激光物理5-6.1 密度矩阵

令γa=γb=γ
′ C a 0 (t ) = C a 0 (t )e
− t 2
γ
(5.5.4） (5.5.5）
′ Cb 0 (t ) = Cb 0 (t )e • 将（5.5.3）两端微分，有 ）两端微分，
− t 2
γ
ɺɺ (t ) = iE 0 D C (t )e − i (ω 0 −ω )t ɺ ɺ Cb0 a0 2ℏ γb ɺ iE 0 D − i (ω 0 − ω ) C a 0 (t ) − C b 0 (t ) 2ℏ 2
E0 D Pa (t ) = ℏµ
2
sin (
2
µt
2
)
在强信号作用下，初始时刻处于 态的原子 态的原子， 在强信号作用下，初始时刻处于b态的原子， 跃迁到b能态的几率是等幅周期性变化的 能态的几率是等幅周期性变化的。 跃迁到 能态的几率是等幅周期性变化的。 如图（ ） 如图（5-3）
E0 D µ = (ω0 − ω ) + ℏ
n
(5.1.15)
5.2 电偶极矩近似
5.2.1 量子电偶极矩 • 量子力学中的电偶极矩算符为
P = eR
（5.2.2）
• 若外界的扰动使电子处在两个能量本征态 ua 与ub 的叠加态， 的叠加态，那么原子的波矢可以表示为
ϕ(t ) = Ca0e
iE t − a ℏ
ua + Cb0e
iE t − b ℏ
+
(5.1.2)
定义:
ϕ(t ) ψ (t ) = ∫ ϕ (t ) ψ (t )dV (5.1.3) V
*
算符A作用于波矢 un 的结果为 算符 作用于波矢
A un = an un
(5.1.5)
• 本征波矢 un 满足完备正交归一化条件 当使用该组 满足完备正交归一化条件;当使用该组 作为基矢时， 本征波矢 作为基矢时，波函数按基矢展开
其中：
（5.6.5） ） （5.2.19） ） 5.2.27
1 2 H0 = P +V 2m
ˆ H ′ = − P ⋅ E = −eR ⋅ E (t )
5.4、单色场对有衰减的 二能 级原子系统的作用
•原子总存在自发辐射，其它能级对两能级之间可能 原子总存在自发辐射， 原子总存在自发辐射 存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。 存在的跃迁，杂散辐射等。使原子的能量衰减。波函 数
2
2
拉比频率 (5.5.13）
• 强信号下的线性函数
g(ω) =
(ω0 −ω) + (DE0 ℏ) +γ 2
2 2
γ π
(5.5.15）
线宽
∆ω = 2 γ + (E0 D ℏ )
2
2
(5.5.16）
功率加宽
第6章 密度矩阵与自洽场理论
量子统计系综和力学量的平均值
• 每一个原子可看做一个系统，大量全同系统组成 每一个原子可看做一个系统， 一个系综。 一个系综。 • 纯粹系综：系综内的系统处于用波函数ψ所描述 纯粹系综：系综内的系统处于用波函数ψ 的相同的微观态。 的相同的微观态。 • 混合系综：系综内的系统不是处于相同的微观态。 混合系综：系综内的系统不是处于相同的微观态。 • 对于纯粹系综，力学量A的平均值为： 对于纯粹系综，力学量 的平均值为 的平均值为：
原子的哈密顿算符
ˆ = H + H ′ − iℏ Γ H ˆ0 2
• 将 ϕ(t ) 及哈密顿算符 的表达式代入到薛定 及哈密顿算符H的表达式代入到薛定 谔方程中， 谔方程中，得到二能级原子系统的薛定谔方 程
ɺ (t ) = − i ℏ γ a C (t ) + H ′ e iω 0 t C (t ) iℏ C a 0 a0 ab b0 (5.4.21） 2 ɺ (t ) = − i ℏ γ b C (t ) + H ′ e − iω 0 t C (t ) iℏ C b 0 b0 ba a0 2
