定积分的换元积分法
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定积分的二种换元法及其应用
定积分的二种换元法及其应用
一、换元法：
1、等价换元法：即将原有的积分值与另一种积分值进行相互转换，使得两者
之间的价值相同。
例如：将100点A积分换成50点B积分，即100A=50B。
2、定量换元法：即在固定的量上进行转换，使得不同的积分之间能够保持一
定的价值关系。
例如：将1A=2B, 则100A=200B。
二、应用：
1、企业顾客奖励方面应用广泛。
企业通常会采用不同形式的奖励来酬谢忠诚
的顾客。
通过采用不同形式的奖励来衡量顾客对企业所作出的贡献大小是很有必要的。
而通过采用换元法可以使得不同形式的奖励能够保持一定的价值关系；
2、在旅行回馈方面也有应用。
旅行回馈是旅行者在出差或旅行中所获得回馈
物品或服务所对应的数字化标准化代币体系。
通过采用不同形式的回馈来衡量旅行者对旅行所作出贡状大小也是很有必要性的。
考虑到不同形式回馈之间存在差异性；此时可以选择采用换元法来使得不吓当前式回馈能够保护一定价值关系。
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
定积分的换元法和分布积分法
x2 1
x
2
dx
1
40
x2(1 1 x2 ) 1 (1 x2 ) dx
1
40 (1
1
x2
)dx
4
4 1 0
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 7 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
1
2 0
arcsin
xdx
x
arcsin
x
1 2
0
1
2 0
1
1
1 2
2 6 20
1 d(1 x2 ) 1 x2
xdx 1 x2
12
1
1 x2
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin cos
x
2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos 2
x
d
(cos
x)
2
arctan(cos
x)0
( ) 2 . 2 44 4
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a,b上具有连续
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量 x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t ) 然后相减就行了.
例1 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
定积分的换元积分法
定积分的换元积分法
换元积分法是指将一个原有的积分按某种规定定义相互换算兑换为新的积分的方法，
又称按档次分类法。
换元积分法是一种将原有积分分类标准化，并形成新分类规则的方法。
换元积分法建立在原有考核标准和实践考核指标基础上，以提高参加者考核成绩，以便做
出客观公正的评价和决策，从而实现考核绩效的改进。
换元积分法的基本原理是把原有积分按照规定的分类档次，换元无量纲化，即把原有
积分按规定的档次换元转换为新的标准积分，这样就可以很轻易比较不同参与考核者的考
核绩效。
换元积分法的设计要求考核指标的划分不可过于任意，也不可过多，考核标准的
标准分类档次应该越多越好，考核者的表现也应该由易至难分成多个档次，使考核更加客
观公正。
换元积分法还具有计算简便、考核灵活可编辑性、更利于客观评价等特点。
在考核中，有许多分类标准，比如能力和表现，进步程度等等，换元积分法可以利用各种标准进行积分，把原有积分按照规定的档次换算为新的标准积分，这样可以使考核更加客观公正，并
且它可以很灵活地根据考核过程不断改进，便于做出客观公正的评价和决策。
换元积分法是一种有效的考核方式，它可以有效规范各种考核测试，使考核成绩具有
一定的公正性和可比性，使市场参与者更容易把握自己的考核状态。
然而，换元积分法的
实施也有一定的局限性，即考核内容受限于原有的积分考核标准和实践考核指标，可能无
法满足实际考核的新要求，因而需要定期修正考核内容和指标，让它更适应变化的环境。
定积分的换元法
dt sin xdx ,
x t 0, 2
x 0 t 1,
0
2
cos 5 x sin xdx
0 5
6 1
t 1 1 t dt . 60 6
例2
计算 0
sin 3 x sin 5 xdx .
3 2
解
f ( x ) sin 3 x sin 5 x cos x sin x
5、 2 2 ；
17 8 当 0 时 9、 ； 10、 , 2 ； 当0 2 4 3 8 8 3 2 时, 2 ； 当 时, 2 . 3 3 3 1 三、 1 ln( 1 e ) . 六、 2.
3 6、 ； 2
7、 ； 4
8、 ； 8
2
3 3 4
dt . 12
思考题解答
计算中第二步是错误的.
x sec t
x 2 1 tan t tan t .
