最新人教版七年级数学下册相交线与平行线测试题和答案培优试题

一、选择题
1．①如图1,AB ∥CD,则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2,AB ∥CD,则∠E =∠A +∠C;③如图3,AB ∥CD,则∠A +∠E －∠1=180° ； ④如图4,AB ∥CD,则∠A=∠C +∠P .以上结论正确的个数是( )
A ．、1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图所示，若AB ∥EF ，用含α、β、γ的式子表示x ，应为（ ）
A ．αβγ++
B ．βγα+-
C ．180αγβ︒--+
D ．180αβγ︒++-
3．如图，ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG ⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②CA 平分BCG ∠；③ADC GCD ∠=∠；
④1
2
DFB CGE ∠=∠.其中正确的结论是( )
A ．①③④
B ．①②③
C ．②④
D ．①③
4．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB ，垂直为点O ，∠BOD ＝50°，则∠COE ＝
（ ）
A ．30°
B ．140°
C ．50°
D ．60°
5．下列几个命题中，真命题有（ ） ①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠； ③一个角的余角一定小于这个角的补角； ④三角形的一个外角大于它的任一个内角． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4
6．下列命题是真命题的有（ ）
（1）相等的角是对顶角；（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；（3）在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（5）一个角的余角一定大于这个角． A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
7．如图，直线//EF MN ，点A ，B 分别是EF ，MN 上的动点，点G 在MN 上，
ACB m ∠=︒，AGB ∠和CBN ∠的角平分线交于点D ，若52D ∠=︒，则m 的值为（ ）．
A ．70
B ．74
C ．76
D ．80
8．如图，//CD AB ，BC 平分ACD ∠，CF 平分ACG ∠，50BAC ∠=︒，12∠=∠，则下列结论：①CB CF ⊥，②165∠=︒，③24ACE ∠=∠，④324∠=∠．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
9．如图，从①12∠=∠，②C D ∠=∠，③//DF AC 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．已知AB CD ∥，点E F ，分别在直线AB CD ，上，点P 在AB CD ，之间且在EF 的左侧．若将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则EPF
∠
的度数为（ ）
A ．120︒
B ．135︒
C ．45︒或135︒
D ．60︒或120︒
二、填空题
11．已知//AB CD ，点M 、N 分别为AB 、CD 上的点，点E 、F 、G 为AB 、CD 内部的点，连接FM 、FN 、EM 、EN 、CM 、GN ，ME NE ⊥于E ，3
5BMF BME ∠=∠，
3
5
DNF DNE ∠=∠，MG 平分AMF ∠，NG 平分CNF ∠，则MGN ∠（小于平角）的度数为
______．
12．如图， 已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________
13．如图，已知AB CD ∥，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作： 第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ， 第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ， 第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ， …
第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ． 若1n E ∠=度，那BEC ∠等于__________度．
14．如图，a ∥b ，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是______度．
15．如图，AB ∥CD ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥OE ，OP ⊥CD ，∠ABO ＝40°，则下列结论：①∠BOE ＝70°；②OF 平分∠BOD ；③∠1＝∠2；④∠POB ＝2∠3．其中正确的结论有______．（填序号）
16．如图，四边形ABCD 的长条形纸带，AB //CD ，将长方形沿 EF 折叠，A 、D 分别于A ’、D '对应，若 ∠CFE =2∠CFD '，则∠AEF 的度数是___．
17．已知，//BC OA ，100B A ∠=∠=︒，点E ，F 在BC 上，OE 平分BOF ∠，且
FOC AOC ∠=∠，下列结论正确得是：__________．
①//OB AC ； ②45EOC ∠=︒； ③:1:3OCB OFB ∠∠=；
④若OEB OCA ∠=∠，则60OCA ∠=︒.
