数学的故事之一

数学的故事之一：悖论的故事

眉县城关中学贺旭升

前言数学恐怕是我们花费力气最多而收效甚少的一门学科。原因多种多样，主要是大多数人是在是提不起兴趣，尽管我们都觉得数学很重要。这样硬着头皮学肯定是事倍功半可是你要是主动地，津津有味地学也许就会事半功倍。我想培养对数学的兴趣有一条捷径，那就是学点数学的历史，数学的故事。所以我们开设数学的故事系列讲座以飨大家，今天我们主要讲讲逻辑学中经常遇到的很有意思的问题------悖论

引子--------矛和盾

矛贩子：我这个矛什么样的盾都能刺穿。

盾贩子：我这个盾什么样的矛都能抵御》

行人：有一个人分明是在说假话.

观察与切入

悖论是指看似非常明显的假命题，实际上却是真命题；看似非常明显的真命题，事实上却是假命题。换句话说，悖论就是看似丝毫没有错误，事实上却是存在矛盾的命题。具备如此性质的悖论不仅对于逻辑训练非常有帮助，而且和现代科学，小说，哲学的本质概念相符合，为了提升逻辑思维能力，有必要对悖论深入观察。

在生活中，我们会常常接触超越常识的逻辑逆说，即悖论。这些逆说如果就这么过去的话，不过是滑稽的故事罢了，但是通

过逻辑思考和更进一步的数学思考会发现线索都隐藏在其中，因此有必要在生活中试着寻找各种逆说并加以分析。

生活中数学

规则的逆说：“没有例外的规则是没有的。”规则存在的例外还是没有例外？

谎话大王的逆说：“我说的话是假的。”这句话是真话还是假话？

悖论分析

例题p: “这句话是假的.”

命题p：我们先来说“这句话是假的”为什么从逻辑上是矛盾的。首先，我们假设命题p是真的。那么对于“这句话是假的”这句话，由于假设了命题为真，所以这句话必须是真的，因此，“这句话是假的”的命题p为假的，与假设命题p为真命题相矛盾。现在我们又假设命题p为假，那么对于“这句话是假的”的这句话，由于命题为假，所以这句话必须是假的，因此，“这句话是假的”的命题p为真，与假设命题p为假相矛盾。

悖论会让我们越想越陷入混乱之中。在历史上，悖论是让人津津乐道的对象，许多人被这样的混乱困扰，又为了克服这种混乱而不懈的努力，在这里向大家介绍历史中曾出现过的悖论。

其中之一是在公元前3世纪左右希腊哲学家芝诺提出的阿基里斯和乌龟赛跑的悖论。

芝诺悖论

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

“乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。

对于上面的悖论，要找出是什么并非容易的事，芝诺悖论很长时间都困扰这数学家们。直到19世纪，在无限成为数学的一个研究领域时，数学家们运用无限等比级数的收敛才将芝诺悖论揭开。

其二是英国说学家兼哲学家并且获得过诺贝尔文学奖的罗素在1895年提出的关于集合的悖论。

罗素悖论

将所有集合作为元素的集合是不存在的。

集合的定义是相互又明显区分的组合，尽管一个集合可以

称为任何集合的元素，而在罗素悖论中将所有集合作为元素的集合为甚不存在？为了直观的证明这个悖论，假设存在所有集合的集合U。那么那个集合U作为一个集合，又必然存在一个比U大的集合，将U作为其中的元素之一。所以，所有集合的集合是不可能存在的。但是罗素悖论需要通过数学进行严密的证明。

哈尔莫斯曾用“没有任何事物可以包含一切”来说明罗素悖论，另外，罗素为了说明自己提出飞关于集合的悖论，曾举过理发师的悖论的例子，下面就是将罗素悖论变换称生活中的情况的例子

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

理发师悖论与罗素悖论是等价的：

因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，

都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。

罗素悖论的影响

十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”

可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