2 3 t , , tan t 0, 3 4
正确解法是
2
2
dx x x2 1
3 4 3
x sec t
由此计算
2 0
x sin sin x sinx x . dx dx dx 2 2 sin x cos 1 cos x x 2 0 1 cos x
1 d (cos x ) arctan(cos x ) 0 2 0 2 2 1 cos x
2 0 2
( x 2 1 x 2 x 3 1 x 2 )dx ；
8、 max{ x , x 3 }dx ； 9、 x x dx
定积分第三节定积分的换元法和分部积分法
2
解
4
0
sin
xdx
x0 t,tx0,;dxx22t,d tt202tsitndt
42
202tdcots
2tcot0 2s202cotdst
2sint02 2
例4 计算
1 0
l(n2(1x)x2)dx.
解
1
0
l(n2(1x)x2)dx
01ln1 ( x)d2 1x
ln2(1xx)10012 1xdln1(x)
f[ ( t ) ] ( t ) dt
说明:
b
af(x)d x f[ ( t ) ] ( t ) dt
1) 当 < , 即区间换为[,]时，定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
f[
( t ) ]
( t ) dt
b
f (x)dx
0 2 fx 1 d 0 1 x fx 1 d 1 2 x fx 1 dx
1ex1dx 21dx
0
1x
01ex1dx1121 xdx
ex 11 0ln x1 211 eln 2
二、分部积分公式
设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具有连续
导数，则有
b
a udv
例9 计算 01xscionsx2 xdx .
解 积分区间为 0,，被积函数为 xfsixn
型，利用定积分公式⑥得
0 1 xs cix o 2x n ds x 20 1 scix o 2n xdsx
20 1c1o 2xd scoxs 2arccta oxn s 042
例11
设f
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
定积分的换元法和分部积分法
微积分基本公式
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
定积分的换元法与分部积分法
∫
∫
π 0
x 2 cos xdx
(C)例4.
∫
解： 原式 = ∫ 02 sin xde x = e x sin x 02 − ∫ 02 e x d sin x
π 2 x 0 π
e sin xdx
π π
π 2 π 2 x 0 π 2 0 π 2 0 π 2 0
= e − ∫ e cosxdx
= e − ∫ cosxde x
x2
2
2
(2) ∫
2 1
e dx 2 x
2 1
1 x
解： ∫
1 １ e 1 2 2 x dx = − ∫ 1 e d =[et ]1 = e − e x x2
1 x
(B)练习1.计算下列定积分
(1) ∫ 0 x sin x dx
2 π
( 2) ∫
e3 1
2 1 π 2 e 3 d (1 + ln x ) 解：原式 = ∫ 0 sin x dx 解：原式 = ∫ 1 2 1 + ln x 1 e3 2 π = 2 1 + ln x 1 = − cos x 0 2 =2 =1
当x = 0时，t = 0; 当x = 4时，t = 2.
则
∫
4 0
2 e x dx = 2∫ 0te t dt
2 2 2 = [tet ]0 − ∫ 0 et dt = 2e 2 − [et ]0
= e2 + 1
4 ∴ ∫ 0 e x dx = 2(e 2 + 1)
(C)练习4.求下列定积分：
(1) ∫ e cos xdx
2
1 9 t 1 t 9 1 9 ∴ ∫ xe dx = ∫ 0 e dt = [ e ]0 = (e − 1) 2 2 2 另解： (凑微分法) 1 3 x2 2 3 x ∫ 0 xe dx = 2 ∫ 0e dx 1 1 = [ e x ] 3 = (e 9 − 1) 0 2 2 注：两种方法比较可知凑微分法简洁明了。
定积分的换元积分法
dx 2
4
ln xd
x
0x
0
4
4
(2 x ln x) - 2
1
1
x 1dx x
4
4ln4 - 2
1 dx 4ln4 - 4
4
x
1x
1
4(2ln 2 - 1).
3
例 9 计算 0 arctan xdx.
解 根据定积分的分部积分公式得
3 arctan
0
xdx ( x arctan
2
nn-
3 2
4
5
2 3
I1
,
其中I1
2 sin xdx - cos x 2
0
0
1,
代入上式，得
In
2
sinn
xdx
n
-1
n
-
3
0
n n-2
4 2 1.