• 推导激光的电磁场方程，又称兰姆自洽场方程 推导激光的电磁场方程， • 求解兰姆方程，必须知道介质的宏观极化强度。 求解兰姆方程，必须知道介质的宏观极化强度。 • 由于工作物质是由大量的、处于不同运动状态 由于工作物质是由大量的、 前粒子所组成．所以在求宏观极化强度时， 前粒子所组成．所以在求宏观极化强度时，要 采用量子统计中的密度矩阵方法。 采用量子统计中的密度矩阵方法。 • 5、6章给出密度矩阵的定义、性质及运动方程， 、 章给出密度矩阵的定义 性质及运动方程， 章给出密度矩阵的定义、 并给出二能级系统的密度矩阵及其同介质宏观 极化强度之间的关系。 极化强度之间的关系。
第5章 半经典理论
• 将激光场视为满足麦克斯韦方程组的经典电 磁波场， 磁波场，而将介质原子看做用薛定谔方程描 述的量子力学体系． 述的量子力学体系． • 半经典理论比较好地解释激光器中的一系列 现象，如振荡的阈值条件、增益饱和、 现象，如振荡的阈值条件、增益饱和、烧孔 效应、频率牵引和推斥效应、 效应、频率牵引和推斥效应、多模耦合与竟 争效应、锁模现象、瞬态相干效应等。 争效应、锁模现象、瞬态相干效应等。 • 不能描述与激光场量子特性有关的一些现象， 不能描述与激光场量子特性有关的一些现象， 如自发辐射的产生、光子统计、激光的线宽 如自发辐射的产生、光子统计、 极限等间题。 极限等间题。
5.5 拉比强信号解
ɺ (t ) = iE 0 D C (t )e i (ω 0 − ω )t − γ a C (t ) Ca0 b0 a0 2ℏ 2 ɺ (t ) = iE 0 D C (t )e − i (ω 0 −ω )t − γ b C (t ) Cb0 a0 b0 2ℏ 2ℏ 2
(5.5.2） (5.5.3）
b0
• 将 （ 5.5.4 ） （ 5.5.5 ） 、 （ 5.5.6 ） 代 入 （5.5.3），有 ） γ γ iµt − t iµt − t 1 γ 2 = − γe 2 iµ − e
2 2 iE0D ′ + Cao (t )e e−i(ω0 −ω)t 2ℏ 2ℏ • 其解为： C a 0 (t ) = 其解为： ′ µ e i (ω 0 − ω + µ )t E0D
ϕ(t ) = ∑Cn un
Cn = un ϕ(t )
归一化条件 本征值a 本征值 n的 几率为 则测量平 均值<A>) 均值
n
(5.1.8) (5.1.9)
2
ϕ(t ) ϕ(t ) = ∑Cn =1
n
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(5.1.13)
2
P(an ) = un ϕ(t )
2
= Cn
(5.1.12)
A = ∑P(an )an = ϕ(t ) A ϕ(t )
− t 2
γ
• （5.5.4）~（5.5.6）以及上式代入（5.5.2）， ） （ ）以及上式代入（ ）， 得到
2ℏ iDE 0 i (ω 0 − ω + µ )t i (ω 0 − ω + µ )t i µ (ω 0 − ω + µ )e = e E0 D 2ℏ
1 DE0 µ = ℏ ω0 − ω + µ
iD 0 2(ω0 −ω)t E i µt = e sin µℏ 2
(5.5.12） ）
E 0 D −γ t 2 µt Pa (t ) = C a 0 (t ) = e sin ℏµ 2 (5.5.13） 这就是拉比强信号解的结果
2
2
E0D P (t ) = a ℏ
2
e
−γ t
* Pz = D Cb0 (t )Ca0 (t )eiω0t + c.c b * a
[ = D[C (t )C (t ) + c.c]
]
(5.2.10)
5.2.2 电偶极矩近似
当外场与原子相互作用时， 当外场与原子相互作用时，原子系统的哈密顿算 符将发生改变。 符将发生改变。为
H = H0 + H′
ϕ = Ca (t ) ua + Cb (t ) ub
−i Ea γ t − at ℏ 2
0
5.2.4
其中： 其中： C
a
(t) = Ca e
e
Cb (t ) = Cb0 e
Γub = γ b u b
−i
Eb γ t − bt ℏ 2
e
衰减算符 Γ 满足
6.2.14 5.4.19 5.4.20
Γu a = γ a u a
+ Ca0 (t )C ub eZ ua e
* b0