18．如图，AB ∥CD ，EM 是∠AMF 的平分线，NF 是∠CNE 的平分线，EN ，MF 交于点O ．若∠E +60°＝2∠F ，则∠AMF 的大小是___．
19．如图，//AB DE ，AD AB ⊥，AE 平分BAC ∠交BC 于点F ．如果24CAD ∠=︒，则
=E ∠__︒．
20．如图，//AB CD ，2P E 平分1PEB ∠，2P F 平分1
PFD ∠，若设1PEB x ∠=︒，1PFD y ∠=︒则1P ∠=______度（用x ，y 的代数式表示），若3P E 平分2P EB ∠，3P F 平分2P FD ∠，可得3P ∠，4P E 平分3P EB ∠，4P F 平分3P FD ∠，可得4P ∠…，依次平分下去，则n P ∠=_____度．
三、解答题
21．如图1，已AB ∥CD ，∠C ＝∠A ． （1）求证：AD ∥BC ；
（2）如图2，若点E 是在平行线AB ，CD 内，AD 右侧的任意一点，探究∠BAE ，∠CDE ，∠E 之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，若∠C ＝90°，且点E 在线段BC 上，DF 平分∠EDC ，射线DF 在∠EDC 的内部，且交BC 于点M ，交AE 延长线于点F ，∠AED +∠AEC ＝180°， ①直接写出∠AED 与∠FDC 的数量关系： ．
②点P 在射线DA 上，且满足∠DEP ＝2∠F ，∠DEA ﹣∠PEA ＝5
14
∠DEB ，补全图形后，求∠EPD 的度数
22．如图，直线//PQ MN ，点C 是PQ 、MN 之间（不在直线PQ ，MN 上）的一个动点．
（1）如图1，若1∠与2∠都是锐角，请写出C ∠与1∠，2∠之间的数量关系并说明理由； （2）把直角三角形ABC 如图2摆放，直角顶点C 在两条平行线之间，CB 与PQ 交于点
D ，CA 与MN 交于点
E ，BA 与PQ 交于点
F ，点
G 在线段CE 上，连接DG ，有
BDF GDF ∠=∠，求
AEN
CDG
∠∠的值； （3）如图3，若点D 是MN 下方一点，BC 平分PBD ∠， AM 平分CAD ∠，已知
25PBC ∠=︒，求ACB ADB ∠+∠的度数．
23．已知：AB ∥CD ，截线MN 分别交AB 、CD 于点M 、N ．
（1）如图①，点B 在线段MN 上，设∠EBM ＝α°，∠DNM ＝β°，且满足30-a +（β﹣60）2＝0，求∠BEM 的度数；
（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF 平分∠CDE ，且交线段BE 的延长线于点F ；请写出∠DEF 与∠CDF 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点P 在射线NT 上运动时，∠DCP 与∠BMT 的平分线交于点Q ，则∠Q 与∠CPM 的比值为 （直接写出答案）．
24．如图，//MN GH ，点A 、B 分别在直线MN 、GH 上，点O 在直线MN 、GH 之间，若
116NAO ∠=︒，144OBH ∠=︒．
（1）AOB ∠= ︒；
（2）如图2，点C 、D 是NAO ∠、GBO ∠角平分线上的两点，且35CDB ∠=︒，求ACD ∠ 的度数；
（3）如图3，点F 是平面上的一点，连结FA 、FB ，E 是射线FA 上的一点，若MAE ∠=
n OAE ∠，HBF n OBF ∠=∠，且60AFB ∠=︒，求n 的值．
25．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD 与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
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一、选择题
1．C
解析：C
【详解】
①如图1，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
所以∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
所以∠A+∠C=∠AEC+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点E作EF∥AB，
因为AB∥CD，所以AB∥EF∥CD，
所以∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，所以∠A+∠AEC-∠1=∠A+∠AEC-
∠CEF=∠A+∠AEF=180°，则③正确；
④如图4，过点P作PF∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥PF∥CD，
所以∠A=∠APF，∠C=∠CPF，所以∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故选C.
