[人教版]2022年山东省济宁市中考数学试卷及答案解析

[人教版]2022年山东省济宁市中考数学试卷及答案解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．（3分）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（）A．0.015B．0.016C．0.01D．0.02
2．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各式运算正确的是（）
A．﹣3（x﹣y）＝﹣3x+y B．x3•x2＝x6
C．（π﹣3.14）0＝1D．（x3）2＝x5
4．（3分）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
5．（3分）某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（）
A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降
B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
C．每月阅读课外书本数的众数是45
D．每月阅读课外书本数的中位数是58
6．（3分）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm/h，根据题意所列方程是（）
A．＝+1B．+1＝
C．＝+1D．+1＝
7．（3分）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
8．（3分）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（）
A．﹣4≤a＜﹣2B．﹣3＜a≤﹣2C．﹣3≤a≤﹣2D．﹣3≤a＜﹣2 9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）
A．297B．301C．303D．400
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．
12．（3分）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是．
13．（3分）已知直线y1＝x﹣1与y2＝kx+b相交于点（2，1）．请写出一个b值（写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2．
14．（3分）如图，A是双曲线y＝（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是．
15．（3分）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。

16．（6分）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．
17．（7分）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n 名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．学生成绩分布统计表
成绩/分组中值频率
780.05
75.5≤x＜
80.5
80.5≤x＜
83a
85.5
880.375
85.5≤x＜
90.5
90.5≤x＜
930.275
95.5
980.05
95.5≤x＜
100.5
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝，a＝；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
18．（7分）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E ，在上取点F ，使＝，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
19．（8分）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/
辆）运往B地的成本（元/
辆）
甲种161200900
乙种121000750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲
种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
20．（8分）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sin A＝，sin B＝
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
21．（9分）已知抛物线C1：y＝﹣（m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2（如图所示），抛物线C2与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC ＝OA时，求n的值；
（3）D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
22．（10分）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理
由．
2022年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．（3分）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（）A．0.015B．0.016C．0.01D．0.02
【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可．
【解答】解：0.0158≈0.016
故选：B．
【点评】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键．
2．（3分）如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据几何体的三视图判断即可．
【解答】解：几何体的主视图如下：
故选：A．
【点评】本题主要考查几何体的视图，熟练掌握主视图是从几何体的前面看是解题的关键．
3．（3分）下列各式运算正确的是（）
A．﹣3（x﹣y）＝﹣3x+y B．x3•x2＝x6
C．（π﹣3.14）0＝1D．（x3）2＝x5
【分析】利用去括号的法则，幂的运算性质和零指数幂的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵﹣3（x﹣y）＝﹣3x+3y
∴A选项的结论不正确
∵x3•x2＝x3+2＝x5
∴B选项的结论不正确
∵（π﹣3.14）0＝1
