四川省棠湖中学高二上学期开学考试数学(文)试题

四川省棠湖中学高二上学期开学考试数学（文）试题
一、单选题
1．0sin300=（ ）
A ．
12
B ．
12
C D 【答案】C
【解析】三角函数值的求法，通过加减周期化简为(,)ππ-，再利用奇偶性化简到(0,)π，再求值。

【详解】
000036s 0))in300sin(300sin(60sin60-︒==-==- 【点睛】
三角函数值的求法，通过加减周期化简为(,)ππ-，再利用奇偶性化简到(0,)π，再求值。

2．在ABC ∆中，::3:5:7a b c =， 则这个三角形的最大内角为（ ） A ．30o B ．90o
C ．120o
D ．60o
【答案】C
【解析】试题分析：设三角形三边为3．5．7，所以最大角θ满足
2223571
cos 1202352
θθ+-==-∴=⨯⨯o
【考点】余弦定理解三角形
3．已知数列{n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a ＝1，那么10a ＝( ) A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
【答案】A
【解析】a 10＝S 10－S 9＝(S 1＋S 9)－S 9＝S 1＝a 1＝1，故选A.
4．设向量(0,2),(3,1)a b ==r r ，则,a b r
r 的夹角等于（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】A
【解析】试题分析：∵(0,2),(3,1)a b ==r r
，∴
03211cos ,222a b a b a b ⋅⨯+⨯===⨯⋅r r r r r r ，∴,a b r r 的夹角等于3
π，故选A
【考点】本题考查了数量积的坐标运算
点评：熟练运用数量积的概念及坐标运算求解夹角问题是解决此类问题的关键，属基础题
5．在等比数列中，，
，则公比q 是
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】A
【解析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，计算即可得答案．
【详解】
解：根据题意，等比数列中，
，
，
则，
则
；
故选：A ． 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式．
6．张丘建算经卷上有“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，
而且每天增加的数量相同已知第一天织布6尺，30天共织布540尺，则该女子织布每天增加 A.尺 B.尺
C.尺
D.尺
【答案】C
【解析】利用数学文化知识，首先判定数列为等差数列，进一步利用等差数列的通项公式的前n 项和公式求出结果． 【详解】
由于某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同． 所以织布的数据构成等差数列，
设公差为d ，第一天织的数据为，第30天织的数据为，
则：， 解得：，
则：，
解得：，
故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识要点：数学文化知识的应用，等差数列的通项公式的应用和前n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
7．函数()2
sin f x x x =的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】根据函数()2
sin f x x x =是奇函数，且函数过点
[],0π，从而得出结论．
【详解】
由于函数()2
sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；
又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．
8．集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值
范围是（ ） A.{}a |0a 6≤≤ B.{}
|24a a a ≤≥或
C.{}
|06a a a ≤≥或 D.{}|24a a ≤≤
【答案】C
【解析】|x-a|<1,∴a-1<x<a+1,∵A ∩B=∅. ∴a-1≥5或a+1≤1,即a ≤0或a ≥6.故选C.
9．如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，
此时测得点的仰角为再由点沿北偏东
方向走
到位置，测得
，
则塔
的高是
A．10
B．10
C．10
D．10
【答案】B
【解析】分析：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求，从而可求得x的值即塔高.
详解：设塔高为米，根据题意可知在中，，，，从而有，
在中，，，，，
由正弦定理可得，
可以求得，
所以塔AB的高为米，故选B.
点睛：该题考查的是有关利用正余弦定理解决空中高度测量的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有直角三角形中边角的关系，方位角，正弦定理，注意特殊角的三角函数值的大小.
