四川省绵阳市江油中学2019届高三上学期第二次月考数学(理)试题

四川省江油中学2016级高三上期第二次月考理科数学试题
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一项） 1．sin15°cos15°等于( )
A.14 B ．34 C.12
D ．32
2. 已知全集R U =，{}22≤≤-=x x M ，{
}1
<=x x N ，那么M N ⋂=（ ） A ．{}1
2<≤-x x B ．{}12<<-x x C ．{}2-<x x D ．{
}2≤x x 3．下列函数中，为奇函数的是( )
A ．y ＝2x
＋1
2x
B ．y ＝x ，x ∈{0,1}
C ．y ＝x·sinx
D ．y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x<0，0，x ＝0，
－1，x>0
4．函数()()
ln 15x
f x =-的定义域是（ ）
A. (),0-∞
B. ()0,1
C. (),1-∞
D. ()0,+∞
5.函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图像如图，则下列不等式一定成立的是（ A ．0a b > B ．0a b +> C. 1ab > D ．log 2a b >
6.已知函数),2
||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=π
ϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的
解析式为（ ）
22
5
()2log (01)log x x
f x x =++
<<()sin cos (sin cos )
f x x x m x x =⋅-
+
A ．)4
8
sin(4)(π
π
--=x x f B ．)4
8
sin(4)(π
π
+
-=x x f
C ．)4
8
sin(4)(π
π
-=x x f D ．)4
8
sin(
4)(π
π
+
=x x f
7.已知将函数()tan(x )(210)3
f x π
ωω=+<<的图象向右平移
6
π
个单位后与()f x 的图象重合，则的值
为（ ）
A 9
B 8
C 6
D 4 8.已知函数()sin(2)12
f x x π
=+， '()f x 是()f x 的导函数，则函数'2()()y f x f x =+的一个单调递减
区间是（ ） A 7[
,
]1212ππ
B 5[,]1212ππ-
C 2[,]33ππ-
D 5[,]66ππ- 9.已知函数)(x f =2
4sin
12
x x x π
-+（xR)的零点个数为（ ）
A 2
B 4
C 6
D 8 10. ABC 中， =(
,
),=(
,
),则ABC 的面 积为（ ） A.
B.
C.
D.
11.下列说法正确的为（ ）
①在ABC ∆中，A B <是cos 2cos 2A B >的充要条件；
②函数在上的最小值为2，则m 的值为2；
[,]42
ππ
2-[1,2]③的最大值为；
已知()min{sin ,cos }f x x x =，则()f x
的最大值为
2
④定义 A ①②③ B ①③④ C ②③④ D ①②④
12.在△ABC 中，∠A ＝ ，O 为平面内一点．且｜OA uu r ｜＝｜OB uu u r ｜＝｜OC uuu r
｜，M 为劣弧»BC
上一动点，且OM uuu r ＝p OB uu u r ＋q OC uuu r
，则p ＋q 的取值范围为（ ）
A 1
[,2]2 B 13[,]22 C 3[1,]2
D 二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分。

13.已知函数)(x f 在(]2,∞-为增函数，且)2(+x f 是上的偶函数，若)3()(f a f ≤，实数的取值范围是 14.设O 为三角形ABC 内部，若20OA OB OC ++= ,则三角形AOC 与三角形ABC 的面积之比为 15.已知函数f(x)=e x
+x 2
+x+1与g(x)的图象关于直线2x-y-3=0对称,P,Q 分别是函数f(x),g(x)图象上的动点,则|PQ|的最小值为
16.设1=x 是函数3212()1()n n n f x a x a x a x n N +++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足：11a =，22a =，n n a b 22log =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则1223
20182019
20182018
2018
[
]b b b b b b +++
=
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17(12分),已知不等式20ax x c ++>的解集为{}|13x x <<． （1）求,a c 的值；
（2）若不等式2240ax x c ++>的解集为，不等式30ax cm +<的解集为，且A B ⊂，求实数的取值范围.
18.（12分）（1）已知函数向量)cos ,2(α=a ，))2tan(,1(β+α=b (40π
<α<)，且37=⋅b a .2βπ=，
求α
-αβ+α-αsin cos )
(2sin cos 22的值.
