y＝bcx 的对称点 Q 在椭圆上，得|OQ|＝|OF|，又|OF1|＝|OF|，∴F1Q⊥QF.不妨设|QF1| ＝ck，则|QF|＝bk，|F1F|＝ak，因此 2c＝ak.又 2a＝ck＋bk，∴ac＝ b＋a c，即 a2＝c2＋bc，得 b＝c，a＝ 2c，∴e＝ac＝ 22.故填 22.
解法一：椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点为(0，－4)，(0，4)， 即 c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝ （ 3－0）2＋（－ 5＋4）2＋ （ 3－0）2＋（－ 5－4）2，解得 a＝2 5.
由 c2＝a2－b2 可得 b2＝4.∴所求椭圆的标准方程为 2y02 ＋x42＝1.
解法二：∵所求椭圆与椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点相同，
类型三 椭圆的焦点三角形
已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证△F1PF2 y22＝1(a>b>0)，P 点坐标为(x0，y0)．
(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
(1)过两点 P1(2，2)，P2(－3，－1)作一个椭圆，使它
的中心在原点，焦点在 x 轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短
半轴的长度以及离心率．
解：根据题意，设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，
a42＋b42＝1，
a2＝332，
将两已知点坐标代入得
解得
a92＋b12＝1，
(2015·广东)已知椭圆2x52 ＋my22＝1(m>0)的左焦
点为 F1(－4，0)，则 m＝(
A．2
B．3
) C．4
D．9
解：由 25－m2＝4，得 m2＝9，又 m>0，∴m＝ 3.故选 B.
“－3<m<5”是“方程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
(2)设|F1B|＝k，则 k>0 且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由椭圆定义可得
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2 中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－65(2a－3k)(2a－k)，
b2＝352.
故椭圆方程为332x2＋352y2＝1，
长半轴长 a＝ 332＝43 6，短半轴长 b＝
∵c2＝a2－b2＝332－352＝6145，
∴离心率 e＝ac＝
ac22＝
10 5.
352＝4
10 5.
(2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆2y52 ＋x92＝1 有相同焦 点的椭圆的标准方程为____________．
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16，求|AF2|； (2)若 cos∠AF2B＝35，求椭圆 E 的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1， ∵△ABF2 的周长为 16，∴由椭圆定义可得 4a＝16，|AF1| ＋|AF2|＝2a＝8， 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
第九章
平面解析几何
§9.6 椭 圆
1．椭圆的定义 (1) 定 义 ： 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 ， F2 的 距 离 的 和 等 于 常 数 2a(2a______|F1F2|) 的 点 的轨 迹叫 做椭 圆 ． 这两 个定 点叫 做椭 圆的 ________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
解法一：由题意可设 Pac2，y，∵PF1 的中垂线过点 F2，∴|F1F2|＝|F2P|，
即 2c＝ ac2－c2＋y2，整理得 y2＝3c2＋2a2－ac24.
∵y2≥0，∴3c2＋2a2－ac24≥0，即
3e2－e12＋2≥0，解得
e≥
3 3.
∴e 的取值范围是 33，1.
2
2
2
在△F1PF2 中，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF|P1|F·2||P－F|2F|1F2|
＝（a＋2（exa0）＋2e＋x0）（（a－a－ex0e）x0）2－4c2＝cos60°＝12，
解得 x20＝4c32－e2 a2.∵x0∈(－a，a)，∴x20∈[0，a2)，0≤4c32－c2a2＜a2，
右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝ 30°，则 C 的离心率为( )
3
1
1
3
A. 6
B.3
C.2
D. 3
解：设|F1F2|＝2c，则|PF2|＝23 3c，∴|PF1|＝4 3 3c.∴2a ＝|PF1|＋|PF2|＝2 3c，故 e＝ac＝ 33.故选 D.
※(2)另一种定义方式(见人教 A 版教材选修 2－1 P47 例 6、 P50)：平面内动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于 常数 e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点 F 叫做椭圆的一个焦点，定直 线 l 叫做椭圆的一条准线，常数 e 叫做椭圆的__________．
2．椭圆的标准方程及几何性质 焦点在 x 轴上
已知椭圆xm2＋y42＝1 的焦距是 2，则该椭圆的长 轴长为____________．
解：当焦点在 x 轴上时，有 m－4＝1，得 m＝5， 此时长轴长为 2 5；当焦点在 y 轴上时，长轴长为 4. 故填 2 5或 4.
