高考数学压轴专题湖州备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编附答案解析

数学《计数原理与概率统计》知识点
一、选择题
1．若52345
012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为
（） A ．－233 B ．10
C ．20
D ．233
【答案】A 【解析】 【分析】
对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】
对等式两边进行求导，得：
2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，
∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】
本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．
2．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()
221122,,,N N μδμδ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=
B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D ．乙类水果的质量服从正态分布的参数2 1.99δ= 【答案】D 【解析】
由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg ，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg ，故A ，B ，C ，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2 1.99，故D 不正确．故选D ．
3．现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一
起，则不同的排法共有（ ）种． A ．22
67A A B ．32
47A A
C ．322
367A A A
D ．362
467A A A
【答案】D 【解析】 【分析】
采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是3
4A 种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可. 【详解】
采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是3
4A 种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是66A 种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是2
7A 种．综上所述，不同的排法共有3
6
2
467A A A 种. 故选D. 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．
4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（
表示一根阳线，
表示一根阴线），从
八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）
A ．
314
B ．27
C ．
928
D ．
1928
【答案】A 【解析】 【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p =
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5．已知点P ,Q 为圆C :x 2+y 2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ 中点组成的区域为M ,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M 上的概率为( ) A ．35 B ．925 C ．
1625
D ．
25
【答案】B 【解析】
PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示,那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为
25π-16π9
25π25
=,故选B.
6．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A ．100 B ．110 C ．120 D ．180
【答案】B 【解析】
试题分析：10人中任选3人的组队方案有3
10120C =，
没有女生的方案有3510C =， 所以符合要求的组队方案数为110种 考点：排列、组合的实际应用
7．已知()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
()
20121n
n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a +++=L ，则
()0121n
n a a a a -+-+-L 的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得5n =，利用赋值法可求得2λ=，再令1x =-即可得解. 【详解】
Q ()1n
x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
∴23
n n C C =，∴5n =，
令0x =，则05
1a =，
令1x =，则()015
5212422431a a a a λ+=++=+=++L ，
∴2λ=，
令1x =-，则()0525
1112a a a a -=+--+=-L . 故选：B. 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，属于中档题.
8．如果一个三位数，各位数字之和等于10，但各位上数字允许重复，则称此三位数为“十全九美三位数”（如235，505等），则这种“十全九美三位数”的个数是（ ） A ．54 B ．50 C ．60 D ．58
【答案】A 【解析】 【分析】
利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况，即可得答案. 【详解】
利用分类计数原理，分成有重复数字和无重复数字的情况：
（1）无重复数字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个， （2）有重复数字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14个. 故选：A. 【点睛】
本题考查分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不重不漏.
9．若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ）
8588
【答案】C
【解析】
【分析】
设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果.
【详解】
设1路车到达时间为x和2路到达时间为y．（x，y）可以看做平面中的点，
试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x，y）|0≤x≤10且0≤y≤20}，这是一个长方形区域，面积为S＝10×20＝200
A表示某生等车时间不超过5分钟，
所构成的区域为a＝{（x，y）|0≤x≤5或0≤y≤5}，
即图中的阴影部分，面积为S′＝125，
代入几何概型概率公式，可得
P（A）
'1255
2008 S
S
===
故选C
【点睛】
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
10．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）
5
3
15
5
【答案】C 【解析】 【分析】
题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】
题目包含两种情况：
第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，231461
5
C p C ==；
第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，442461
15
C p C ==；
故12415
p p p =+=. 故选：C . 【点睛】
本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.
11．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ） A ．
518
B ．
12
C ．
59
D ．
79
【答案】D 【解析】 【分析】
现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，他取到的书的书
名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，由此能求出他取到的书的书名中
有“算”字的概率． 【详解】
解： 小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459
m p n ===． 故选：D ． 【点睛】
本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.
