数值计算在热工中应用B第二章

一维模型方程是一维非稳态有源项的对流-扩
散方程，具有四个特征项，便于离散方法的研讨 。 ( ) u ( ) S 非守恒型 FDM采用 t x x x
守恒型
( ) ( u ) ( ) S t x x x
29
随空间自变量的变化型线 型线 型线
分段线性
阶梯逼近
piece-wise linear step-wise approximation
30
随时间自变量的变化型线
分段线性 piece-wise linear
阶梯逼近 step-wise approximation
31
2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散
2 2
(i 1, n) (i, n) x 2 )i ,n ( 2 )i ,n x x 2 x
17
(i 1, n) (i, n) )i ,n O(x) x x
O(x)称为截断误差，表示： (i 1, n) (i, n) 随x的趋于零，用 代替 )i , j x x 的误差 Kx，K与x 无关。
将守恒型控制方程对控制容积 P 在[ t, 内做积分，
t + t ]
( ) ( u ) ( ) S t x x x
( t t t )dx
w t t
e
t t
[(u )
t t
e
(u ) w ]dt


t
[( )e ( ) w ]dt x x
t t e
S dxdt
w
32
继续积分，需要知道Φ以及 x 对空间与时间的变化型线。
1. 非稳态项
假设
对空间呈阶梯型变化 :
t t t ( t t t )dx (P P )x w e
2
) u t
E W
2
均分网格
3. 扩散项
假设 对时间呈显式阶梯型变化 : x
t t


t
t t [( )e ( )w ]dt [( )e ( )w ]t x x x x
假设
对空间呈分段线性变化:
34
E P P W t t [( )e ( ) w ]t t[ ] x x (x)e (x) w
)i ,n x 2x
n i 1
n i 1
, O(x )
2
2. 一、二阶导数的各种差分表达式。 表达差分结构的格式图案（stencil)
构筑差分表达式的位臵；
构筑差分表达式所用到的节点。
19
教材表2-1
20
定性判别导数的差分表达式正确与否的方法： (1)量纲是否正确－与导数本身一致； (2)均匀场的各阶导数应为零。
2. 对流项
假设
对时间呈显示阶梯型变化 :

t t
[(u )
t
e
(u )w ]dt [(u ) (u ) ]t
t e t w
33
进一步 假设对空间呈分段线性变化:
[(u ) (u ) ]t u t (
t e t w
E P
2

P W

in 1 in
t
u
n in 1 i 1
2x Sin , O(t , x 2 )
差分方程 截断误差

n n in 2 1 i i 1
x 2
23
2.2.4 由多项式拟合法导出导数的差分表示式
对函数的局部变化型线作出假设，导出差分表达式。
n i 1
n n n n 2 in 2 1 i 1 i 1 i i 1 b , 2 2c 2 x 2x x x
25
3. 多项式拟合方法多用于边界条件处理
例题2－ 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设在如图所示情形中，已知区域内 部与边界点的温度，物体导热系数λ 为 常数，试用多项式拟合法确定穿过避免 的热流密度。
方法A
边界节点代表半个CV
方法B
边界节点代表零个CV
(b)网格非均分时节点作为控制容积的代表方法 B更合理
方法A
方法B
12
(c)网格非均分时，方法 A可以保证界面导数的离散 精度
界面位于两节点之间
界面偏离两节点中间位臵
E P ( )e x (x) e
E P ( )e x (x) e
FVM采用
瞬态
对流
扩散
源项
16
“麻雀虽小，五脏俱全！”
2.2.2 由Taylor 展开法导出导数的差分表示式 1. 一阶导数的差分表达式 将函数(
x, t ) 在（i+1,n)
的值对（i,n)点做Taylor展开：
x (i 1, n) (i, n) )i ,n x 2 )i ,n x x 2!
2
2
由此得：
b
3Ti ,1 4Ti , 2 Ti ,3 2y
T 解出：qb ) y 0 b (3Ti ,1 4Ti , 2 Ti ,3 ), O(y 2 ) y 2y
※ 作业：如果给定了边界上的热流密度qB，用多项 式拟合法由qB及内点温度Ti,2，Ti,3，Ti,4来计算便捷温度 Ti,1
结构化网格（a)
5个单元
结构化网格（b)
非结构化网格
6个单元
8
结构化与非结构化均有内接点与外节点两种布臵。
（3）结构化网格的内接点与外节点法
(a) 外节点法：节点位于子区域的角顶；控制容积界 面位于两节点之间； 生成过程：先节点后界面；又称 Practice A， 又称单元顶点法（cell-vertex）。
14
2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法 2.2.1 一维模型方程 2.2.2 由Taylor 展开法导出导数的差分表示式
2.2.3一维模型方程的有限差分离散表示式
2.2.4 由多项式拟合法导出导数的差分表示式
15
2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟合法 2.2.1 一维模型方程（ 1-D model equation ）
( x0 x, t ) a bx cx
原点设在
n i n i 1
2
x0 处， 则
2 n i 1 2
a, a bx cx , a bx cx
b

