安徽省安庆一中2015-2016学年高二数学新课标人教A版选修2-2同步课件：2.3 数学归纳法

1 10 13
4. 13
第十七页，编辑于星期日：八点 二十七分。
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与 项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想
Sn
n. 3n 1
下面我们用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当n=1时，
左边
S1
1， 4
右边 n 1 1，
3n 1 31 1 4
猜想成立.
所以，当n=k+1时,猜想也成立. 根据(1)和(2)，可知猜想对任何n N*都成立.
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例3 求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
第二十页，编辑于星期日：八点 二十七分。
1.已知三角形内角和为180°，四边形的内角和为 360°，五边形的内角和为540°，于是有：凸n边 形的内角和为(n-2)·180°，若用数学归纳法证 明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则 第一个正整数取值为_______3___
2.3 数学归纳法
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我是 一毛
我是 二毛
我是 三毛
我不是 四 我猜毛 是毛：！ 小！四 明！
我是 谁？
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1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
（重点、难点）
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归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n 都成立.
两个步骤 一个结论 缺一不可
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2.应用数学归纳法要注意以下几点： （1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空 中楼阁，是不可靠的.
（2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步， 只能是不完全归纳法.
5.是否存在常数a、b,使得等式:
12 + 22 + … +
n2
= an2 + n
13 35
(2n -1)(2n +1) bn + 2
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探 求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正 整数n都成立.
解:令n=1,2,并整理得
探究点 数学归纳法的原理与定义
完全归纳法
问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？
把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.
问题2：对于数列an
,
若a1
1,
an1
an 1 an
.
（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？
（2）你的猜想一定是正确的吗？
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（3）n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可 取其他一些正整数. （4）第二步的证明必须利用归纳假设，否则不能称作 数学归纳法.
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如果我们有着快乐的思想，我们就会快乐； 如果我们有着凄惨的思想，我们就会凄惨.
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结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了
保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可 无.
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问题2：乙同学用数学归纳法证明
1 3 5 2n 1 n2
如采用下面证法，对吗？为什么？
证明：（1）当n 1时,左边 1 右边.
（2）假设当n k时，等式成立，即1 3 2k 1 k 2 .
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(2)假设n=k（k 1, k时, N） 猜想成立，即
11 1 1 4 4 7 710
（3k
1 2)(3k
1)
k 3k 1
那么
11 1 1 4 4 7 7 10
（3k
1 2)(3k
1)
（3k
1 1)(3k
4)
k
1
3k 2 4k 1
3k 1 (3k 1)(3k 4) (3k 1)(3k 4)
解: a1 1
a2
1 2
1 a3 3
1 a4 = 4
猜想数列的通项公式为：
Байду номын сангаасan
1 n
(n N*)
验证:
1 a5 = 5
1 a6 = 6
1 a7 = 7
1 a8 = 8
1 a9 = 9
•••
逐一验证，不可能！！！
不完全归纳法
从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法
k • (k 1) k 1
那么n=k+1时,
11 1
1
1• 2 2•3
k • (k 1) (k 1) (k 2)
k
1
k 1
k 1 (k 1) • (k 2) (k 1) 1
这就是说，当n=k+1时,命题也成立.
由 (1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确.
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正 上1解 述 3： 证 则明n没 2有kk用 11时到 ，n=kk命 1题 1成 立2k这一 1归纳 k假 1设2
1 3 即5 nk 1时(2等k 式1也) 成(立2k. 21)
根k据2 (1()2和k （12)）， k可知1等2 式对任何n N 都成立.
结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤 之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
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2.用数学归纳法证明 1 a a2 an1 1 an2 1 a
（a≠1），在验证n=1等式成立时 ，左边应取的项
是__1___a___a__2 .
3.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•…•(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式 为 [(k+1)+1]•[(k+1)+2]…[(k+1)+(k+1)] ， 共有 k+1 项，从k到k+1左边需要增乘的代 数式为____2_（__2_k__+_1_)___.
两个步骤
一个结论
缺一不可
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例1 用数学归纳法证明
12 22 32 • • • n2 n(n 1)(2n 1) (n∈ N *). 6
证明：（1）当n=1时，左边=12=1, 右边=1 等式成立
(2)假设当n=k( k N)*时等式成立,即
12 22 32 • • • k 2 k(k 1)(2k 1) .