∴C选项的结论正确
∵（x3）2＝x6
∴D选项的结论不正确
故选：C．
【点评】本题主要考查了去括号的法则，幂的运算性质和零指数幂的意义，正确利用上述法则对每个选项作出判断是解题的关键．
4．（3分）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．5．（3分）某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（）
A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降
B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
C．每月阅读课外书本数的众数是45
D．每月阅读课外书本数的中位数是58
【分析】根据统计图的数据分别判断各个选项即可．
【解答】解：∵5月份阅读课外书的本书有所上升
故A选项不符合题意；
∵从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多50
故B选项不符合题意
∵每月阅读课外书本数的众数是58
故C选项不符合题意
∵每月阅读课外书本数的中位数是58
故D选项符合题意
故选：D．
【点评】本题主要考查折线统计图的知识，熟练根据折线统计图获取相应的数据是解题的关键．
6．（3分）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm/h，根据题意所列方程是（）
A．＝+1B．+1＝
C．＝+1D．+1＝
【分析】根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是（x+10）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合提速后可提前1小时到达目的地，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵这辆汽车比原计划每小时多行10km，且这辆汽车原计划的速度是xkm/h ∴这辆汽车提速后的速度是（x+10）km/h．
依题意得：＝+1
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（3分）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．
【解答】解：∵底面圆的直径为6cm
∴底面圆的半径为3cm
∴圆锥的侧面积＝×8×2π×3＝24πcm2．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（3分）若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是（）
A．﹣4≤a＜﹣2B．﹣3＜a≤﹣2C．﹣3≤a≤﹣2D．﹣3≤a＜﹣2【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：解不等式x﹣a＞0得：x＞a
解不等式7﹣2x＞5得：x＜1
∵关于x的不等式组仅有3个整数解
∴﹣3≤a＜﹣2
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）
A．B．C．D．
【分析】根据沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，得AD＝AB ＝2，∠B＝∠ADB，又再折叠纸片，使点C与点D重合，得CE＝DE，∠C＝∠CDE，即可得∠ADE＝90°，AD2+DE2＝AE2，设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，可得22+（3﹣x）2＝x2，即可解得AE＝．
【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处
∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB
∵折叠纸片，使点C与点D重合
∴CE＝DE，∠C＝∠CDE
∵∠BAC＝90°
∴∠B+∠C＝90°
∴∠ADB+∠CDE＝90°
∴∠ADE＝90°
∴AD2+DE2＝AE2
设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x
∴22+（3﹣x）2＝x2
解得x＝
∴AE＝
【点评】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程．
10．（3分）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（）
A．297B．301C．303D．400
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；
摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；
摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；
摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1
∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥3．
【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣3≥0
解得，x≥3；
故答案为：x≥3．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（3分）如图，直线l1，l2，l3被直线l4所截，若l1∥l2，l2∥l3，∠1＝126°32'，则∠2的度数是53°28'．
【分析】由平行线性质即可解答．
【解答】解：如图：
∵l1∥l2，l2∥l3
∴l1∥l3
∴∠1＝∠3＝126°32'
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣126°32'＝53°28'；
故答案为：53°28'．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行的传递性和平行线的性质．
13．（3分）已知直线y1＝x﹣1与y2＝kx+b相交于点（2，1）．请写出一个b值0（答案不唯一）（写出一个即可），使x＞2时，y1＞y2．
【分析】由题意可知，当b＞﹣1时满足题意，故b可以取0．
【解答】解：直线y1＝x﹣1与y2＝kx+b相交于点（2，1）．
∵x＞2时，y1＞y2．
∴b＞﹣1
故b可以取0
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足b＞﹣1．14．（3分）如图，A是双曲线y＝（x＞0）上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是4．