类型一 椭圆的定义及其标准方程
求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点 P 到两 焦点的距离之和等于 10； (2)过点 P(－3，2)，且与椭圆x92＋y42＝1 有相同的焦点； (3)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且点 P 到两焦点的距 离分别为 5，3，过点 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解
：
要
使
方
程
x2 5－m
＋
y2 m＋3
＝
1
表示椭圆，只须满足
5－m>0， m＋3>0，
解得－3<m<5 且 m≠1，因此，“－3<m<5”是“方
5－m≠m＋3，
程5－x2m＋my＋2 3＝1 表示椭圆”的必要不充分条件．故选 B.
(2013·全国课标Ⅱ)设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、
已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)， 离心率等于12，则 C 的方程是____________．
解：由椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)知 c＝1，且焦 点在 x 轴上，又 e＝ac＝12，∴a＝2，a2＝4，b2＝a2－ c2＝3，椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.故填x42＋y32＝1.
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而 a＋k>0，故 a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，
可得 F1A⊥F2A，
故△AF1F2 为等腰直角三角形．从而 c＝ 22a，
∴椭圆
E
的离心率
e＝ac＝
2 2.
类型四 椭圆的弦长
(2015·陕西)已知椭圆 E：ax22＋ by22＝1(a>b>0)的半焦距为 c，原点 O 到经过 两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.
焦点在 y 轴上
(1)图形
(2)标准方程 (3)范围 (4)中心
(5)顶点
(6)对称轴 (7)焦点 (8)焦距 (9)离心率 ※(10)准线
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－a≤y≤a，－b≤x≤b
原点 O(0，0)
A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b)
又 a2－b2＝c2＝5， ∴联立上述两式，解得ab22＝＝1150，. ∴所求椭圆的标准方程为1x52 ＋1y02 ＝1.
(3)由于焦点的位置不确定，可设所求的椭圆方程为ax22＋by22＝ 1(a＞b＞0)或ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得2（a＝2c）5＋2＝3，52－32，
∴其焦点在 y 轴上，且 c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)，
∵c2＝16，且 c2＝a2－b2，∴a2－b2＝16.①
又点( 3，－ 5)在所求椭圆上， ∴（－a25）2＋（ b32）2＝1，即a52＋b32＝1.② 由①②得ab22＝＝240，， ∴所求椭圆的标准方程为2y02 ＋x42＝1.故填2y02 ＋x42＝1.
点的变化使得线段|PF2|的长度也在变化，进而|PF2|与 |MF2|的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量
与量之间的数量关系是解题的关键所在．(4)求椭圆的 离心率通常要构造关于 a，c 的齐次式，再转化为关于 e 的方程或不等式．
(2015·浙江)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点 F(c， 0)关于直线 y＝bcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ____________．
解法二：设直线 x＝ac2与 x 轴交于 M 点，则|F1F2|＝|F2P|≥|MF2|，即 2c≥ac2
－c，整理得13≤e2<1， 33≤e<1.
∴椭圆离心率的取值范围是 33，1.故选 D.
【点拨】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几 何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在 学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原 因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化 就越容易．(3)整个图形都随着 P 点的变化而变化，P
解得 a＝4，c＝2，∴b2＝12. 故椭圆方程为1x62 ＋1y22 ＝1 或1y62 ＋1x22 ＝1.
【点拨】(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数 法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2a>|F1F2| 这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数 法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在 位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组．如果焦 点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便， 也可把椭圆方程设为 mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的 形式．
a2
有 0≤4c2－a2＜3c2，解得12≤e<1.∴椭圆离心率 e∈12，1.
(2)证明：将 x20＝4c32－e2 a2代入 b2x20＋a2y20＝a2b2，
求得
y20＝3bc42，∴|y0|＝
b2 .
3c
∴S△F1PF2＝12|y0||F1F2|＝12·
b2 ·2c＝ 3c
33b2.
得证．
【点拨】椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、 焦半径之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、 边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离 心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．
(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：ax22＋by22＝ 1(a>b>0)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两 点，|AF1|＝3|F1B|.
x 轴，y 轴
F1(0，－c)，F2(0，c) 2c＝2 a2－b2
x＝±ac2
y＝±ac2
自查自纠
1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率 2．(2)ax22＋by22＝1(a＞b＞0) (5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) (7)F1(－c，0)，F2(c，0) (9)e＝ac(0＜e＜1)