高斯积分ppt课件

结论:插值型求积公式的代数精度d满足：n-1 d2n-1
5
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续，则高斯求积公式的余项为
Rn
f (2n) ()
(2n)!
b a
Hale Waihona Puke (x)wn2(
x)dx
其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2)…..(x-xn)。
高斯求积公式的系数Ak恒为正,故高斯求积公式是稳定的.
1
n
f (x)
-1
wi f (xi )
i0
的代数精度最高不
证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2
......
1
3
t(5)
2
A(5) 5
1
3
t(5)
5
0.69314719
积分精确值为
I=ln2=0.69314718… 由此可见，高斯公式精确度是很高的
9
2.Gauss - Chebyshev 求积公式
1 1
f (x) 1 x2
dx
n
Ak
k 1
f (xk )
其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点
• Guass求积公式有多种,他们的Guass点xk, Guass系数 Ak都有表可以查询.
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Gauss - Legendre 求积公式
1
n
f (x)dx
1
Ak f (xk )
k 1
其中高斯点为Legendre多项式的零点
Ln(x)=
1 2n n!
•
d
n
(
x2 dx n
1)n
对于一般有限区间[a,b]，用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成 为[-1,1]。
15750
f (8) ()
3472875
f (10) ()
1237732650 8
例题：利用高斯求积公式计算 1 dx
0 1 x
［解］令x=1/2 (1+t), 则
I 1 dx 1 dt
0 1 x 1 3 t
用高斯-Legendre求积公式计算.取n=5
I
A(5) 1
1
3
t(5)
1
A(5) 2
x ab ba
22 • 可化为区间[-1,1] 所求积分则化为：
b f (x) b a 1 f (a b b a )d
a
2 1
2
2
• 不失一般性，取a=-1，b=1，讨论区间[-1,1]上的
积分即可，则有
1
n
f (x)
-1
wi f (xi )
i0
• 其中 wi为权函数
3
求积公式 超2n-1次。
Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
cos (2k 1)
2n
, Ak
n
10
3.Gauss - Laguerre 求积公式
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
k 1
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e
x2
f
( x)dx
n
Ak f ( xk )
k 1
11
表
+0.3399810 0.6521452
+0.8611363 0.3478548
5 -0.9061799 0.2369269
-0.5384693 0.4786287
0
0.5688889
+0.5384693 0.4786287
Rn
1 f " ( )
3
1 f ( 4) ( )
135
1 f (6) ()
[ 如果事先已选定[a ，b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要r=n 时方程组有唯一解]
4
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有
左=
b
(x)g(x)dx o
a
右=
n
高斯积分
1
• 在进行有限元分析时，一般需要大量的数 值积分，通常都是通过坐标变换把被积函 数全部化为局部坐标的函数。经过这样的 变换，计算将会变得简单。
• 若被积函数不是多项式函数，比如采用等 参单元就是这样，此时就需要求助于数值 积分，在有限元分析中，经常采用的就是 高斯数值积分。
2
• 对于积分区间[a,b]，通过变换
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个 等式，2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.
Ak g( xk )=0
k 1
左右,故不成立等式,定理得证.
定义: 使求积公式
1
n
f (x)
-1
wi f (xi )
i0
达到最高代数精度2n-1的求积公式称为Guass求积公式
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有
7
Gauss- Legendre
n
xk(n)
Ak(n)
1
0
2
2 -0.5773503
1
+0.5773503
1
3 -0.7745967 5/9=0.5555556
点
+0.7745967 5/9=0.5555556
及
0
8/9=0.8888889
系
4 -0.8611363 0.3478548
数
-0.3399810 0.6521452