【数学】中考数学压轴动态几何3供参考

【关键字】数学
动图中的函数关系
图形中引入动点以后，随着点的移动，便会引起其他相关量的变化，这样就会出现
变量之间的函数关系；而动点在运动过程中，也会引起相关图形的变化，这样就可能产生特
定形状、特定位置或特定关系的图形。

这些问题就需要借助方程来解决。

但不管是动点问题
引出的函数。

还是由动点引出的方程，却都需要借助于几何计算来建立。

因此，几何计算才
是图形动点问题得以解决的真正核心基础，也即
一、图形中动点形成的函数
例1 如图（1），中，点P是AC上的动点（P不与A，C重合）。

，点P到AB的距离为。

（1）求与的函数关系式；
（2）试讨论以P为圆心，半径为的圆与AB所在直线的位置关系，并指出相应的取值范围。

（1）（1`）
【观察与思考】（1）如图（1`），若于Q，要建立PQ和CP的函数关系，可以通过和
的相似关系。

（2）就是讨论⊙P的半径（即）和圆心P到AB的距离（即）
的大小关系。

解：（1）过P作于Q，如图（1`），则，
易知∽，，
化简得：。

（2）令，即解得，此时⊙P与直线AB相切。

对应地有：时，⊙P与直线AB相离；时，⊙P与直线AB相交。

【说明】本题的关键就是通过两直角三角形相似关系构成的比率等式导出函数关系式，再通
过⊙P和AB相切这一特殊情况来判断⊙P和AB的三种位置关系。

例2 如图（1），已知P为的边上的一点，以P为顶点的的两边分别交射线于两点，且为
锐角）。

当以点P为旋转中心，从PM边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（保持不变）
时，两点在射线上同时以不同的速度向右平行移动。

设，的面积为。

若。

（1）当旋转30°（即）时，求点N移动的距离；
（2）写出与之间的关系式；（1）（3）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围。

【观察与思考】首先要把题目的背景分析清楚：
①为锐角，且，得；
②旋转前，PM边与边重合，对应的图形为图①，其中是边长为2的等边三角形。

①②
对于问题（1），旋转30°后变为图形②，可知此时和都是直角三角形，弄清楚这些特点，
问题很容易解决。

对于问题（2）和（3），又要回到原题图，借助直角三角形及相似三角形，通过几何计算可
求出函数的表达式。

解：（1）初始状态时，是边长为2的等边三角形（如图①），当旋转30°到位置时对应的
图形为图（②）。

在中，。

点N 的移动距离为2。

（2）如图（1）在和中，。

∽，，即。

，（※）
过P 点作，垂足为D （如图③），
在中，，。

在中，，（※※）
由（※）和（※※）式得，即。

（3）在中，OM 边上的高PD 为，（见图③）。

即。

又的取值范围是。

（③）
是的正比率函数，且比率系数，即。

【说明】Ⅰ、对于运动中变化中的图形，在题目的图示中往往只给出一种一般情况下的图形，
但要把题目的全部背景和整个变化过程搞清楚，就需要如本题那样，仔细研究图形变动的每
种形态和联系。

Ⅱ、由本题的解可以看出，要顺利建立出函数关系式，关键在于发现题目中的三角形之相似
关系以及恰当地引用和构造直角三角形。

【练习】1、如图，在矩形中，P 为AC 的中点，直线，且分别与AB ，BC 相交于点E ，F 。

设的面积为，求关于的函数关系式。

例3 如图（1），已知直角梯形中，动点
P 沿 的路线以秒的速度向C 运动，动点Q 沿 线
路以秒的速度向C 运动，P ，Q 两点分别从A ，B 同时出发，当其中一点到达C 点时，另一
点也随之停止。

设运动时间为秒，的面积为。

（1）求AD 的长及的取值范围；
（2）求关于的函数关系式，并具体描述在P ，Q 运动过程中，的面积随变化而增大或减小
的情况。

【观察与思考】 首先，要把题目的背景搞清楚，如图（1`），将AB 平移至
DE ，易得5=EC ，即得3=AD 。

其次，要把运动全过程搞清楚：首先从时间上来看，点Q 共可运动8秒；点P
在AD 上运动5.1秒，在DC 上运动5.6秒，也是共运动8秒，再看PQB ∆的变
（1）
动情况：当5.10≤≤t 时，点P 在AD 上，此阶段图形大致如图（2`），而在
85.1≤<t 时，此阶段图形大致如图（3`）。