i( Eb −Ea )t ℏ
(5.2.5)
• 注意能级波函数具有奇偶性 注意固有偶 注意能级波函数具有奇偶性,注意固有偶 极矩的矩阵元为零及
Daa,bb = ua eZ ua = ua eZ ua = 0
(5.2.6) (5.2.7)
得到
Pz = C Cb0Dabe
t sin2 2
E0D 2 (ω −ω0 ) + ℏ
2
2

(ω −ω0 )2 + E0D
ℏ
(5.5.13）
• 跃迁几率的变化将包括在 跃迁几率的变化将包括在exp(-γt)指数衰减曲 γ 指数衰减曲 线包络内。如图（ ） 线包络内。如图（5-4） 无阻尼的情况
(
)
)
i E 2ℏ i(ω0 −ω)t 1 D 0 2(ω−ω0 )t e = e − e−iµt / 2 + eiµt / 2 E0D 4µ ℏ
2
(
初始时刻原子处于下能态b态，在辐射场的作用 初始时刻原子处于下能态 态 下，t时刻已跃迁到上能态 能态的几率为： 时刻已跃迁到上能态a能态的几率为： 时刻已跃迁到上能态 能态的几率为
5.1 量子力学的基本概念 • 若矢量波函数 ϕ(t )是二维的 则右矢表示为 是二维的,则右矢表示为
ϕ(t ) = Ca ua + Cb ub
ϕ(t ) = C ua + C ub = [ ϕ(t ) ]
* a * b
(5.1.1)
u 是矢量空间的一组基矢,左矢表示为 • ua 、b 是矢量空间的一组基矢 左矢表示为
• 将（5.5.2）（5.5.4）、（5.5.5）代入，有 ） ） ）代入，
ɺɺ′ (t ) + [i (ω − ω ) + γ ]C ′ (t ) + E 0 D C ′ (t ) = 0 ɺ Cb0 b0 b0 0 2ℏ
2
• 一个二阶常数系数齐次微分方程，它有eiµt 一个二阶常数系数齐次微分方程，它有 这种形式的 解。令 (5.5.6） C ′ (t ) = eiµt
2
(5.5.7） ）
• 其解为
µ1,2
1 = (ω − ω0 ) ± 2
(ω − ω0 )
2
DE0 − ℏ
2

(5.5.8） ）
可将C’a0(t)与C’bo(t)的通解表示为：
2 ℏ i (ω 0 − ω )t i µ 1t iµ 2 t ′ 0 (t ) = Ca e A µ 1e + B µ 2 e E0 D
(5.5.9） ）
Aµ1 + Bµ2 = 0 µ2 µ1 A与B的 解为： = − A B= µ µ (5.5.10） A+ B =1
其中： µ = µ1 − µ2 =
(ω −ω0 )
2
DE0 + ℏ
2
(5.5.11） ）
2ℏ i(ω0 −ω)t µ1µ2 ′ Ca0 (t ) = e − eiµ1t + eiµ2t E0D µ
* a0
iω0t
+ Ca0C Dbae
* b0
−iω0t
Ea − Eb 原子在a 能级间的跃迁频率； 式中ω0 = 原子在 、b能级间的跃迁频率；而 能级间的跃迁频率 ℏ * Dab ( z) = ua eZ ub = Dba (5.2.8)
若适当选取u 的相位， 为实数， 若适当选取 a和ub的相位，使Dab为实数，这样 就有D 将此结果代入式（ 就有 ab=D*ba=D。将此结果代入式（5.2.7)， ， 得到
ub
(5.2.4)
• 若考虑 方向的线偏振光与物质相互作用时 若考虑z方向的线偏振光与物质相互作用时
Pz = eZ
• 电偶极矩的期待值为
P = ϕ eZ ϕ = Ca0 (t ) ua eZ ua + Cb0 (t ) ub eZ ub z
2 2 * + Ca0 (t )Cb0 (t ) ua eZ ub e i( E −E )t − b a ℏ
(
)
′ Cbo (t ) = Ae
iµ1 t
+ Be
iµ 2 t
2ℏ i(ω0 −ω)t iµ1t iµ2t ′ 0 (t ) = Ca e Aµ1e + Bµ2e E0D
(
)
′ Cbo (t ) = Ae
iµ1 t
+ Be
iµ2t
• 假定初始时刻原子处于 态 假定初始时刻原子处于b态 得到
′ Ca0 (0) = 0 ′ Cb0 (0) =1