2．C
解析：C
【分析】
过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出
α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．
【详解】
过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，
∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，
∴x=∠BCD+∠DCM=180αγβ
︒--+，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
3．A
解析：A
【分析】
根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+1
（∠ABC+∠ACB）＝135°，
2
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∠CGE，故本选项正确．
∴∠DFB＝45°＝1
2
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．4．B
解析：B
【详解】
试题解析：EO⊥AB，
∴∠=
90,
AOE
∠=∠=
50,
AOC BOD
∴∠=∠+∠=+=
COE AOC AOE
5090140.
故选B.
5．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据余角与补角的定义对③进行判断；根据三角形外角性质对④进行判断．
【详解】
解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；
如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；
一个角的余角一定小于这个角的补角，所以③正确；
三角形的外角大于任何一个与之不相邻的一个内角，所以④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．B
解析：B
【分析】
根据对顶角与同位角的定义、垂线的性质、平行公理、余角的定义逐个判断即可得．【详解】
解：（1）相等的角不一定是对顶角，则原命题是假命题；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，则原命题是假命题；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题；（4）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，则原命题是真命题；
（5）一个角的余角不一定大于这个角，如70︒角的余角等于20︒，则原命题是假命题；
综上，是真命题的有1个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了对顶角与同位角的定义、垂线的性质、平行公理、余角，熟练掌握各定理与性质是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
先由平行线的性质得到∠ACB＝∠5＋∠1＋∠2，再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出m即可．
【详解】
解：过C作CH∥MN，
∴∠6＝∠5，∠7＝∠1＋∠2，
∵∠ACB＝∠6＋∠7，
∴∠ACB ＝∠5＋∠1＋∠2， ∵∠D ＝52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝180°−52°＝128°，
由题意可得GD 为∠AGB 的角平分线，BD 为∠CBN 的角平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴m °＝∠1＋∠2＋∠5＝2∠1＋∠5，∠4＝∠1＋∠D ＝∠1＋52°， ∴∠3＝∠4＝∠1＋52°，
∴∠1＋∠5＋∠3＝∠1＋∠5＋∠1＋52°＝2∠1＋∠5＋52°＝m °＋52°， ∴m °＋52°=128°， ∴m °＝76°． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，关键是对知识的掌握和灵活运用．
8．B
解析：B 【分析】
根据角平分线的性质可得1
2ACB ACD ∠=∠，12
ACF ACG ∠=∠，，再利用平角定义可得
∠BCF =90°，进而可得①正确；首先计算出∠ACB 的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE 的度数，可分析出③错误；根据∠3和∠4的度数可得④正确． 【详解】 解：如图，
∵BC 平分∠ACD ，CF 平分∠ACG ，
∴11
22ACB ACD ACF ACG ∠=∠∠=∠，，
∵∠ACG +∠ACD =180°， ∴∠ACF +∠ACB =90°， ∴CB ⊥CF ，故①正确， ∵CD ∥AB ，∠BAC =50°， ∴∠ACG =50°， ∴∠ACF =∠4=25°， ∴∠ACB =90°-25°=65°， ∴∠BCD =65°， ∵CD ∥AB ，
∴∠2=∠BCD=65°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=65°，故②正确；
∵∠BCD=65°，
∴∠ACB=65°，
∵∠1=∠2=65°，
∴∠3=50°，
∴∠ACE=15°，
∴③∠ACE=2∠4错误；
∵∠4=25°，∠3=50°，
∴∠3=2∠4，故④正确，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系．
9．D
解析：D
【分析】
分别任选其中两个条件作为已知，然后结合平行线的判定与性质，证明剩余一个条件是否成立即可．
【详解】
解：如图所示：
（1）当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4；
当②∠C=∠D，故∠4=∠C，则DF∥AC，可得：∠A=∠F，
即①②可证得③；
（2）当①∠1=∠2，则∠3=∠2，故DB∥EC，则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，故可得：∠C=∠D，
即①③可证得②；
（3）当③∠A=∠F，故DF∥AC，则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，则∠4=∠D，故DB∥EC，则∠2=∠3，可得：∠1=∠2，
即②③可证得①.
