高二数学用圆锥曲线的定义解题人教版知识精讲

高二数学用圆锥曲线的定义解题人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
专题讲座
《利用圆锥曲线的定义解题》
二. 复习：
椭圆、双曲线、抛物线、圆锥曲线的统一定义。

1. 椭圆的第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a(a>0)，（2a>|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。

注：
（1）2a>|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；
（2）2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段；
（3）2a<|F1F2|时，动点无轨迹。

2. 椭圆的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（0<e<1）的点的轨迹叫椭圆。

定点是椭圆的焦点。

定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率。

3. 双曲线的第一定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数2a（2a<|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。

注：
（1）2a<|F1F2|时，动点的轨迹是双曲线；
（2）2a=|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
（3）2a>|F1F2|时，动点无轨迹。

4. 双曲线的第二定义：
平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹叫双曲线。

定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。

5. 抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线。

（要求定点F不在定直线l上）。

6. 圆锥曲线的统一定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离之比等于常数e的动点的轨迹。

（1）当0<e<1时，表示椭圆；
（2）当e=1时，表示抛物线；
（3）当e>1时，表示双曲线。

这三种曲线合在一起，称为圆锥曲线。

三. 典型例题分析：
例1. 选择题
（）
A. 10
B. 12
C. 20
D. 16
（）
=6，设F2是右焦点，则△ABF2的周长为（）
A. 16
B. 22
C. 28
D. 32
△F1PF2的面积为（）
5. 动点P到点A（0，2）的距离比到直线l：y=-4的距离小2，则动点P的轨迹方程是（）
A. y2=4x
B. y2=8x
C. x2=4y
D. x2=8y
6. 若抛物线y2=2px（p>0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则三点对应的焦半径的关系是（）
A. 成等比数列；
B. 成等差数列；
C. 成常数列；
D. 以上均不对。

解1：结合椭圆的图形可知，△ABF2的周长应等于4a
∴选C。

解2：先用椭圆的第二定义求出点P到左焦点的距离
∴|PF1|=2
再用椭圆的第一定义求点P到右焦点的距离
∴选（A）
解3：依题意：
|AF2|-|AF1|=2a （1）
|BF2|-|BF1|=2a （2）
（1）+（2）|AF2|+|BF2|=4a+|AB|
|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB|
∵a=4 ∴4a=16
∵|AB|=6 ∴2|AB|=12
∴△ABF2的周长=16+12=28
∴选（C）
解4：设|PF1|=m，|PF2|=n
∴选（D）
解5：依题意：动点到点A（0，2）的距离比到直线y=-4的距离小2，因此，动点到定点A（0，2）的距离与到定直线y=-2的距离相等，由抛物线定义知，动点P的轨迹是顶点在原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线。

∴选（D）
解6：设P1（x1，y1）
P2（x2，y2），P3（x3，y3）
∴三个焦半径成等差数列
∴选（B）
例2. 设动圆M与圆C：(x+4)2+y2=100相内切，且过点A（4，0），求这个动圆圆心M的轨迹方程。

解：设：动圆圆心M（x，y），切点为P
则：C、M、P三点共线
由椭圆的第一定义知，动点M的轨迹是以定点C，A为焦点，中心在原点的椭圆。

例3. 已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

分析：解本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然要考虑圆心距与半径的关系。

解：设动圆圆心M（x，y），动圆M与C1、C2的切点分别为A、B
则：|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|
又∵|MA|=|MB|
∴|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2
即|MC2|-|MC1|=2，又∵|C1C2|=6
由双曲线定义知：动点M的轨迹是以C1、C2为焦点中心在原点的双曲线的左支。

∵2a=2，2c=6 ∴a=1，c=3
∴b2=8
说明：由于动点M到两定点C1、C2的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支。

例4. 已知△ABC的三边a,b,c（a>b>c）成等差数列，两顶点A、C的坐标分别为A（-1，0），C（1，0），求△ABC重心G的轨迹方程。

分析：把已知条件标在坐标系中，可知这是一个求双动点的轨迹方程的问题，即：应先求出动点B的轨迹方程，再求△ABC的重心G的轨迹方程，这样思路就清楚了。

解：∵△ABC的三边a,b,c成等差数列
∴2b=a+c
即2|AC|=|BA|+|BC|=4
由椭圆定义知：动点B的轨迹是以A、C为焦点，中心在原点的椭圆。

又∵a>b>c即|BC|>|AB|
∴是椭圆左半部分
∵2a=4，2c=2
∴a=2 c=1 ∴b2=3
设重心G（x，y），B（x1，y1）
∵G为△ABC的重心，
∴△ABC的重心G的轨迹方程为：
说明：这道题要把握好轨迹方程中的变量的允许值范围，要用好题目中的每一个条件。

【模拟试题】
1. 已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|-|MF2||=2a（a为常数）命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线；则甲是乙的（）
A. 充分不必要条件；
B. 必要不充分条件；
C. 充要条件；
D. 既不充分也不必要条件
2. 抛物线y2=2px的准线与对称轴相交于S点，PQ为抛物线的过焦点F且垂直于对称轴的弦，则∠PSQ=（）
3. 已知A（0，7），B（0，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B两点的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程。

【试题答案】
提示1：用甲和乙作两个互逆的命题，之后判断真假，再套充要条件定义知
选（B）
提示2：如图
解3：
设F（x，y）
则点F的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的下一支，2a=2，2c=14，∴a=1，c=7 ∴b2=48。