江西省南昌市2023届高三上学期摸底测试(零模)数学(文)试题

对于D选项， ，
故函数 是奇函数，D错.
故选：C.
二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若函数 在 时取得极值，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，由题意令导数等于0，求得a的值，验证确定答案.
【详解】由 可得 ，
函数 在 时取得极值，故 ，
解得 ，
当 时， ，
当 时， ，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求出小圆的半径 ，由 平面 ，结合勾股定理，可求得球 的半径，计算其表面积得答案.
【详解】因为 ，所以 是正三角形， 是其外接圆圆心，所以 的外接圆半径 ，球 的半径 ，所以球 的表面积为 .
故选：B.
7.若直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，则 （）
2023届高三摸底测试卷
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，再求 即可.
【详解】∵ ，
所以 .
故选：B.
2.复数 的虚部是（）
A. B. C. D.
（1）求 ；
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
事件B的发生分三种情况：①第一次抛3，4，第二次抛3，4；②第一次抛1，2，第二次抛5，6；③第一次抛5，6，第二次抛1，2；可用独立事件的概率乘法公式求解，也可用列举法套用古典概型的概率公式求解；
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式化简计算.
【详解】由已知得 ， ， ，
所以 ，
故选：B.
10.设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则一定有（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象平移变换与奇偶性，可得函数 对称性，可得答案.
【详解】 图象向右平移2个单位，可得 的图象，且 是奇函数，
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程，曲线 的直角坐标方程；
即在 时，函数取得极值，
故 ，
故答案为：
14.执行如下程序框图，输出 的值为_____.
【答案】5
【解析】
【分析】模拟运行循环体即可求解.
【详解】第一次循环： ，不满足 ，
第二次循环： ，不满足 ，
第三次循环： ，满足 ，此时输出 ，
故答案为：5
15.某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是7，8，9，10，11，12，12，12，13，14，则这组数据的方差为_____.（参考数据：这组数据的平方和为1212）
【小问1详解】
抛掷一次骰子，出现的点数有1，2，3，4，5，6共6种等可能结果，
事件 包含3，4两种结果，所以 ；
【小问2详解】
抛一次骰子，记点数为1，2是 ，点数为3，4是 ，点数为5，6是 ，
抛一次骰子， ， ， 等可能发生，
抛两次骰子所有可能结果有 ， ， ， ， ， ， ， ， 9种可能情况，其中到达2号格有 ， ， 三种结果，所以 .
在直角 中，可得 ，
同理可得 ，所以 ，
由（1）知， 平面 ，可得 平面 ，
所以 .
20.已知函数 .
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）讨论函数 的单调性.
【答案】（1）极小值为 ，无极大值;
（2）当 时， 在 上单调递增；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【解析】
【分析】(1)根据题意求得 ，分 和 讨论 的正负，从而确定函数 的单调区间和极值；
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则即可得到结果
【详解】
所以虚部为
故选：A
3.抛物线 的焦点到准线的距离为（）
A.4B.2C.1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用抛物线的标准方程可得 ，由焦点到准线的距离为 ，从而得到结果.
【详解】抛物线 的焦点到准线的距离为 ，由抛物线标准方程 可得 ，
故选：C.
17.已知公差大于0的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用等比中项的概念及等差数列基本量的运算即得；
（2）利用等比数列求和公式即得.
【小问1详解】
设公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，则 ，
(2)求导得 ，令 ，对 求导，当 时，通过对 的正负判断，从而得 的正负及 的单调区间；当 时，求得 ，从而分 和 讨论 的正负，从而确定函数 的单调区间即可.
【小问1详解】
解： 时， ，
，
当 时， ， ，所以 ，即 在 上单调递增，
当 时， ， ，所以 ，即 在 上单调递减，
则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
A. B.4C. D.－4
【答案】D
【解析】
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求出 ，然后利用向量的数量积的定义及几何意义可求得结果.
【详解】由题意得圆 的圆心 到直线 的距离为
，
所以 ，所以 ，
所以
，
故选：D
8.如图，正四棱台 中，点 分别是棱 的中点，则下列判断中，不正确的是（）
19.如图，桌面上摆放了两个相同的正四面体 和 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求四面体 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 与 相交于点 ，证得 为 的中点，连接 ， ，利用线面垂直的判定定理证得 平面 ，即可得到 ；
（2）过点 分别作 ，得到 分别为 和 的中心，分别求得 的长度，结合 平面 ，及 ，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，
因为函数 在 处附近单调递增，所以， ，
，
因为 ，则 ，
因为函数 在 处附近单调递减，且 在 时在 处第一次取值为 ，
所以， ，可得 ，
.
对于A选项，函数 的最小正周期为 ，A错；
对于B选项， ，
所以， 不是函数 的最大值，B错；
对于C选项，当 时， ，
由 可得 ，可得 ，
所以，函数 在区间 上恰好有三个零点，C对；
A. 共面B. 平面 C. 平面 D. 平面
【答案】C
【解析】
【分析】根据正棱台的概念及正棱锥的性质结合条件逐项分析即得.