故正确的有3个． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，正确掌握并熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．
10．C
解析：C 【分析】
根据题意画出示意图，延长FP 交AB 于点Q ，根据折叠的性质和四边形的内角和进行分析解答． 【详解】
解：根据题意，延长FP 交AB 于点Q ，可画图如下：
∵AB CD ∥ ∴CFQ PQE ∠=∠
∵将射线EA 沿EP 折叠，射线FC 沿FP 折叠， ∴,CFP PFM MEP PEQ ∠=∠∠=∠， ∵,FPE PQE PEQ EM FM ∠=∠+∠⊥，
如第一个图所示，在四边形FPEM 中，36090PFM MEP FPE ∠+∠+∠=︒-︒， 得：2270FPE ∠=︒， ∴135FPE ∠=︒．
如第二个图所示，在四边形FPEM 中，360(36090)90PFM MEP FPE ∠+∠+∠=︒-︒-︒=︒， 得：290FPE ∠=︒， ∴45FPE ∠=︒． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角、四边形的内角和等知
识．关键是利用平行线的性质以及四边形内角和进行解答．
二、填空题
11．【分析】
过点，做平行于，根据平行线的传递性及性质得，同理得出，令，则，，则，通过等量关系先计算出，再根据角平分线的性质及等量代换进行求解． 【详解】
解：过点，做平行于，如下图： ， ， 则， 解析：153︒
【分析】
过点,,E F G ，做,,EH FK GJ 平行于AB ，根据平行线的传递性及性质得
MEN BME DNE ∠=∠+∠，同理得出∠=∠+∠MGN AMG CNG ，令5∠=BME a ，则3∠=BMF a ，5∠=DNE b ，则3∠=DNF b ，通过等量关系先计算出18+=︒a b ，再根据角
平分线的性质及等量代换进行求解． 【详解】
解：过点,,E F G ，做,,EH FK GJ 平行于AB ，如下图：
//,//AB EH AB CD ，
//EH CD ，
则,∠=∠∠=∠BME HEM DNE HEN ，
∴∠=∠+∠=∠+∠MEN HEM HEN BME DNE ，
同理可得：∠=∠+∠MGN AMG CNG ， 令5∠=BME a ，则3∠=BMF a ，
5∠=DNE b ，则3∠=DNF b ，
则5590∠=∠+∠=+=︒MEN BME DNE a b ，
18∴+=︒a b ，
1801803∠=︒-∠=︒-AMF BMF a ，
1801803∠=︒-∠=︒-CNF DNF b ，
MG 平分AMF ∠，NG 平分CNF ∠，
1313
90,902222
AMG AMF a CNG CNF b ∴∠=
∠=︒-∠=∠=︒-， 3
180()1532∴∠=∠+=︒-+=︒MGN AMG CNG a b ，
故答案是：153︒． 【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，找到角之间的关系，利用等量代换的思想进行计算求解．
12．90° 【分析】
根据AB ∥CF ，可得出∠B 和∠BCF 的关系，根据CF ∥DE ，可得出∠FED 和∠D 的关系，合并即可得出∠D―∠B 的大小 【详解】
∵AB ∥CF ，∴∠B=∠BCF ∵CF ∥DE ∴∠
解析：90° 【分析】
根据AB ∥CF ，可得出∠B 和∠BCF 的关系，根据CF ∥DE ，可得出∠FED 和∠D 的关系，合并即可得出∠D―∠B 的大小 【详解】
∵AB ∥CF ，∴∠B=∠BCF ∵CF ∥DE ∴∠FCD+∠D=180°
∴∠FCD+∠D －∠B=180°－∠BCF ，化简得：∠D －∠B=180°－(∠BCF+∠FCD) ∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90° ∴∠D―∠B=90° 故答案为：90° 【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD 分为∠BCF 和∠FCD ，然后利用平行线的性质进行角度转换．
13．【分析】
先过E 作EF ∥AB ，根据AB ∥CD ，得出AB ∥EF ∥CD ，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE ；根据∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E1，
解析：2n
【分析】
先过E 作EF ∥AB ，根据AB ∥CD ，得出AB ∥EF ∥CD ，再根据平行线的性质，得出∠B =∠1，∠C =∠2，进而得到∠BEC =∠ABE +∠DCE ；根据∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1，则可得出∠CE 1B =∠ABE 1+∠DCE 112=∠ABE 12
+∠DCE 1
2=∠BEC ；同理可得∠BE 2C =∠ABE 2+∠DCE 212=
∠ABE 112
+∠DCE 112=∠CE 1B 1
4=∠BEC ；根据∠ABE 2和∠DCE 2的
平分线，交点为E 3，得出∠BE 3C 18=∠BEC ；…据此得到规律∠E n 1
2
n =∠BEC ，最后求得
∠BEC 的度数． 【详解】
如图1，过E 作EF ∥AB ． ∵AB ∥CD ， ∴AB ∥EF ∥CD ， ∴∠B =∠1，∠C =∠2． ∵∠BEC =∠1+∠2， ∴∠BEC =∠ABE +∠DCE ； 如图2．
∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1， ∴∠CE 1B =∠ABE 1+∠DCE 112=
∠ABE 12
+∠DCE 1