（2）设为锐角，若4cos()6
5π
α+=
，求sin(2)12
π
α+的值。

19(12分).在ABC ∆中，角A B C
、、、、所对的边分别为a b c 、、sin cos 0B b A -=， （1）求角的大小；（2）若1a =，求ABC ∆周长的最大值. 20.已知函数2
1()2ln (2)2
f x x a x a x =
-+-，a R ∈. ,min{,},a a b a b b a b
≤⎧=⎨
>⎩
（1）当1a =-时，求函数()f x 的极值；
（2）是否存在实数，对任意的、(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()
f m f n a m n
->-恒成立？若存在，求出的
取值范围；若不存在，说明理由. 21. （12分）已知函数x x f ln )(=，b ax x g +=
2
1
)(. （Ⅰ）若)(x f 与)(x g 在1=x 处相切，试求)(x g 的表达式； （Ⅱ）若(1)
()()1
m x x f x x ϕ-=
-+在),1[+∞上是减函数，求实数的取值范围； （Ⅲ)证明不等式：
<+12n n )1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n n
n 1312112+++++< .
（请考生在第22、23、题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分给分） 22. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=,直线l 的参数方程为
1cos sin x t y t α
α=-+⎧⎨=⎩
（为参数,为直线的倾斜角）．
（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 有唯一的公共点,求角的大小． 23. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲 已知0,0m n >>，n x m x x f -++=2)(． （1）求)(x f 的最小值；
（2）若)(x f 的最小值为，求4
22
n m +的最小值．
四川省江油中学2016级高三第二次月考
试题（答案）
AADAD BCABD BD
13. -31+∞∞（，】【，）
14.1
2
15. .2 16.1008
17.解：（1）依题意得，1、3是方程20ax x c ++=的两根，且0a <，．．．．．．．．．．．1分
所以，011313a a c a ⎧
⎪<⎪⎪+=-⎨
⎪
⎪⨯=⎪⎩
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分解得14
34
a c ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分
（2）由（1）得13,44a c =-
=-，所以，2240ax x c ++>即为21
2304
x x -+->， 解得，26x <<，∴{}|26A x x =<<，8分
又30ax cm +<，即为0x m +>解得x m >-，∴{}|B x x m =>-，．．．．．．．．．．．．10分 ∵A B ⊂，∴{}{}|26|x x x x m <<⊂>-， m 的取值范围为2m ≥ 12分
.18. 解：(1) π=β2 37sin 2)tan(cos 2=α+=π+αα+=⋅b a 31
sin =∴α ------3分
α
-αβ+α-α∴
sin cos )(2sin cos 22=α-αα
-αsin cos 2sin cos 22=αcos 2=α-2sin 12=324 ---6分 （2）为锐角，
26
6
3π
π
πα<+
<
， 4
cos()65
πα+=， 3sin()65πα+=，24
sin(2)2sin()cos()36625
πππααα+=++=，---8分
227
cos(2)cos ()sin ()36625
πππααα+=+-+=，---10分
sin(2)sin(2)sin(2)cos cos(2)sin 12
34343450
π
π
πππππαααα+
=+
-=+-+=
12分 19.解：（1
sin cos 0B b A -=
sin cos B b A =，
sin sin cos A B B A =．．．2分又0B π<<，sin 0B ≠
cos A A =，
即tan A =
4又0A π<<，∴6A π=．．．．．．．．．．．．6分
（2）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即221
cos 62b c bc
π+-=，
221b c +=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()2
222b c b c bc +=+-
()2
12b c bc +=+-，∴
bc =
8分
∵2
2b c bc +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭
()2
4b c +≤，当且仅当
b c =
时取等号成立， 解得(
)(
2
2
428b c +≤+=+
=，
∴b c +≤
+b
c =时取等号），．．11
分∴1a b c ++≤+（当且仅当b c =时
取等号）
，∴ABC ∆
周长的最大值为1++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
20.解：（1）当1a =-时，
21()2ln 32f x x x x =+-，2'()3f x x x =+-232(1)(2)
x x x x x x
-+--==