10．如图是某几何体的三视图,图中方格的单位长度为1,则该几何体的表面积为（）
A ．16
B ．8+42
C ．8+45
D ．12+45
【答案】C
【解析】由三视图先还原几何体，然后计算出几何体的表面积 【详解】
由三视图还原几何体如图：
可得三棱锥A BCD -
计算可得22,22,25,25BC CD BD AD AB =====，1
2222BCD S =⨯⨯=n ,
1
225252ADC S =⨯⨯=n 1
225252
ABC S n =⨯⨯=ABD n ()()
2
2
25232-=，
1
223262
ABD S =⨯=n ,
则几何体表面积为225256845+=+故选C 【点睛】
本题考查了由三视图还原几何体并求出几何体的表面积，解题关键是还原几何体，属于
中档题
11．已知函数()2
x 1x 2x m,x 2
f x 143,x 2⎧++<⎪⎪=⎨⎪-≥
⎪⎩的最小值为1.-则实数m 的取值范围是(
)
A ．()0,∞+
B ．[
)0,∞+
C ．9,4∞⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
D ．9,4∞⎡⎫
-
+⎪⎢⎣⎭
【答案】B
【解析】利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m 的范围即可． 【详解】
函数()2
x 1x 2x m,x 2
f x 143,x 2⎧++<⎪⎪=⎨⎪-≥
⎪⎩
的最小值为1-．
可知：1x 2≥
时，由x 431-=-，解得1x 2
=， 因为x
y 43=-是增函数，所以只需2
y x 2x m 1=++≥-，1
x 2
<
恒成立即可． 22y x 2x m (x 1)m 1m 1=++=++-≥-，所以m 11-≥-，可得m 0≥．
故选：B ． 【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题．
12．三棱锥P ABC -， PA ABC ⊥平面 ， AC BC ⊥， 2,AC BC ==
PA =则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．16π D ．64π 【答案】C
【解析】将三棱锥补成一个长方体，长宽高为2,2，
为长方体对角线长，即2242416R R S R ππ=
=∴=∴==，选C.
点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点,,,P A B C 构成的三条线段,,PA PB PC 两两互相垂直，且
,,PA a PB b PC c ===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224R a b c =++求解．
二、填空题
13．不等式ln(21)0x -<的解集是__________． 【答案】1
(,1)2
【解析】根据对数不等式的解法和对数函数的定义域得到关于x 的不等式组，解不等式组可得所求的解集． 【详解】
原不等式等价于()ln 21ln1x -<， 所以211210
x x -<⎧⎨
->⎩，解得1
12x <<，
所以原不等式的解集为1(,1)2
．
故答案为1(,1)2
． 【点睛】
解答本题时根据对数函数的单调性得到关于x 的不等式组即可，解题中容易出现的错误是忽视函数定义域，考查对数函数单调性的应用及对数的定义，属于基础题． 14．已知1
sin cos 3
αα+=，则sin 2α=________． 【答案】89
-
【解析】【详解】 由于，所以
，
,
故答案为8
9
-
. 【考点】二倍角的正弦公式
15．已知数列为等差数列且，则______．
【答案】
【解析】由已知结合等差数列的性质求得，代入正弦函数即可．
【详解】 在等差数列
中，由
，得，
．
故答案为：． 【点睛】
本题考查等差数列的性质，求特殊三角函数值，属于基础题，题目意在考查对等差数列性质和特殊三角函数的掌握情况．
16．若函数2
35y x ax =-+在[]
1,1-上是单调函数，则实数a 的取值范围是______．
【答案】][()
,66,-∞-⋃+∞
【解析】结合二次函数的性质,判定单调区间和对称轴的关系,。

建立不等式,计算a 的范围，即可 【详解】
结合单调性满足的条件可知1166
a a
或≥-≤-,故(][),66,a ∈-∞-⋃+∞ 【点睛】
考查了二次函数单调性的性质，关键得出当区间位于对称轴的两边时才能保证单调性，即可，难度中等。

三、解答题
17．已知4a =r ，8,b a =r r 与b r
的夹角是120o ． （1）计算：a b +r r
；
（2）当k 为何值时，()()
2a b ka b +⊥-r r r r
．
【答案】（1）a b +=r
r 2）7k =-
【解析】试题分析：（1）由题意，可考虑先计算2
a b +v v ，根据向量数量积公式运算其
结果，再求得a b +r r
的值；（2）由两个向量垂直时，其数量积为0，从而可求得k 的值. 试题解析：（1）由已知得：148162a b v v ⎛⎫
⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
222248a b a a b b +=+⋅+=v v v
v v v Q
a b ∴+=v
v
（2）()()2a b ka b Q v v v v +⊥-
(
)()
20a b ka b ∴+⋅-=v v v v ()222120ka k a b b ∴+-⋅-=u u
v v v v
()1616212640k k ∴---⨯= 7k ∴=-
18．已知函数()2
cos sin cos f x x x x =+．
(Ⅰ)求()0f ，4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
