重庆市潼南柏梓中学2020-2021学年高二上学期数学综合测试题

高二数学上学期综合测试题
一、选择题
1．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,6,3，则这个球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．16π
C ．48π
D ．64π
2．m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题： ①若,,βα⊥⊥m m 则βα//； ②若,,γβγα⊥⊥ 则βα//；
③若,//,,n m n m βα⊂⊂ 则βα//；
④若m 、n 是异面直线，,//,,//,αββαn n m m ⊂⊂ 则βα//. 其中真命题的是（ ） A ．①和②
B ．①和③
C ．①和④
D ．③和④
3．过点)2,2(-且与双曲线12
22
=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是（ ） A ．12422=-y x B ．12422=-x y C ．14222=-y x D ．1422
2=-x y
4．曲线21
x
y x =-在点()1,1处的切线方程为( )
A ．20x y --=
B ．450x y +-=
C ．20x y +-=
D ．450x y --=
5．F 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点，过F 作直线l 与一条渐近线平行，
直线l 与双曲线交于点M ，与y 轴交于点N ，若MN FM 2
1
=
，
则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 6．当a > 0时，函数2
()(2)x
f x x ax e =-的图象大致是( )
7．一棱台两底面周长的比为1：5，过侧棱的中点作平行于底面的截面，则该棱台被分成两
部分的体积比是（ ）
A ．1：125
B ．27：125
C ．13：49
D ．13：62
8．函数f (x )＝13ax 3＋1
2
ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )
A ．－65<a <316
B ．－
85<a <－316 C ．－85<a <－116 D ．－65<a <－3
16
9．如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝1
2
，左焦点为F ，A ，B ，C 为其三个顶点，
直线CF 与AB 交于D 点，则tan ∠BDC 的值等于( )．
A ．－3 3
B ．3 3
C ．
35 D ．－35
10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．
173 B ．143 C ．20
3
D ．8 二、填空题
11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时不等式，
()'()0
f x xf x +<恒成立，若
0.30.33(3),(log 3)(log 3)
a f
b f ππ==，
3311
(log )(log )99
c f =，则a ，b ，c 的大小关系（用“>”连接）是
12．设抛物线2
y =2x 的焦点为F ，过点M （3，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，
与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比
BCF
ACF
S S ∆∆= 13．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为
2
a
（如图2-②），则图2-①中的水面高度为 .
（第15题）
14．曲线x
y 1=
和2
x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ． 15．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面为直角 三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，CC 1＝3，P 是BC 1上一动点， 则A 1P ＋PC 的最小值是 。

三、解答题
16．已知四棱锥P ABCD -的三视图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形， 俯视图是有一条对角线的正方形.E 是侧棱PC 上的动点．
（1）求证：BD AE ⊥；
（2）（理科）若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； （3）若四点D C B P ,,,在同一球面上，求该球的体积.
17．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为
32
2
．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． （1）求抛物线C 的方程；
（2）设点()1,1P -为直线l 上的点，求直线AB 的方程； （3）当点()00,P x y 在直线l 上移动时，求PA PB ⋅的最小值．
18．如图所示，PA ⊥平面ABCD ，
四边形ABCD 为正方形，且2PA AD =，E F G H 、、、分别是线段PA PD CD BC 、、、的中点.
（1）求证：//BC 平面EFG ； （2）求证：DH ⊥平面AEG ；
（3）求三棱锥E AFG -与四棱锥P ABCD -的体积比.
_1
_2
_1
_1
正视图
侧视图
俯视图
_2
_1
B
E
C
D
P
A
19．已知x
a
x x f -
=ln )( (a ∈R ). （1）当0>a 时,判断()f x 在定义域上的单调性；
（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2
3
,求a 的值；
（3）若2
()f x x <在(1,)+∞上恒成立，试求a 的取值范围.
20．某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线
2()1f x ax =-，(0)a >的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点,M N ，交曲线于点P ，
设(,())P t f t ．
（1）将OMN ∆(O 为坐标原点）的面积S 表示成t 的函数()S t ； （2）若在1
2
t =
处，()S t 取得最小值，求此时a 的值及()S t 的最小值．
21．已知椭圆G 的中心是原点O ，对称轴是坐标轴，抛物线x y 342
=的焦点是G 的一个
焦点，且离心率2
3=
e 。

（1）求椭圆G 的方程；
（2）已知圆M 的方程是2
2
2
R y x =+（21<<R ），设直线l ：m kx y +=与圆M
和椭圆G 都相切，且切点分别为A ，B 。

求当R 为何值时，AB 取得最大值？并 求出最大值。

参考答案
DCDCB BCDAA 11．b a c >> 12.45 13. a )271(3- 14.3
4
16．（1）证明：由已知,PC BC PC DC PC ABCD ⊥⊥⇒⊥面
BD ABCD BD PC ⊂⇒⊥面,又因为BD AC
⊥， ,,.BD PAC AE PAC BD AE ∴⊥⊂∴⊥面又面
（2）解法一：连AC 交BD 于点O ，连PO ，由(1)知BD PAC ⊥面，BED PAC ⇒⊥面面，
E EH PO H ⊥过点作于，则EH PBD ⊥面，EBH ∴∠为BE 与平面PBD 所成的角.
1
3EH =
,BE =
则1
sin 6EBH ∠== 法二：空间直角坐标法，略.
（3）解：以正方形ABCD 为底面，PC 为高补成长方体，此时对角线PA 的长为球的直径，
2R PA ∴===
34
3
V R π球＝π.
17.（1）依题意，22
32
20=
--=c d ，得1=c （负根舍去） （2分）
1 18.（3）
16
19.
20.
21．（1）依题意可设椭圆G 的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，则
因为抛物线x y 342
=的焦点坐标为()
0,3，所以3=c
又因为23=
e ，所以2
3=a c ，所以1,222=-==c a b a 故椭圆G 的方程为14
22
=+y x 。

……………5分 （2）由题意易知直线l 的斜率存在，所以可设直线l ：m kx y +=，即0=+-m y kx
∵直线l 和圆M 相切 ∴R k m =+1
2，即)1(222+=k R m ①
联立方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
2
2y x m kx y 消去y 整理可得0448)41(2
22=-+++m kmx x k ， ∵直线l 和椭圆G 相切
∴0)44)(41(4642222=-+-=∆m k m k ，即142
2+=k m ②
由①②可得2
2
2222
43,41R
R m R R k -=--= 现在设点B 的坐标为()00,y x ，则有2
2222
316
164144R R k m x -=+-=， 2
2
2
02
03441R
R x y -=-=， 所以2
222
020********R R R y x OB -=-=+=，
所以1425)4(54522
2222222=⋅-≤+-=--=-=R
R R R R R OA OB AB
等号仅当22
4R
R =,即2=R 取得
故当2=R 时，AB 取得最大值，最大值为1。