2=∠BEC ． ∵∠ABE 1和∠DCE 1的平分线交点为E 2， ∴∠BE 2C =∠ABE 2+∠DCE 212=
∠ABE 112+∠DCE 112=∠CE 1B 1
4=∠BEC ；
∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3， ∴∠BE 3C =∠ABE 3+∠DCE 312=∠ABE 212+∠DCE 21
2=∠CE 2B 18
=∠BEC ； …
以此类推，∠E n 1
2n
=
∠BEC ， ∴当∠E n =1度时，∠BEC 等于2n 度． 故答案为：2n ．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的
两个角的射线叫做这个角的平分线．
14．40
【解析】
试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，
∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.
解析：40
【解析】
试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，
∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.
故答案为：40.
15．①②③
【分析】
根据平行线的性质和∠ABO=40°，由两直线平行，同旁内角互补，可计算出
∠BOC的度数，再根据角平分线的性质，可计算出∠BOC的度数，根据角平分线的性质可得出∠BOE的度数，可判断
解析：①②③
【分析】
根据平行线的性质和∠ABO=40°，由两直线平行，同旁内角互补，可计算出∠BOC的度数，再根据角平分线的性质，可计算出∠BOC的度数，根据角平分线的性质可得出∠BOE 的度数，可判断①是否正确．根据OF⊥OE，由∠BOE的度数计算出∠BOF的度数，根据两直线平行，内错角相等的性质，得到∠BOD的度数，可计算出∠3的度数，可得出结论②是否正确，由②中的结论可判断③是否正确．根据平行线的性质，可得到∠OPB=90°，可计算出∠POB的度数，可得出④结论是否正确．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠ABO＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠B0E＝1
2∠BOC＝1140
2
︒
⨯＝70°，
故结论①正确；
∵OF⊥OE，∠B0E＝70°，∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°，
∵AB∥CD，∠ABO＝40°，
∴∠BOD＝∠ABO＝40°，
∴∠FOD＝∠BOD﹣∠BOF＝20°，
∴∠BOF＝∠DOF，
∴OF平分∠BOD，
故结论②正确；
由②的结论可得，
∴∠1＝∠2＝20°，
故结论③正确；
∵OP⊥CD，
∴∠OPB＝90°，
∴∠POB＝90°﹣∠ABO＝50°，
∵2∠3＝2×20°＝40°，
∴∠POB≠2∠3，
故结论④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线性质的应用，合理应用平行线的性质是解决本题关键．
16．72゜
【分析】
先根据平行线的性质，由AB∥CD，得到∠CFE＝∠AEF，再根据翻折的性质可得∠DFE＝∠D′FE，由平角的性质可求得∠CFD′的度数，即可得出答案．
【详解】
解：∵AB∥CD，
解析：72゜
【分析】
先根据平行线的性质，由AB∥CD，得到∠CFE＝∠AEF，再根据翻折的性质可得∠DFE＝∠D′FE，由平角的性质可求得∠CFD′的度数，即可得出答案．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DFE＝∠D′FE，∠CFE＝2∠CFD′，
∴∠DFE＝∠D′FE＝3∠CFD′，
∴∠DFE＋∠CFE＝3∠CFD′＋2∠CFD′＝180°，
∴∠CFD′＝36°，
∴∠AEF＝∠CFE＝2∠CFD′＝72°．
故答案为：72°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，翻折变换等知识，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
17．①④
【分析】
①由BC∥OA，∠B=∠A=100°，∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°，得到
∠A+∠AOB=180°，得出OB∥AC．②OE平分∠BOF，得出∠FOE=∠BOE=∠BO 解析：①④
【分析】
①由BC∥OA，∠B=∠A=100°，∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°，得到∠A+∠AOB=180°，得出
OB∥AC．②OE平分∠BOF，得出∠FOE=∠BOE=1
2∠BOF，∠FOC=∠AOC=1
2
∠AOF，从而
计算出∠EOC=∠FOE+∠FOC=40°．③由∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF=2∠AOC，得出∠OCB：∠OFB=1：2．④由∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC，得到∠AOE-∠COE=∠BOC-
∠COE，∠BOE=∠AOC，再得到∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=1
4
∠AOB=20°，从而计算出
∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°．