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多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性
体现在哪些方面呢？
1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题.
2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的 情况.
上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设
第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下.
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那么,当n=k+1时
6
12 + 22 + 32 + • • • + k 2 + (k +1)2
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k(k +1)(2k +1) + 6(k +1)2 =
6
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(k +1)(2k 2 + 7k + 6) =
6
(k +1)(k + 2)(2k + 3) =
6 (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1] .
6 即当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任何 n∈ N *都成立.
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【总结提升】
问题1：甲同学猜想 1 3 5 2n 1 n2 1
用数学归纳法证明步骤如下： 证明：假设n=k时等式成立，即
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0
开始的所有正整数n都成立.
这种证明方法叫做数学归纳法.
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数学归纳法：
验证n=n0时 命题成立.
归纳奠基
若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立，证 明n=k+1时命题也成立.
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n 都成立.
4k + 6
4(k + 1)+ 2
故当n=k+1时,结论也正确.
知 结论正确 根据(1)、(2) ,对一切正整数n,
. 第二十五页，编辑于星期日：八点 二十七分。
1.数学归纳法的一般步骤：
验证n=n0时 命题成立.
归纳奠基
若n = k ( k ≥ n0) 时命题成立，证 明n=k+1时命题也成立.
4k + 2 (2k +1)(2k + 3)
2(2k +1)(2k + 3)
= (k +1)(2k2 + 3k + 2k + 2) = (k +1)(2k +1)(k + 2)
2(2k +1)(2k + 3)
2(2k +1)(2k + 3)
= k2 + 3k + 2 = (k + 1)2 +(k + 1).
能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立 ？
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多米诺骨牌
数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？
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数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立.
相当于多米诺骨牌开始倒的第一张. 数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立， 并证明当n=k+1时命题也成立. 相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒.
12 + 22 + … +
k2
= k2 + k .
13 35
(2k - 1)(2k + 1) 4k + 2
则当n=k+1时,
12 + 22 + … +
k2
+
(k + 1)2
13 35
(2k 1)(2k +1) (2k +1)(2k + 3)
= k2 + k +
(k + 1)2
= k(k + 1)(2k + 3)+ 2(k + 1)2
3a b 10a 3b
1 2
, 所以 ba
1 .
4
以下用数学归纳法证明:
12 22
n2
n2 n (n N *).
13 35
(2n 1)(2n 1) 4n 2
第二十四页，编辑于星期日：八点 二十七分。
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
(2)假设当n=k时结论正确,即:
第二十二页，编辑于星期日：八点 二十七分。
4.证明：1 1 1 n (n N *).
1• 2 2•3
n • (n 1) n 1
证明:
(1)当n=1时,左边=
1 1• 2
1 2
,
右边=
1 1 11 2
此时，原等式成立.
(2)假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即
1 1 1 k
1• 2 2•3
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k2 1
那么
1 3 5 (2k 1) (2k 1)
k 2 1 (2k 1) (k 1)2 1 即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 n N 均成立.
上述证法是正确的吗？为什么？
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上述证明是错误的,事实上命题 1 3 5 (2n 3) (2n 1) n2 1 本身是错误的 当n = 1时,左边 = 1,右边 = 0 左边 ≠ 右边
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例2
已知数列 1 ， 1
1 4 47
，
7
1 10
，…，
(3n
1 2)(3n
计1)算，S1…，，S2，S3，S4，根据计算结果，猜
想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.
解：
S1
1 1 4
1 4
;
S2
1 4
1 47
2 7
;
S3
2 7
1 7 10
3 10
;
S4
3 10
你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问
题2猜想的结论吗？
猜想数列的通项公式为 an
证明: (1)当 n = 1时, a1 =
(2) 假设当n k时, 猜想成立,
1. n1
1= 1
即ak
,
猜想成立.
1. k
1
那么,当
n = k +1时,
ak+1 =
ak 1+ ak
=
k 1
1+ k
=
1 k +1
即当n k 1时,猜想也成立.
根据(1)和(2)，猜想对于任何 n∈N *都成立.
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一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按
下列步骤进行：
1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立 . 2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成立，证 明当n=k+1时命题也成立.