高三数学一轮复习 71不等式、推理与证明课件 北师大版

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第六章 数列
(4)由性质定理：a<b<0⇒1a>1b，为真命题．
(5)例如：－3<－2<0，23<32；命题是假命题．
－a>－b>0 a<b<0⇒1 1
a>b
－a>－b>0 ⇒－1b>－1a>0
，∴ab>ba.
(6)a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b，c>a>b>0⇒0<c－ a<c－b
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第六章 数列
[例1] (1)若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x ＋y)的大小；
(2)设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小． [解析] (1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y) ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0， ∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)
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1．单纯考查不等式的题有，但很少，多数是以函数、 方程、三角函数、数列、解析几何、向量、导数知识为载 体综合考查不等式，突出不等式的工具性．
2．所有对不等式的考查，关注的都是不等式的基础 知识、基本技能和基本方法，不要求很强的技巧性，也不 会出现过繁、过难的计算、变形.
3．解不等式的试题与分式、根式和参数讨论常联系 在一起，考查我们等价变换和分类整合的能力．
4．推理与证明是新课程中非常重要的内容，在2012 年高考中有可能成为考查的重点，三种题型都有可能．
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第六章 数列
3．不等式的一些常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒1a<1b. ②a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. ③0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
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(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质：ba<ab＋＋mm；ba>ba－ －mm(b－m>0)． ②假分数的性质： ab>ba＋＋mm；ab<ab－ －mm(b－m>0)．
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第六章 数列
[例3] 设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2) 的取值范围．
[分析] 易知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，只要将f(－2)＝4a －2b用a＋b和a－b表示出来，再利用不等式性质求解4a－ 2b的取值范围即可．
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[解析] 方法一：设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n 为 待定系数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服 “想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和 实数运算法则为依据来解决问题．
(2)解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单 调性联系起来，注重数形结合思想；解含参数不等式时要 注重分类整合的思想．
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(3) 利 用 均 值 不 等 式 求 最 值 时 ， 要 满 足 三 个 条 件 ： “一正，二定，三相等”．
＝(a－1)2＋(b－1)2≥0 恒成立
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对于 D：若 a≤ b，则 D 显然成立，若 a> b， 则 |a－b|≥ a－ b
⇔|a－b|≥( a－ b)2. ⇔( a－ b)·( a＋ b)≥( a－ b)2 ⇔ a＋ b> a－ b ⇔ b≥0，显然成立.
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(2)根据同底数幂的运算法则． aaabbbba＝aa－b·bb－a＝(ab)a－b 当 a>b>0 时，ab>1，a－b>0， 则(ab)a－b>1，于是 aabb>abba. 当 b>a>0 时，0<ab<1，a－b<0， 则(ab)a－b>1，于是 aabb>abba. 综上所述，对于不相等的正数 a、b，都有 aabb>abba.
纳推理得到一个般性的结论，然后再要求给出证明．归纳、 猜想、证明是数学中发现新规律的一种主要方法，是归纳
推理的一种重要体现，此类题型可能成为2012年高考的重 点题型．
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1．不等式的学习应立足基础，重在理解，加强训练， 学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注 意以下几点：
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3．(2011·吉林长春一模)使不等式 a>b 成立的一个充
要条件是( )
A．a2>b2
11 B.a<b
C．lga>lgb
11 D.2a<2b
[答案] D
[解析] a＝－2，b＝1，满足 a2>b2 和1a<1b，但 a<b； lga>lgb⇒a>b 但 0>b>b⇒/ lga>lgb.
(4)要强化不等式的应用意识，同时要注意不等式与 函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数 形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图解决 问题．
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2．在推理证明的复习中，要准确把握概念，把握好 各种证法的特点和步骤，注意灵活运用．
(1)对于合情推理，主要是掌握相关概念，会进行类 比推理，能判断推理的类型．
[解析] ∵a、b、c∈R＋，∴an、bn、cn>0. 而an＋cn bn＝acn＋bcn.∵a2＋b2＝c2，∴0<ac<1,0<bc<1.
∵n∈N，n>2，∴acn<ac2，bcn<bc2， ∴an＋cn bn＝acn＋bcn<a2＋c2 b2＝1， ∴an＋bn<cn.