53
由于 2 cosn xdx 2 sinn xdx, 所以上述结果对于
例 6 计算 1 4 - x2 dx. -1
解 因为被积函数 4 - x2 是偶函数, 且积分 区间对称于原点，得
1
4 - x2dx
1
2
4 - x2dx,
-1
0
令 x = 2sint，
则
dx
=
2cos
tdt
，
x t
0 0
于是
1
，
6
1 4 - x2 dx 2 1 4 - x2dx
令
x
t， 则
4
ln xd
x
0x
0
4
4
(2 x ln x) - 2
1
1
x 1dx x
4
4ln4 - 2
1 dx 4ln4 - 4
4
x
1x
1
4(2ln 2 - 1).
3
例 9 计算 0 arctan xdx.
解 根据定积分的分部积分公式得
3 arctan
0
xdx ( x arctan
2
nn-
3 2
4
5
2 3
I1
,
其中I1
2 sin xdx - cos x 2
0
0
1,
代入上式，得
In
2
sinn
xdx
n
-1
n
-
3
0
n n-2
4 2 1.
53
由于 2 cosn xdx 2 sinn xdx, 所以上述结果对于
例 6 计算 1 4 - x2 dx. -1
解 因为被积函数 4 - x2 是偶函数, 且积分 区间对称于原点，得
1
4 - x2dx
1
2
4 - x2dx,
-1
0
令 x = 2sint，
则
dx
=
2cos
tdt
，
x t
0 0
于是
1
，
6
1 4 - x2 dx 2 1 4 - x2dx
令
x
t， 则
定积分换元法和分部积分法
x
f (t)dt 是奇函数。
0
证明：令
F(x)
x f (t)dt,则F（ x）
x
f (t)dt
0
0
对
F（ x）
x
f (t)dt,
设t=-u有
0
F（ x）
x
x
f (u)(du) f (u)du
0
0
即
F（ x）
x 0
f (u)du
F ( x), F(x),
若f (u) f (u) 若f (u) f (u)
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
0
1
sin x cos2
x
dx
2
0
1
1 cos2
x
d
(cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
3
2 cos xsin x2 dx
0
cos
xsin
x
3
2
dx
3
2 sin x2 d sin x
0
2
sin
x
3
2
d
sin
x
2
sin
5
x 2
2
2
2
sin
x
5
定积分的换元法
其中 ( ) a ， ( ) b． 定积分的换元积分公式，也可以反过来使用，即
b
a
f [ ( x)] ( x) d x f (u ) d u ，
其中 u ( x) ，而 ( a ) ， (b) ．
例 求积分 sin 5 x cos x d x ． 解
sin x 1 sin 2 x d x sin x | cos x | d x
0 π 3 2
x x cos ， 0 ， 2 | cos x | cos x ， x 2
sin x cos x d x π sin x( cos x) d x ，
π 2 0 π 2 0 1
令 u sin x ，则 x 0 时 u 0 ， x 时 u 1 ， 2
1
π 2 0
sin 5 x cos x d x sin 5 x(sin x) d x
1 1 6 u du u ． 0 6 0 6
5
2
π 2 0
3 2
π
3 2
π
0
sin 3 x sin 5 x d x
sin x cos x d x π sin x cos x d x
0 2 π 2 3 2 π 3 2
sin x d(sin x ) π sin x d(sin x )
0
π 2
3 2
π
3 2
2 2 4 sin x sin x ． 5 5 0 5
aaຫໍສະໝຸດ f ( x) d x 2 f ( x) d x ；
定积分的换元积分法和分部积分法
5.4定积分的换元积分法
和分部积分法
定积分换元法
∈ [1,2]
= 2 + 3 ∈ [5,8]
定积分换元法
定理设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，函数 x (t ) ，其中 (t ) 为
单值函数，满足
⑴ ( ) a, ( ) b ，且当 t [ , ] 或 [ , ] 时， (t ) [a, b] ；
a
b
u ( x)v( x)dx u ( x)v( x) a u( x)v( x)dx
b
a
b
u ( x)dv(x) u ( x)v( x) a v( x)du (x) ．
b
a
称为定积分的分部积分公式．
也简记为
b
a
b
udv uv a vdu ．
b
a
22-14
例1
2
1
1 3 0
t 1
(t t ) 1 e
0
3
4
7
1
1
(e 1) e
3
3
0
t
例4
解：
例5
例6
(1)
(2)
(1)
(2)
定积分的分部积分法
定理 设函数 u u ( x) 与 v v( x) 在 [a, b] 上均具有连续导数，则
或
b
a
b
计算 xe dx ．
2
0
x
解： xe dx
2
0
x
xe | e dx
x 2
0
2 x
0
2e e |
和分部积分法
定积分换元法
∈ [1,2]
= 2 + 3 ∈ [5,8]
定积分换元法
定理设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，函数 x (t ) ，其中 (t ) 为