12．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．24 D ．48
【答案】A 【解析】 【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有212421
2
2
6C C C A =种分组方法；
②将分好的3组对应3名任课教师，有3
36A =种情况；
根据分步乘法计数原理可得共有6636⨯=种不同的问卷调查方案． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．
13．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么
()(2
20210139)a a a a a a +++-+++L
L 的值为（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．101)
【答案】C 【解析】 【分析】
令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得；
【详解】
解：因为
)10
2
10
1
2
10
x
a a x a x a x =++++L ，
令1x =得)10
1
2
3
10
1a a a a a =++++L ，
令1x =-得)10
1
2
3
10
1a a a a a =-+-++L ，
所以()(2
20210139)a a a a a a +++-+++L L
()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L
))
10
10
1
1
=
⋅
))
10
11⋅
⎡⎤⎣
⎦
=
1011== 故选：C 【点睛】
本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．
14．在区间[2,2]-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（ ） A ．
16
B ．
12
C ．
13
D ．
14
【答案】D 【解析】 【分析】
先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果. 【详解】
由20x x -<得01x <<，所以所求概率为101
2(2)4
-=--，选D.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
15．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在(0,1)内增大时，“()E ξ减小”是“()D ξ增加”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求()E ξ和()D ξ，然后换元()t E ξ=，
()2
21331321
222228
D t t t ξ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，利用函数的单调性，判断充分必要条件.
【详解】
由题意可知：()()2
21210p p p p -+-+= ， 且()2
011p <-<，()0211p p <-<，2
01p <<
解得：01p <<，
()()()2
211121341E p p p p p ξ=-⨯-+⨯-+⨯=-，
()()()()()()2
2
2
2
2
141114121341D p p p p p p p ξ=----+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
288p p =-+，
设()411,3E p t ξ=-=∈-，
2
21113884422t t D t t ξ++⎛⎫=-⨯+⨯=-++ ⎪
⎝⎭ ()2
1122
t =-
-+， 当()1,1t ∈-时，D ξ增大，当()1,2t ∈时，D ξ减小， 所以当E ξ减小时，不能推出D ξ增加； 设()2
880,2D p p t ξ=-+=∈，
2
1822p t ⎛
⎫--+= ⎪⎝⎭，
2
1228t p -⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
当102p <<
时，12p =，此时1412
E ξ⎛=- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ也增加，
当
112p ≤<时，12p =+1412E ξ⎛=+- ⎝，当D t ξ=增加时，E ξ减小，
所以当D ξ增加，不能推出E ξ减小.
综上可知：“E ξ减小”是“D ξ增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】
本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.
16．已知()9
29012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
求出二项式()9
13x -展开式的通项为()193r
r
r T C x +=⋅-，可知当r 为奇数时，0r a <，当
r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++⋯+的值.
【详解】
二项式()9
13x -展开式的通项()193r
r r T C x +=⋅-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数
时，0r a >，
因此，()9
9
0191314a a a ⎡⎤++⋯+=-⨯-=⎣⎦
. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
17．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<
D ．12
E E ξξ>，12D D ξξ>
【解析】
【分析】
分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.
【详解】
1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，
()1409P ξ==
，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999
D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯==
=⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399
D ξ=⨯+⨯-=, 故12
E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.
【点睛】
离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.
18．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）
A ．E E ξη<，D D ξη<
B ．E E ξη<，D D ξη>
C ．E E ξη<，
D D ξη=
D ．
E E ξη=，D D ξη=
【答案】C
【解析】
由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η．
【详解】
由题意得：
E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116
， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-
⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236
=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-
）216⨯+（2136-）212⨯+（3136
-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η．
故选：C ．
【点睛】 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．
19．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有
A ．24种
B ．48种
C ．96种
D ．144种
【答案】C
【解析】
由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位
置把A 排列，有122A =种结果，Q 程序B 和C 实施时必须相邻，∴把B 和C 看做一个元
素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有424248A A =，根据分步计数原理知共有24896⨯=种结果，故选C.
20．在区间[]0,1内随机取两个数m ､n ，则关于x 的方程20x m +=有实数根的概率为（ ）
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程有实根可得到约束条件，根据不等式组表示的平面区域和几何概型概率公式可求得结果.
【详解】
若方程20x
nx m -+=有实数根，则40n m ∆=-≥.
如图，400101n m m n -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域与正方形0101m n ≤≤⎧⎨≤≤⎩的面积之比即为所求的概率，
即111124118
S P S ⨯⨯===⨯阴影
正方形. 故选：A .
【点睛】 本题考查几何概型中面积型概率问题的求解，涉及到线性规划表示的平面区域面积的求解，关键是能够根据方程有实根确定约束条件.。