， 当01x <<或2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增；当12x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减， 所以1x =时，5
()(1)2
f x f ==-
极大值；2x =时，()(2)2ln 24f x f ==-极小值．（6分） （2）假设存在实数，对任意的，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有
()()
f m f n a m n
->-恒成立，不妨设0m n >>，
则由
()()
f m f n a m n
->-恒成立（8分）可得：()()f m am f n an ->-恒成立，令()()g x f x ax =-，则()
g x 在(0,)+∞上单调递增，所以'()0g x ≥恒成立，即'()0f x a -≥恒成立，（10分）所以
2(2)0a x a a x -+--≥，即2220x x a x
--≥恒成立，又0x >，所以2220x x a --≥在0x >时恒成立，
所以2
min
11(2)2
2a x x ⎡⎤
≤-=-⎢⎥
⎣⎦，所以当12a ≤-时，对任意的、(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有
()()
f m f n a m n
->-恒成立(12分)
20. 解：（Ⅰ）由已知 且x x f 1)(=
' a f 2
1
1)1(=='∴ 得：2=a ---------------2分
又b a g +==2
1
0)1( 1-=b 1)(-=x x g ----------------3分 （Ⅱ）(1)()()1m x x f x x ϕ-=
-+(1)
ln 1
m x x x --+在),1[+∞上是减函数， 0)1(1
)22()(2
2≤+--+-=
ϕ'∴x x x m x x 在),1[+∞上恒成立. --------------5分
即01)22(2≥+--x m x 在),1[+∞上恒成立，由x
x m 1
22+≤-，),1[+∞∈x ),2[1
+∞∈+
x
x 222≤-∴m 得2≤m -------------6分 （Ⅲ)由（Ⅰ）可得：当2≥x 时：)1(2
1ln -≤
-<x x
x x )1(21ln -<
∴x x x 得：x x x ln 1)1(2<- x
x x ln 1)111(2<--∴ --------------8分 当2=x 时：2ln 1)2111(2<- 当3=x 时：3ln 1)3121(2<- 当4=x 时：4
ln 1
)4131(2<-
…… 当1+=n x 时：)
1ln(1
)111(2+<+-n n n ，2,≥∈+n N n
上述不等式相加得：<+-)1
1
1(2n )1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n 即：
<+12n n
)1ln(14
ln 13ln 12ln 1+++++n ① ---------------9分
由（Ⅱ）可得：当2=m 时：)(x ϕx x x ln 1
)
1(2-+-在),1[+∞上是减函数 当1>x 时：0)1()(=ϕ<ϕx 即
x x x ln 1)1(2-+-0<所以1)1(2ln +->x x x 从而得到：1
1
21ln 1-+⋅<x x x --------------11分
当2=x 时：
13212ln 1⋅< 当3=x 时：24213ln 1⋅< 当4=x 时：3
5
214ln 1⋅< 当1+=n x 时：
n
n n 2
21)1ln(1+⋅<+，2,≥∈+n N n
上述不等式相加得：)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n )2352413(21n
n +++++< )2
322212(21n
n +++++=
n n 1312112+++++=
即
)1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n n
n 1312112+++++< ②
综上：
<+12n n )1ln(14ln 13ln 12ln 1+++++n n
n 1312112+++++< （2,≥∈+n N n
22. 【解析】（1）当2
π
α=时,直线l 的普通方程为1x =-；
当2
π
α≠
时,直线l 的普通方程为)1(tan +=x y α. …2分由θρcos 2=,得θρρcos 22=,所以曲线C
的直角坐标方程是0222=-+x y x .5分
（2）把1cos x t α=-+,sin y t a =代入222x y x +=,整理得24cos 30t t a -+=.
由012cos 162=-=∆α,得2
3cos 4=
a ,
所以cos =a
cos =a -故直线l 倾斜角为
6
π或56π
. …….10分
23. 【解析】（1）∵⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
≥-+<<-++--≤+--=2,32,,3)(n x n m x n x m n m x m x n m x x f ，∴)(x f 在)2,(n -∞是减函数，在),2(+∞n 是增函
数．∴当2n x =
时，)(x f 取最小值2
)2(n
m n f +=． ………………….5分 （2）由（1）知，)(x f 的最小值为2n m +
，∴22
=+n
m ．∵+∈R n m ,， 2)4(21)4(221)4(22222
=+≥+⋅=+n m n m n m ，
当且仅当2n m =，即2,1==n m 时，取等号，∴)4
(422
n m +的最小值为． ………………………………………。