【详解】延长正四棱台 的侧棱相交于 ，
则三棱锥 为正四棱锥，
连接 ， 都在平面 内，故A正确；
因为 分别是棱 的中点，
所以 ，由正棱锥的性质可知 ，
所以 ，即 平面 ，故B正确；
即 ，即 ，
解得 或 （舍），
所以 ；
【小问2详解】
由题可知 ， ， ，
所以 是以4为首项，4为公比 等比数列，
所以 .
18.如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格，抛掷一个质地均匀的骰子，若拋出的点数为1，2，飞机在原地不动；若抛出的点数为3，4，飞机向前移一格；若抛出的点数为5，6，飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件 .记抛两次骰子后，飞机到达2号格为事件 .
【小问1详解】
证明：因为 与 共面，所以连接 与 相交于点 ，
因为 和 是相同的正四面体，所以四边形 为菱形，则 为 的中点，
连接 ， ，因 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，所以 ；
【小问2详解】
解：在四边形 中，过点 分别作 ，垂足分别为 ，
如图所示，可得 分别为等边 和等边 的中心，
因为 ，在等边 中，可得 ，则 ， ，
的图象关于点 成中心对称， ，
图象向右平移1个单位，可得 的图象，且 是偶函数，
的图象关于直线 成轴对称，
由对称性，对称轴直线 关于 成中心对称的直线为 ，
对称中心 关于直线 成轴对称的点为 ，即 .
故选：A.
11.若 ，则 的最小值为（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
【分析】求解定义域，确定 ，用 的表达式表示 ，最终化简得到 ，结合 ，求出最小值.
（2）设曲线 的交点为 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）16
【解析】
【分析】（1）消参可得曲线 的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化可得 的直角坐标方程；
（2）根据极坐标的几何意义，将曲线 化成极坐标 ，再分别代入 和 到 的极坐标方程求解即可.
21.已知 ， 是椭圆 的两个顶点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， ，与直线 交于点 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆顶点坐标直接可得椭圆方程；
（2）设直线方程，可得点 ，联立直线与椭圆结合韦达定理，再根据两点间距离化简可得解.
【小问1详解】
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由 可得 ，
由已知 且 ，若 ，则 ，所以， ，则 ，矛盾.
若 ，则 ，从而 ，合乎题意.
综上所述，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
6.已知点 是球 的小圆 上的三点，若 ，则球 的表面积为（）
【答案】4.56##
【解析】
【分析】将方差公式展开整理，代入相关数据计算，可得答案.
【详解】由题意得 ，
根据方差公式 ，
可得 ，
故答案为：4.56
16.已知 为正交基底，且 ， 分别为 的中点，若 ，则 的最小值为_____.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由 为正交基底，且 ，结合向量的线性运算和数量积运算可得 ，再由 分别为 的中点，可得 ，再利用基本不等式可求得其最小值.
因为点 分别是棱 的中点，
所以 ， ，
设 ，则 平面 ， 平面 ，
∴ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，显然平面 与平面 不平行，故C错误；
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故D正确.
故选：C.
9.冬残奥会闭幕式上，中国式浪漫再现，天干地支时辰钟表盘再现，由定音鼓构成的“表盘”形象上， 名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈 个时间刻度的行进轨迹．若以图中 点与圆心连线为始边，某时刻指向第 ， ， 名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为 ，则 的值为（）
4.若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为（）
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】
【分析】作出可行域，由 可得 ，根据数形结合求最值即可.
【详解】作出可行域，如图，
由 可得 ，根据截距的几何意义可知，
故当 过点A时， 有最大值，
由 解得 ，即 ，
所以 .
故选：D
5.“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
由 ， 是椭圆 的两个顶点，
得 ， ，
即 ；
【小问2详解】
当直线 的斜率不存在时，直线 与椭圆有且只有一个公共点，不成立，
所以设 ， ， ，直线 的斜率为 ，
则 ，
同理 ， ，则 ．
设 ： ，而 ： ，联立解得 ，
所以 ；
联立直线 与椭圆 方程，消去 得： ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
即 ．
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
【详解】 可知： ，解得： ，
两边平方得： ，
其中 ，解得： 或 ，
综上： ，
，
因为 ，所以 ，
所以原式 .
故选：D
12.已知函数 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）
A.函数 的周期为
B.对任意的 ，都有
C.函数 在区间 上恰好有三个零点
D.函数 偶函数
【答案】C
【解析】
【分析】利用图象求出函数 的解析式，利用正弦型函数的周期性可判断A选项；利用正弦型函数的最值可判断B选项；在 时，解方程 可判断C选项；利用正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
所以函数 的极小值为 ，无极大值.
【小问2详解】
解：因为 ，
令 ，
则 ，
（i）当 时， ， 在 上单调递增，则 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；
（ii）当 时， ，
当 时， ， ， ，即 在 上递增，
当 时， ， ， ，即 在 上递减.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【详解】因为 为正交基底，所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 分别为 的中点， ，
所以
，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.