(Ⅱ)求()f x 的最小正周期及对称轴方程；
(Ⅲ)当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间．
【答案】(Ⅰ)()01f =．14f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
． (Ⅱ) 最小正周期T π=，函数的对称轴方程为：()28
k x k Z ππ
=
+∈． (Ⅲ) 函数的单调递增区间为：0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,.8ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
【解析】(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的函数的关系式利用整体思想求出函数的最小正周期和函数的对称轴
方程．
(Ⅲ)利用整体思想求出函数的单调区间．
【详解】
(Ⅰ)函数()2cos sin cos f x x x x =+．
1cos2sin222
x x
+=
+，
12242x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭，
则：()11100124222f π⎛
⎫=
++=+= ⎪⎝
⎭．
111
14224222
f πππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
(Ⅱ)由于：()1242f x x π⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭， 所以：函数的最小正周期22
T π
π==， 令()24
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈，
解得：()28
k x k Z ππ
=
+∈， 所以函数的对称轴方程为：()28
k x k Z ππ
=
+∈． (Ⅲ)令()222242k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤+
∈，
解得()388
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈， 由于[]
0,x π∈，
所以：当0k =或1时，函数的单调递增区间为：0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和
5,.8ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19．设等差数列的前n项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
记，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】首先利用已知条件建立方程组，求出数列的首项与公差，进一步确定等差数列的通项公式．
利用的结论，进一步求出数列的通项公式，最后利用错位相减法求出数列的和．【详解】
等差数列的前n项和为，且满足，．
设首项为，公差为d，
则：，
整理得：
解得：，，
所以：．
由得：，
所以：，
，
得：，
所以：，
．
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
20．已知函数()a f x log x(a 0,a 1)=>≠的图象过点1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
(Ⅰ)判断函数()()()g x f 1x f 1x =++-的奇偶性并求其值域；
(Ⅱ)若关于x 的方程()
2f x tx 82-+=在[]1,4上有解，求实数t 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）(],0∞-； （Ⅱ）[]
4,5.
【解析】（Ⅰ）首先求解出函数解析式，再根据奇偶性判断方法得到奇偶性；然后求解出真数所处范围，从而得到函数值域；（Ⅱ）根据函数解析式，将问题转化为
240x tx -+=在[]1,4上有解的问题，通过对勾函数图像得到所求结果.
【详解】
Q 函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的图象过点1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
即：1
log 24
a
=- 2a ⇒= ()2log f x x ∴=
（Ⅰ）()()()()()(
)2
22211log 1log 1log 1g x f x f x x x x =++-=++-=-
则()g x 的定义域为()1,1-，关于原点对称 且()()(
)()()2
2
22
log 1log 1g x x x g x -=--=-=
故()g x 为偶函数
又由()1,1x ∈- (]
2
10,1x ⇒-∈
故()(]
,0g x ∈-∞，即()g x 和值域为(],0-∞
（Ⅱ）若关于x 的方程()
2
82f x tx -+=在[]
1,4上有解
即284x tx -+=，即240x tx -+=在[]
1,4上有解
即244x t x x x
+==+在[]1,4上有解
由对勾函数的图象和性质可得： 当2x =时，4x x +
取最小值4；当1x =或4x =时，4
x x
+取最大值5
故实数t的取值范围是[]4,5
【点睛】
本题考查函数解析式求解、奇偶性判断、方程解的问题.求解问题的关键是能够通过函数图像确定函数值域，从而通过交点情况得到参数范围.