n i 1
n i 1
2x
,c
2
n i 1
2x
n i 2
(1) 节点（node) :所求解未知量的位臵；
(2) 控制容积（control volume) :实施守恒定律的最
小几何单位； (3) 界面（ interface) :控制容积的分界位臵;
4
(4) 网格线 （grid lines) : 沿坐标方向相邻节点连接
成的曲线簇。
(5) 节点间相互关系 : 记录每个节点的左邻右舍。
（节点之间的相互影响在方程离散步骤中确定）。
2. 区域离散方法分类 (1) 按照节点间的关系：结构化网格与非结构化网格 。
(2) 按照节点的位臵：内接点法与外界点法 。
5
2.1.2 网格系统表示方法
二维问题中所研究的节点位臵记为(i,n)，n表示时层。 用P，N， E ，W ，S表示所研究节点及相邻4点。n，e， w，s表示相应界面，0表示上一时层。 网格线－节点间连线，用实线表示；界面为虚线； 节点间距离－
子区域即为控制容积11内节点法网格生成过程12b网格非均分时节点作为控制容积的代表方法b更合理方法b方法a方法b边界节点代表零个cv方法a边界节点代表半个cv214结构化网格内节点与外节点法的比较a边界节点所代表的控制容积不同13c网格非均分时方法a可以保证界面导数的离散精度可以保持二阶精度低于二阶精度界面位于两节点之间界面偏离两节点中间位臵14215网格独立解实际计算时网格生成并非一蹴而就要经过反复调试与比较
数值计算在热工中应用 B
第二章 计算区域及控制方程的离散化
天津理工大学自动化学院热能系
1
第 2 章教学目录
2.1 网格生成（区域离散化） 2.2 建立离散方程的Taylor展开法及多项式拟 合法 2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
2
2.1 网格生成（区域离散化）
2.1.1 区域离散化的任务及方法分类 2.1.2 网格系统表示方法
27
2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
2.3.1 控制容积积分法实施步骤 2.3.2 两种常用型线 2.3.3 一维模型方程的控制容积积分法离散
2.3.4 FVM中型线假设的讨论
2.3.5 平衡法导出离散方程
2.3.6 两类导出离散方程方法的比较
28
2.3 建立离散方程的控制容积法及平衡法
2.3.1 控制容积积分法实施步骤
1. 将守恒型的方程对控制容积做积分； 2. 选定被求函数及其一阶导数对时间的变化型线； 3. 完成积分，整理成相邻节点间未知量的代数方程。
2.3.2 两种常用型线
型线－被求函数随自变量的局部变化方式， profile, shape function。 型线本是所求的内容，近似求解需先假定。
已知：温度 Ti ,1 ,Ti ,2 ,Ti ,3，导出y向具有二阶截差的 边界热流表达式。
26
解：设y＝0处温度呈二次曲线
2 T ( x, y) a by cy , O(y )
3
Ti,1 a, Ti,2 a by cy , Ti,3 a 2by 4cy
2.1.3 不同区域离散方法简介
2.1.4 结构化网格内接点与外节点法的比较 2.1.5 网格独立解
3
2.1 网格生成（区域离散化）
2.1.1 区域离散化的任务及方法分类
1.区域离散化的任务
将所计算的区域分割成许多不重叠的子区域，确 定每个子区域中节点的位臵以及所代表的控制容积。
离散结果得出五种几何信息：
子区域
控制容积
9
(b) 内节点法：节点位于子区域的中心；子区域即为 控制容积； 生成过程：先界面，后节点，又称 Practice B, 又称单元中心法（cell-centered）。
子区域即为控制容积
10
内节点法网格生成过程
11
2.1.4 结构化网格内节点与外节点法的比较 (a)边界节点所代表的控制容积不同
可以保持二阶精度
低于二阶精度
13
2.1.5 网格独立解 实际计算时，网格生成并非一蹴而就，要经过 反复调试与比较； 复杂区域的网格生成可能占总计算时间的大部 分,网格的质量对计算的精度有影响较大。网格生成 技术已成为数值计算中相对独立的部分，称为网格 生成技术(grid generation technique)； 当网格足够细密以至于再进一步加密网格已对 数值计算结果基本上没有影响时所得到的数值解称 为网格独立解（ grid-independent solution)。
x 的方次称为截差的阶数（ order of TE)。
用数值计算的近似解 得向前差分：
)i ,n , O(x) x x
n i 1 n i

n 代替精确解 i
(i, n)
18
向后差分： 中心差分：
in in 1 )i ,n , O(x) x x
21
2.2.3 一维模型方程的有限差分离散表示式 1. 非稳态问题空间导数差分的计算时层（o：taylor级 数展开点，×：待求φ 值的节点，·：已知φ 值的节点） Taylor展开点
显式 explicit
隐式 implicit
O(t )
O(t )
C-N格式 CrankNicolson O(Δt
1. 设局部型线为线性函数－可导出一阶截差表达式
( x0 x, t ) a bx
原点设在
x0 处， 则
a, a bx
n i n i 1
a b x x x
n i 1 n i 1
n i
24
2. 设局部型线为二次函数－可导出二阶截差表达式
x ；界面间距离－ x 。
6
CV表示控制容积。
节点间距
网格线
界面
界面间距
2.1.3 区域离散方法简介 （ 1）结构化网格(structured grid)：节点位臵排列 有序，邻点间连接关系的模式固定不变。
7
（2）非结构化网格 (unstructured grid)：节点位臵排
列无序，邻点间无固定 的连接关系模式，邻点间 的连接关系的生成与存储是网格生成的主要内容。
2)
22
2. 一维模型方程的显式格式 精确形式
t 2x (i 1, n) 2 (i, n) (i 1, n) S (i, n) HOT 2 x 差分表达式

(i, n 1) (i, n)
u
(i 1, n) (i 1, n)