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4．设 a、b 为非零实数，若 a<b，则下列不等式成
立的是( )
A．a2<b2
B．ab2<a2b
11 C.ab2<a2b [答案] C
ba D.a<b
பைடு நூலகம்
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[解析] a<b<0 时，a2>b2 排除 A；当 a＝1，b＝2 时 ab2>a2b，排除 B；当 b>a>0 时，ba>ab排除 D；因为a1b2 －a12b＝aa－2bb2 ，a2b2>0，又 a<b，所以 a－b<0，即a1b2－a12b <0，
(2)直接证明与间接证明主要渗透到其他知识板块中， 要注意在复习相应的板块时，培养选择合理证明方法的能 力．
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考纲解读 1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．
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即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
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若以选择题和填空题出现，则主要考查归纳和类比推
理的运用以及推理的有关概念问题等；而对常用的证明方
法的考查主要以解答题的形式出现，可能是某个解答题中 的一问，单独考查的可能性不大．题目的难度会以中档题
为主．
5．探索性命题是近几年高考中经常出现的一种题型， 此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，通过归
[答案] B
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第六章 数列
[解析]
∵a>0，b>0，∴A 中，(a＋b)1a＋1b≥2· ab·
1 ab
＝4.当且仅当 a＝b 时，取“＝”号，∴A 恒成立．
对于 B：a3＋b3－2ab2
＝a(a2－b2)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2＋ab－b2)
＝(a－b)a＋b22－54b2≥0，不恒成立． 对于 C：有 a3＋b3＋2－2a－2b
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基础自测 1．(2009·安徽)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的
() A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] ∵“a＋c>b＋d”⇒/ “a>b且c>d”，∴充分 性不成立； 又“a>b且c>d”⇒“a＋c>b＋d”，∴必要性成立， 故选A.
⇒c－1 a>c－1 b>0⇒c－a a>c－b b，命题为真．
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第六章 数列
[点评] 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理 论基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条 件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理解 不等式．
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设 a>0，b>0，则以下不等式不恒成立的是( ) A．(a＋b)1a＋1b≥4 B．a3＋b3≥2ab2 C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D. |a－b|≥ a－ b
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2．(2011·浙江泉州模拟)若 a、b、c 为实数，则下列命题 正确的是( )
A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 a<b<0，则 a2>ab>b2
C．若 a<b<0，则1a<1b D．若 a<b<0，则ba>ab [答案] B [解析] 对于选项A，c＝0时，ac2＝bc2；取a＝－2， b＝－1知选项C、D错，故选B.
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7．已知f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，x∈R， 试比较f(x)与g(x)的大小关系．
[解析] f(x)－g(x) ＝3x2－x＋1－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2 ＝(x－1)2＋1≥1>0， ∴f(x)>g(x)．
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(4)a>b，c>0⇒ ac>bc ；a>b，c<0⇒ a；c<bc (5)a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d ； (6)a>b>0，c>d>0⇒ ac>bd ； (7)a>b>0⇒ an>bn (n∈N且n≥2)； (8)a>b>0⇒n a>n b(n∈N 且 n≥2)．
[例2] 对于实数a，b，c判断下列命题的真假． (1)若a>b，则ac>bc； (2)若a>b，则ac2>bc2； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若 a<b<0，则1a>1b； (5)若 a<b<0，则ba>ab；
(6)若 c>a>b>0，则c－a a>c－b b.
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6．(2011·高密模拟)设 a＝2－ 5，b＝ 5－2，c＝5－2 5， 则 a，b，c 之间的大小关系为________．
[答案] a<b<c [解析] ∵a＝2－ 5＝ 4－ 5<0，b>0，c＝5－2 5＝ 25－ 20>0，且 b－c＝3 5－7＝ 45－ 49<0， ∴a<b<c.
考向预测 1．以考查不等式的性质为重点，同时考查不等式关 系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合 命题． 2．常以选择题的形式考查不等式的性质，主要在其 他知识交汇点处命题．
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知识梳理 1．比较两个实数大小的法则 设a，b∈R，则(1)a>b⇔ a－b>0 ； (2)a＝b⇔ a－b＝0 ； (3)a<b⇔ a－b<0 . 2．不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b，b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇒ a＋c>b＋c ；
所以a1b2<a12b，故选 C.
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5．(教材改编题)已知－π2<α<β<π2，则 α－β 的取值范围 是________．
[答案] (－π，0) [解析] ∵－π2<α<β<π2，∴－2π<α<π2，α－β<0， －π2<－β<2π，∴－π<α－β<0.
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[点评] 实数大小的比较问题常常利用不等式的基本 性质或“ab>1，且 b>0⇒a>b”来解决，比较法的关键是第 二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的 判断．
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第六章 数列
已知a、b、c满足：a、b、c∈R＋，a2＋b2＝c2，当 n∈N，n>2时，比较cn与an＋bn的大小．
第六章 数列
[分析] 考查不等式性质及举例说明，简单变形推导 或证明，抽象归纳等利用相关知识解决有关问题的能 力．运用实数的基本性质及不等式的基本性质判断．
[解析] (1)因未知c的正负或是否为零，无法判断ac 与bc的大小，∴为假命题．
(2)因c2>0时正确，c＝0不正确，∴为假命题． (3)a<b；a<0，则a2>ab，a<b，b<0，则ab>b2， ∴为真命题．