【分析】根据三角形的中心把三角形分成相等的两部分，得到S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S
，即可得到S△ABD＝S△OBD，由反比例函数系数k的几何意义即可求得结论．△OCB
【解答】解：∵点C是OA的中点
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB
∴S△ABD＝S△OBD
∵点B在双曲线y＝（x＞0）上，BD⊥y轴
∴S△OBD＝＝4
∴S△ABD＝4
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，证得S△ABD＝S△OBD 是解题的关键．
15．（3分）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是2a．
【分析】连接AB，作直径CE．连接DE，设AD交BC于点T．解直角三角形求出DE，CE，AB，AC，BC，再求出AT，DT，可得结论．
【解答】解：连接AB，作直径CE．连接DE，设AD交BC于点T．
∵∠ACB＝90°
∴AB是直径
∵EC是直径
∴∠CDE＝90°
∵∠CBD＝∠E
∴tan E＝tan∠CBD＝
∴＝
∴DE＝3a
∴EC＝AB＝＝＝a
∴AC＝BC＝AB＝a
∵∠CAT＝∠CBD
∴tan∠CAT＝tan∠CBD＝
∴CT＝a，BT＝a
∴AT ＝＝＝a
∵AB是直径
∴∠ADB＝90°
∵tan∠DBT ＝＝
∴DT ＝BT ＝a
∴AD＝AT+DT＝2a
故答案为：2a．
【点评】本题考查解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。

16．（6分）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．
【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
17．（7分）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n 名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．学生成绩分布统计表
成绩/分组中值频率
780.05
75.5≤x＜
80.5
80.5≤x＜83a
85.5
85.5≤x＜
880.375
90.5
930.275
90.5≤x＜
95.5
980.05
95.5≤x＜
100.5
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝40，a＝0.25；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【分析】（1）根据频率之和等于1，频数除以百分比等于总人数求解；
（2）先求频数，再补全频数分布直方图；
（3）用组中值代表数据求解；
（4）利用树状图求概率．
【解答】解：（1）a＝1﹣0.05﹣0.375﹣0.275﹣0.05＝0.25；
n＝2÷0.05＝40；
故答案为：40，0.25；
（2）分布图如图示：
（3）78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05＝88.125
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
（4）用a，b表示成绩在75.5≤x＜80.5的学生，用m，n成绩在95.5≤x＜100.5的学生，树状图如下：
选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率为：＝．
【点评】本题考查了频数分布表和频数分布直方图及概率，掌握各组人数、总人数与各组的百分数间关系是解决本题的关键．
18．（7分）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；
（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．
【解答】（1）证明：连接OF，如图：
∵＝
∴∠DOA＝∠FOD
∵OA＝OF，OD＝OD
∴△DAO≌△DFO（SAS）
∴∠DAO＝∠DFO
∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAO＝90°＝∠DFO
∴OF⊥DF
又OF是半圆O的半径
∴DF与半圆O相切；
（2）解：连接AF，如图：
∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF
∴DO⊥AF
∵AB为半圆直径
∴∠AFB＝90°
∴BF⊥AF
∴DO∥BF
∴∠AOD＝∠ABF
∵∠OAD＝∠AFB＝90°
∴△AOD∽△FBA
∴＝，即＝
∴DO ＝
在Rt△AOD中，AD ＝＝＝
∴矩形ABCD的面积为AD•AB ＝×10＝
答：矩形ABCD 的面积是．
【点评】本题考查四边形与圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
19．（8分）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型载重量（吨/辆）运往A地的成本（元/
辆）运往B地的成本（元/
辆）
甲种161200900
乙种121000750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【分析】（1）设甲种货车用了x辆，可得：16x+12（24﹣x）＝328，即可解得甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500②根据前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，可得4≤t≤10，由一次函数性质可得当t为4时，w最小，最小值是22700元．
【解答】解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆
根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328
解得x＝10
∴24﹣x＝24﹣10＝14
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：
w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
∴w与t之间的函数解析式是w＝50t+22500；
②∵
∴0≤t≤10
∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨
∴16t+12（12﹣t）≥160
解得t≥4
∴4≤t≤10
在w＝50t+22500中
∵50＞0
∴w随t的增大而增大