21．如图，几何体EF-ABCD中，四边形CDEF是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB是腰长为22的等腰直角三角形，平面CDEF⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥AF；
（2）求几何体EF-ABCD的体积．
【答案】（1）详见解析；（2）16 3
.
【解析】（1）推导出FC⊥CD，FC⊥BC，AC⊥BC，由此BC⊥平面ACF，从而BC⊥AF．
（2）推导出AC＝BC＝2，AB22
AC BC
=+=4，从而AD＝BC sin∠ABC＝245
sin︒=2，由V几何体EF﹣ABCD＝V几何体A﹣CDEF+V几何体F﹣ACB，能求出几何体EF ﹣ABCD的体积．
【详解】
（1）因为平面CDEF⊥平面ABCD，
平面CDEF∩平面ABCD=CD，
又四边形CDEF是正方形，
所以FC⊥CD，FC⊂平面CDEF，
所以FC⊥平面ABCD，所以FC⊥BC．
因为△ACB 是腰长为22的等腰直角三角形， 所以AC ⊥BC ．
又AC ∩CF =C ，所以BC ⊥平面ACF ． 所以BC ⊥AF ．
（2）因为△ABC 是腰长为2 所以AC =BC 2，AB 22AC BC +，
所以AD =BC sin ∠ABC 245sin ︒=2，
CD =AB =BC cos ∠ABC 2°=2，
∴DE =EF =CF =2， 由勾股定理得AE 22AD DE +2，
因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AD ．
又AD ⊥DC ，DE ∩DC =D ，所以AD ⊥平面CDEF ． 所以V 几何体EF -ABCD =V 几何体A -CDEF +V 几何体F -ACB
=11
33ABC CDEF S AD S CF ⋅+⋅V 四边形 =13CD DE AD ⨯⨯⨯+11
32AC BC CF ⨯⨯⨯⨯ =111
22222222332⨯⨯⨯+⨯⨯ =163
． 【点睛】
本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 22．已知函数()2
1f x x mx =-++，m R ∈．
(Ⅰ)当2m =时，求()f x 的最大值；
(Ⅱ)若函数()()2h x f x x =+为偶函数，求m 的值；
(Ⅲ)设函数()2sin 6g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意[]11,2x ∈，总有[]20,x π∈，使得
()()21g x f x =，求m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）-2（Ⅲ）[]
1,2
【解析】(Ⅰ)代入m 的值，求出函数的最大值即可；
(Ⅱ)根据偶函数图象关于y 轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m 的值；
(Ⅲ)求解()f x 的值域M 和()g x 的值域N ，可得M N ⊆，即可求解实数m 的取值
范围． 【详解】
(Ⅰ)2m =时，()2221(1)2f x x x x =-++=--+，
故()f x 的最大值是2；
(Ⅱ)函数()()()2221h x f x x x m x =+=-+++，为偶函数，
可得20m +=， 可得2m =-
即实数m 的值为2-；
（Ⅲ)()2sin .6g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
[]0,x π∈Q ，
7,666x π
ππ⎡⎤
∴+
∈⎢⎥⎣⎦
， 那么()g x 的值域[]
1,2N =-．
当[]
11,2x ∈时，总有[]
20,x π∈，使得()()21g x f x =， 转化为函数()f x 的值域是()g x 的值域的子集；
即：当[]
1,2x ∈时，()12f x -≤≤ 函数()2
1f x x mx =-++，
其对称轴2
m x =， 当
12
m
≤-时，即2m ≤-，可得()()223min f x f m ==-；()()1max f x f m =-=-； 此时无解．
当122m -<≤时，即24m -<≤可得2
()124max m m
f x f ⎛⎫==
+ ⎪⎝⎭
；()23min f x m =-或m ；
可得：12m ≤≤ 当
22
m
>时，即4m >，可得()()1min f x f m =-=-；()()223max f x f m ==-； 此时无解．
综上可得实数m 的取值范围为[]
1,2． 【点睛】
本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题．。