【详解】
解：∵BC∥OA，∠B=∠A=100°，
∴∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠AOB=180°，
∴OB∥AC．故①正确；
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE=∠BOE=1
2
∠BOF，
∴∠FOC=∠AOC=1
2
∠AOF，
∴∠EOC=∠FOE+∠FOC=1
2（∠BOF+∠AOF）=1
2
×80°=40°．故②错误；
∵∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF=2∠AOC，
∴∠OCB：∠OFB=1：2．故③错误；
∵∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC，
∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE，
∴∠BOE=∠AOC，
∴∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=1
4
∠AOB=20°，
∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°．故④正确．
故答案为：①④．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及判定，以及角的计算，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
18．【分析】
作，则，，而，所以，同理可得，变形得到，利用等式的性质得，加上已给条件，于是得到，易得的度数． 【详解】 解：作，如图， ， ， ，，
是的平分线， ， ， ，
同理可得， ， ， ， 解析：40︒
【分析】
作//EH AB ，则1AME ∠=∠，2CNE ∠=∠，而1
2AME AMF ∠=∠，所以
12MEN AMF CNE ∠=
∠+∠，同理可得1
2
F AMF CNE ∠=∠+∠，变形得到22F AMF CNE ∠=∠+∠，利用等式的性质得3
22
F E AMF ∠-∠=∠，加上已给条件
602MEN F ∠+︒=∠，于是得到3
602
AMF ∠=︒，易得AMF ∠的度数．
【详解】
解：作//EH AB ，如图，
//AB CD ，
//EH CD ，
1AME ∴∠=∠，2CNE ∠=∠，
EM 是AMF ∠的平分线，
1
2
AME AMF ∴∠=∠，
12MEN ∠=∠+∠，
1
2
MEN AMF CNE ∴∠=
∠+∠， 同理可得，
12F AMF CNE ∠=∠+∠， 22F AMF CNE ∴∠=∠+∠，
322
F MEN AMF ∴∠-∠=∠， 602MEN F ∠+︒=∠，即260F MEN ∠-∠=︒，
∴3602
AMF ∠=︒， 40AMF ∴∠=︒，
故答案为：40︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，合理作辅助线和把一般结论推广是解决问题的关键．
19．33
【分析】
根据求出∠C=90°，再求出∠BAD=66°，根据角平分线性质得∠DAE=33°，由三角形的外角性质得∠ADE=114°，最后由三角形内角和定理可得结论．
【详解】
解：∵，，
∴∠
解析：33
【分析】
根据//AB DE 求出∠C=90°，再求出∠BAD=66°，根据角平分线性质得∠DAE=33°，由三角形的外角性质得∠ADE=114°，最后由三角形内角和定理可得结论．
【详解】
解：∵//AB DE ，AD AB ⊥，
∴∠180BAD D ∠+∠=︒，且90BAD ∠=︒
∴90D ∠=︒
∵∠CAD =24°
∴∠BAC =90°-∠CAD =90°-24°=66°，
∵AE 是∠BAC 的平分线
∴∠EAB =11663322
BAC ∠=⨯︒=︒ ∵//AB DE ，
∴33E EAB ∠=∠=︒
故答案为：33
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．
20．【分析】
过点P1作PG ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得，再根据角平分线的定义总结规律可得．
【详解】
解：过点作∥AB ，可得∥CD ，
设，，
∴，，
解析：()x y + 12n x y -+⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
过点P 1作PG ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得1E x PF y ︒=∠︒+，再根据角平分线的定义总结规律可得n P ∠． 【详解】
解：过点1P 作1PG ∥AB ，可得1PG ∥CD ，
设1
PEB x ∠=︒，1PFD y ∠=︒， ∴11G x PEB EP =︒∠=∠，11G y PFD FP =︒∠=∠，
∴11111P EP FP PEB P E F G G x y FD ∠=+=︒∠∠∠=︒++∠；
同理可得：222P P EB P FD ∠+∠∠=，333P P EB P FD ∠+∠∠=，...，
∵2P E 平分1PEB ∠，2P F 平分1
PFD ∠， ∴()22212
P P EB P FD x y ∠+∠=︒+︒∠=，
()33314P P EB P FD x y ∠+∠=︒+︒∠=， ...，
∴12n n n n x y P P EB P FD -∠︒+︒∠+∠=