单值函数，满足
⑴ ( ) a, ( ) b ，且当 t [ , ] 或 [ , ] 时， (t ) [a, b] ；
a
b
u ( x)v( x)dx u ( x)v( x) a u( x)v( x)dx
b
a
b
u ( x)dv(x) u ( x)v( x) a v( x)du (x) ．
b
a
称为定积分的分部积分公式．
也简记为
b
a
b
udv uv a vdu ．
b
a
22-14
例1
2
1
1 3 0
t 1
(t t ) 1 e
0
3
4
7
1
1
(e 1) e
3
3
0
t
例4
解：
例5
例6
(1)
(2)
(1)
(2)
定积分的分部积分法
定理 设函数 u u ( x) 与 v v( x) 在 [a, b] 上均具有连续导数，则
或
b
a
b
计算 xe dx ．
2
0
x
解： xe dx
2
0
x
xe | e dx
x 2
0
2 x
0
2e e |
定积分的换元法和分部积分法
1
4
R2
R
x x
例2 计算
0
cos3 x cos5 xdx
2
解
0
cos3 x cos5 xdx
2
0
cos3 x cos5 xdx
0
3
cos 2 x
1 cos2 xdx
0
3
cos 2 x sin x dx
2
2
2
0
3
cos2 x sin xdx
2
0
2
3
cos 2
解:
I1 tax
a 0
f (a t) dt f (a t) f (t)
2I1
a 0f f(a (ax) x)f f
(x) (x)
dt
a,
I1
a 2
I2 tx
0
( 1
t) sin cos2 t
t
dt
sin t 0 1 cos2 t dt
t sin t
0
1
cos2
dt t
第三节 定积分的换元法和分部积分法
一 定积分的换元法
定理1 设函数f(x)在[a,b]上连续,且x=φ(t)满足条件:(1) φ(t)在[α,β]上连续 可微;(2)当t在[α,β]上变化时, x= φ (t)的值在[a,b]上单调变化,且 φ(α)=a,φ(β)=b则
b
a f (x)dx f [ (t)](t)dt(1)
xd
cos
x
2 5
5
cos 2
x |0 2
2 5
利用换元法计算定积分时,要注意: (1).在换元时,积分的上下限必须同时变化. (2).在换元时,要注意换元后的函数在积分区域内是否有 意义.
5.3 定积分的换元法和分部积分法
−a
0
0
a
= ∫ 0 [ f (x ) + f (− x) ]d x
a
a
即
∫ ∫ f ( x)d x = [ f ( x) + f (− x) ] d x
−a
0
a
a
∫ ∫ 即
f (x)d x = [ f (x) + f (−x) ] d x
−a
0
（1）若 f (x) 为偶函数，即 f ( x ) = f (− x )
π
原式 =
t 2
+
ln
|
sin
t
+
cos
t
|
2 0
=π
4
例6：证明
（1）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为偶函数，
a
a
则 ∫ − a f (x)d x = 2∫ 0 f (x)d x
（2）若 f (x) 在 [ - a , a ] 上连续且为奇函数，
a
则 ∫ −a f (x)d x = 0
1 −1
f (u) d u
∫ ∫ ∫ =
1
f (x)d x =
0 (1 + x2 ) d x +
1 e−x d x
−1
−1
0
=
[
x
+
1 3
x
3
]0−1
+
[−e − x ]10
= 7− 1 3e
二、 定积分的分部积分法
设 u = u (x) , v = v(x) 在区间 [ a , b ] 上有连续导
π 2
−
t
dt
π
定积分换元积分法
x = π ⇒ t = 0,
0 π
∫0 xf (sin x )dx
π 0
π
= − ∫ ( π − t ) f [sin( π − t )]dt
= ∫ ( π − t ) f (sin t )dt ,
∫0 xf (sin x )dx
π
π
= π ∫ f (sin t )dt − ∫ tf (sin t )dt
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
在∫
0 −a
a
f ( x )dx ,
f ( x )dx 中令 x = − t ,
∫−a f ( x )dx = − ∫a f ( − t )dt = ∫0
a 0
0
0
a
f ( − t )dt ,
为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则 f ( − t ) = f ( t ),
π cos t 1 2 dt = ∫ sin t + cos t 2 0
上连续， 例 5 当 f ( x ) 在[ − a , a ]上连续，且有 为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则
∫−a f ( x )dx = 2∫0
证
a 0
a
a
f ( x )dx ；
a
为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
的一个原函数. ∴ Φ (t ) 是 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数
β
∫α f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt = Φ(β ) − Φ(α),
ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ,
Φ( β ) − Φ(α ) = F[ϕ ( β )] − F[ϕ (α )]
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第
b a
f
[( x)]( x)dx
一
难求
类
(x) u
换
f (u)du
元
法
易求
b a
f [( x)]( x)dx
第
易求
二
类
u (x)
换
f (u)du
元
难求
法
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
F [ (t )]
dF dx
dx dt
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t ) 后，不
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
2 dx
例1
计算
. ｅ1 1 x
解
原式
2
ｅ1
1 1
x
d(1
x)
1
ｅ
1 t
dt
1
ln t
②
f
(
x
)
为奇函数，则 a a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a
a
0
在 0 a
f
( x)dx 中令x
t
,
0
a
f
( x)dx
0
a
f
( t )dt
a
0
f
( t )dt ,
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
f (sin t)dt
tf (sin t)dt
0
0
0
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
12/25
作业
P154 1 2(1) , (3) , (5)
解 令 x a sin t, 则dx a cos tdt,
x从0变到a, t从0变到π , 2
a a2 x2dx 0 π
2 a cos t a cos tdt 0 π
a2 2 cos2 tdt 0
π
a2 2 cos2 tdt 0
cos 2t 2cos2 t 1
a2
π
2
1
2
2
0
1 [cos2π cos2 0]
22
1 .
2
例3 计算 2 cos5 x sin xdx. 0
解 令 t cos x, dt sin xdx,
x t 0,
2
2 cos5 x sin xdx 0
x 0 t 1,
0 t 5dt t 6 1 1 .
1
60 6
练习. 计算
ｅ
ln1 lnｅ
1.
t 1 x
π
例2
计算 2 sin t cos tdt. 0
解一
2 0
sin
x cos
xdx
1 2
2 0
sin
2
xdx
1
4
0
sin
u
du
1 4
cos
u
0
1 2
解二
π
π
2 sin t cos tdt 2 cos td(cos t)
0
0
π
(cos t)2
f ( x) (t)
f [(t )](t ),
F[(t)] 是 f [ (t)] (t)的一个原函数.
f [(t)](t)dt
F[( )]
F[( )],
F(b)
F (a),
b
a
f
F
(a)
f [ (t)](t)dt.
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也
cos
2t
dt
0
2
d(2t) 2dt
a2
[
π
2 dt
1
π
2 cos 2td(2t)]
20
20
a2
(
π
2 dt
1 sin 2t
π
2)
20
2
0
v 2t
a2 π a2π .
22 4
例 5 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx ；
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
练习 若 f ( x)在[0,1]上连续，证明
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
例6
计算
1
2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
f (sin x)dx.
0
20
证（1）
x t
2
2 f (sin x)dx
0
0
2
f
sin
2
t dt
2 f (cos t )dt 2 f (cos x)dx;
0
0
11/25
x t 0
（2） xf (sin x)dx 0
( t ) f [sin( t )]dt
(
t) f (sint)dt
解: 令 t 2x 1,则 x t 2 1, dx t d t , 且 2
当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
∴
原式 =
3
t
2 1 2
2
t
d
t
1t
1 2
3
1
(t
2
3)
d
t
1(1t3 3t) 3
23
1
如何去掉根式？
例4计算 a a2 x2dx (a 0). 三角代换 0
一、换元公式
定理 假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t) 的值 在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
则
有 b a
f
(
x
)dx
f [ (t)] (t)dt .