∴t＝4时，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元）
答：当t为4时，w最小，最小值是22700元．
【点评】本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
20．（8分）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sin A＝，sin B＝
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE＝c sin B，AE＝b sin∠BCA，CD＝a sin B，CD＝b sin∠BAC，从而得出结论；
解决问题：由拓展探究知代入计算即可．
【解答】解：拓展探究
如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E
在Rt△ABE中，sin B＝
同理：sin B＝
sin
sin
∴AE＝c sin B，AE＝b sin∠BCA，CD＝a sin B，CD＝b sin∠BAC
∴
∴；
解决问题
在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°
∵
∴
∴AB＝30
∴点A到点B的距离为30．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，对于锐角三角形，利用正弦的定义，得出
是解题的关键．
21．（9分）已知抛物线C1：y＝﹣（m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2（如图所示），抛物线C2与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC ＝OA时，求n的值；
（3）D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【分析】（1）根据抛物线与x轴有公共点，可得Δ≥0，从而求得m的值，进而求得抛物线对称轴，进一步得出结果；
（2）根据图象平移的特征可得出平移后抛物线的解析式，根据x＝0和y＝0可分别得出C点和A坐标，根据OC＝OA列出方程，进而求得结果；
（3）从而可得B点C点坐标，由抛物线的解析式可得出点D坐标和点E坐标，进而求得BE的解析式，从而得出点F坐标，进而得出CG＝EG＝DG＝FG＝1，进一步得出结论．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点
∴[﹣（m+1）]2﹣4×≥0
∴﹣（m﹣1）2≥0
∴m＝1
∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2
∵a＝﹣1＜0
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；、
（2）解：由题意得，抛物线C2的解析式为：y＝﹣（x+1﹣n）2+4
当x＝0时，y＝﹣（1﹣n）2+4
∴OC＝﹣（1﹣n）2+4
当y＝0时，﹣（x+1﹣n）2+4＝0
∴x1＝n+1，x2＝n﹣3
∵点A在B点右侧
∴OA＝n+1
由OC＝OA得
﹣（1﹣n）2+4＝n+1
∴n＝2或n＝﹣1（舍去）
∴n＝2；
（3）证明：由（2）可得
y＝﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0），C（0，3）
∴E（2，3），D（1，4）
设直线BE的解析式为：y＝kx+b
∴
∴
∴y＝x+1
∴当x＝1时，y＝1+1＝2
∴CG＝EG＝DG＝FG＝1
∴四边形CDEF是矩形
∵DF⊥CE
∴四边形CDEF是正方形．
【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，求一次函数的解析式，平移图象的特征，正方形判定等知识，解决问题的关键是平移前后抛物线的解析式之间的关系．22．（10分）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为（0，）或（0，2）；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理
由．
【分析】（1）分为点P在线段AB上和在BA的延长线两种情形．当点P在AB上时，AD ＝OD，通过解Rt△ACD求得结果；当点P在BA延长线上时，OD＝OA＝2，从而求得点D坐标；
（2）①设OD＝x，可证得△ACD∽△DOM，从而得出m和x之间二次函数关系式，进一步求得结果；
②作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，可证得AE＝OF，从而表示出FH和OH及DH，根据△DHF∽△DOM列出关于x的方程，进而求得x，进一步求得m 的值．
【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形
∴∠AOB＝60°
当点P在线段AB上时，AD＝OD
∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°
∵AC⊥y轴
∴∠CAO＝∠AOB＝60°
∴∠CAD＝∠ACO﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°
在Rt△AOC中
AC＝OC•tan∠AOC＝＝1，OA＝2AC＝2
在Rt△ACD中
AD＝＝
∴DO＝
∴D（0，）
当点P在BA的延长线上时，OD＝OA＝2
∴D（0，2）
故答案为：（0，）或（0，2）；
（2）①设OD＝x，则CD＝﹣x
∵∠ACD＝∠DOM＝90°
∴∠CAD+∠ADC＝90°
∵DM⊥AD
∴∠ADM＝90°
∴∠ADC+∠ODM＝90°
∴∠CAD＝∠ODM
∴△ACD∽△DOM
∴
∴＝
∴m＝x•（）＝﹣（x﹣）2+
∴当x＝时，m最大＝
∴当m最大＝时，D（0，）；
②如图
假设存在m，使BE＝BF
作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H ∵BE＝BF
∴GE＝GF
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝OB
∴AG＝OG
∴AG﹣GE＝OG﹣GF
即：AE＝OF
由①知：m＝x
∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90du3
∴四边形ACDQ是矩形
∴AQ＝CD＝﹣x
在Rt△AEQ中
AE＝＝＝
∴OF＝AE＝
在Rt△OFH中
HF＝＝，OH＝OF＝﹣x
∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（﹣x）
∵HF∥OM
∴△DHF∽△DOM
∴，
∴＝
∴x＝
∴m＝＝2﹣＝．
【点评】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握“一线三直角”等模型．。