=， 故答案为：()x y +，12n x y -+⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了平行线性质的应用和角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，证明见解析；（3）①∠AED-∠FDC=45°，理由见解析；②50°
【分析】
（1）根据平行线的性质及判定可得结论；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得AB∥CD∥EF，然后由两直线平行内错角相等可得结论；
（3）①根据∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，DF平分∠EDC，可得出
2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，即可导出角的关系；
②先根据∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°得出∠DEP=2∠F=90°，再根据∠DEA-
∠DEB，求出∠AED=50°，即可得出∠EPD的度数．
∠PEA=5
14
【详解】
解：（1）证明：AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠C=∠A，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC；
（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，理由如下：
如图2，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF，∠CDE=∠DEF
即∠FEA+∠FED=∠CDE+∠BAE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED；
（3）①∠AED-∠FDC=45°；
∵∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，
∴∠AEC=∠DEC+∠AEB，
∴∠AED=∠AEB，
∵DF平分∠EDC
∠DEC=2∠FDC
∴∠DEC=90°-2∠FDC，
∴2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，
∴∠AED-∠FDC=45°，
故答案为：∠AED-∠FDC=45°；
②如图3，
∵∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°，∴∠F=45°，
∴∠DEP=2∠F=90°，
∵∠DEA-∠PEA=5
14∠DEB=5
7
∠DEA，
∴∠PEA=2
7
∠AED，
∴∠DEP=∠PEA+∠AED=9
7
∠AED=90°，
∴∠AED=70°，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠DEC+2∠AED=180°，
∴∠DEC=40°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=40°，
在△PDE中，∠EPD=180°-∠DEP-∠AED=50°，
即∠EPD=50°．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知识点是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）1
2
；（3）75°
【分析】
（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解．
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可．
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．【详解】
解：（1）∠C=∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4=∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴∠C=∠1+∠2；
（2）∵∠BDF=∠GDF，
∵∠BDF=∠PDC，
∴∠GDF=∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF=180°，
∴∠CDG+2∠PDC=180°，
∴∠PDC=90°-1
2
∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM=∠C=90°，
∴∠AEN=∠CEM，
∴
1
90(90)
901
2
2
CDG
AEN CEM PDC
CDG CDG CDG CDG
︒-︒-∠
∠∠︒-∠
====
∠∠∠∠
，
（3）设BD交MN于J．
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC=25°，
∴∠PBD=2∠PBC=50°，∠CAM=∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BJA=∠PBD=50°，
∴∠ADB=∠AJB-∠JAD=50°-∠JAD=50°-∠CAM，
由（1）可得，∠ACB=∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB=∠PBC+∠CAM+50°-∠CAM=25°+50°=75°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关系．
23．（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3）1
2
【分析】
（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；
（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解；
（3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．【详解】
解：（1）∵30
α-+（β﹣60）2＝0，
∴α＝30，β＝60，
∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝60°，
∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，
∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；
（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．
理由如下：过点E作直线EH∥AB，
∵DF平分∠CDE，
∴设∠CDF＝∠EDF＝x°；
∵EH∥AB，
∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，
∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；
∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，
即∠DEF+2∠CDF＝150°；
（3）如图3，设MQ与CD交于点E，
∵MQ 平分∠BMT ，QC 平分∠DCP ，
∴∠BMT ＝2∠PMQ ，∠DCP ＝2∠DCQ ，
∵AB ∥CD ，
∴∠BME ＝∠MEC ，∠BMP ＝∠PND ，
∵∠MEC ＝∠Q +∠DCQ ，
∴2∠MEC ＝2∠Q +2∠DCQ ，
∴∠PMB ＝2∠Q +∠PCD ，
∵∠PND ＝∠PCD +∠CPM ＝∠PMB ，
∴∠CPM ＝2∠Q ，
∴∠Q 与∠CPM 的比值为12， 故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
24．（1）100；（2）75°；（3）n =3．
【分析】
（1）如图：过O 作OP //MN ，由MN //OP //GH 得∠NAO +∠POA =180°，
∠POB +∠OBH =180°，即∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°，即可求出∠AOB ；
（2）如图：分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，先根据角平分线求得58NAC ∠=︒，再根据平行线的性质得到58CEF ∠=︒；进一步求得18DBF ∠=︒，17DFB ∠=︒，然后根据三角形外角的性质解答即可；
（3）设BF 交MN 于K ，由∠NAO =116°，得∠MAO =64°，故∠MAE =
641n n ︒⨯+，同理∠OBH =144°，∠HBF =n ∠OBF ，得∠FBH =
1441n n ︒⨯+，从而=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441，又∠FKN =∠F +∠FAK ，得
144606411
n n n n ︒︒︒⨯=+⨯++，即可求n ． 【详解】
解：（1）如图：过O 作OP //MN ，
∵MN //GHl
∴MN //OP //GH
∴∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180°
∴∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°
∵∠NAO =116°，∠OBH =144°
∴∠AOB =360°-116°-144°=100°；
（2）分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，
∵AC 平分NAO ∠且116NAO ∠=︒，
∴58NAC ∠=︒，
又∵MN //GH ，
∴58CEF ∠=︒；
∵144OBH ∠=︒，36OBG ∠=︒
∵BD 平分OBG ∠，
∴18DBF ∠=︒，
又∵,CDB ∠=︒35
∴351817DFB CDB DBF ∠=∠-∠=-=︒；
∴175875ACD DFB AEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒；
（3）设FB 交MN 于K ，
∵116NAO ∠=︒，则MAO ∠=︒64； ∴641
n MAE n ∠=⨯︒+ ∵144OBH ∠=︒， ∴+1n FBH n ∠=
⨯︒144，=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441， 在△FAK 中，64601
n BKA FKA F n ∠=∠+∠=
⨯︒+︒+, ∴144646011n n n n ⨯︒=⨯︒+︒++， ∴3n =．
经检验：3n =是原方程的根，且符合题意.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．
25．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出
∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出
∠AOB=∠BO′E′．
【详解】
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，
∴∠AOB=∠BO′E′．
【点睛】
此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．。