把这些情况都搞清楚了，问题（1）和问题（2）就容易解决了。

（1`） （2`） （3`） 解：（1）在梯形ABCD 中，,90,//︒=∠B BC AD 过D 作BC DE ⊥于E 点。

在DEC Rt ∆中，51213,13,1222=-===EC cm DC cm DE ，)(3cm AD =∴。

A D 12 13 12 A D P A D
P
点P 从出发到点C 共需82133=+（秒），点Q 从出发到C 共需81
8=（秒）。

又80,0≤≤∴≥t t 。

（2）①当5.10≤≤t 时，点P 在AD 边上，P 到BC 的垂线段长)(12cm h =。

t t h BQ S y PQB
6122
121=⨯⋅=⋅⋅=∴∆（5.10≤≤t ）。

②当85.1≤<t 时，点P 在DC 上，（图（3`），t PC 216-=。

过点P 作BC PM ⊥于M ，得CPM ∆∽CDE ∆。

DE PM DC PC =∴，即),216(1312.1213216t PM PM t -=∴=-又t BQ = ， 当5.10≤≤t 时，PQB t y ∆∴>=,06,6 的面积随t 的增大而增大。

当85.1≤<t 时，13
192)4(13121396131222+--=+-=t t t y 。

当45.1≤<t 时，PQB ∆的面积随t 的增大而（继续）增大。

当84≤<t 时，PQB ∆的面积随t 的增大而减小。

【说明】本题突现了函数表达式的分段情况源起于对图形动点引出的相关图形不同的变化形
态，足见深入和全面审题的重要。

二、图形中动点形成的方程
图形动点 几何计算 方程 例1 如图，（1），在等腰梯形ABCD 中，cm AD cm CD cm AB DC AB 6,2,8,//
===，
点P 从点A 出发，以s cm /2的速度沿AB 向终点B 运动，点Q 从点C 出发，以s cm /1的
速度沿CD ，DA 向终点A 运动。

（P ，Q 两点中，有一个点运动到终点时，所有运动终止）。

设P ，Q 同时出发并运动了t 秒。

（1）当PQ 将梯形ABCD 分成两个直角梯形时，求t 的值；
（2）试问是否存在这样的t ，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 积的一半？若存在，求出这样的t 的值；若不存在，请说明理由。

【观察与思考】第一，搞清楚背景图形：略； 第二，搞清楚运动的全过程：①从时间上来看，点P 共运动
4秒钟，而点Q 在CD 上运动2秒，在DA 上需运动6秒。

这
样，它们共同运动的时间为4秒，即点Q 在DA 上最多运
动到cm DQ 2=处。

②再从对应的图形来看，在20≤≤t 时，对应图形如原图（1），而在42≤<t 时，对应的图形就像图（1`）。

有了以上的研究，再来看看相应问题的解决方向和方法：
特定形状图形 特定位置图形
特定数量图形 P C
D
A D
B C
E P M Q
对于问题（1），对应的图形如图（1``），可通过EP DQ =构造
关于t 的方程来求解。

（1`） 对于问题（2），应计算出BPCQ S 四边形来（是关于t 的代数式），令它 等于ABCD S 梯形2
1，从所得方程解出相应的t 值。

但应特别注意，在计算 BPCQ S 四边形时，需分点Q 在CD 上还是在DA 上两种情况来讨论。

解：（1）过D 作AB DE ⊥于E ，过C 作AB CF ⊥于F ，如图（1``）。

（1``） BCF Rt ADE Rt ∆≅∆ ，)(3)28(2
1.cm BF AE BF AE =-==∴=∴ 若四边形APQD 是直角梯形，则四边形DEPQ 为矩形，有EP DQ =， 即3
5,322=∴-=-t t t 。

∴当3
5=t 秒时，PQ 将ABCD 分成两个直角梯形。

（2）在ADE Rt ∆中，)(333622cm DE =-=，
2
1=
ABCD S 梯形（8+2）)(315332cm =⨯。

当ABCD PBCQ S S 梯形四边形21=时， ①如图（1），若点Q 在CD 上，即20≤≤t ，则t BP t CQ 28,-==。

231533)28(21=⨯-+=t t S PBCQ 四边形，解得3=t （舍去）。

②如图（1※），若点Q 在AD 上，即42≤<t 。

（1※） 由图（1``）易知23633sin ===AD DE A ， 过点Q 作AB QG ⊥于G ，其反向延长线交CD 的延长线于H ，如图（1※），
在AQG Rt ∆中，2
)8(3sin ,8t A AQ QG t AQ -=⋅=-=， 在QDH Rt ∆中，2)2(3sin ,2-=
∠⋅=-=t QDH DQ QH t DQ 。

设ABCD PBCQ S S 四边形四边形21=，也即ABCD CDQ APQ S S S 梯形2
1=+∆∆，得 A B C
D P Q F
E A B C
D P Q H G
,2
3152)2(32212)8(3221=-⨯⨯+-⨯⨯t t t 即,01792=+-t t 42≤<t 。

解得21391+=t （不合题意，舍去），32
1392(21392<-<-=t ）。

∴存在2139-=
t ，使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半。

【说明】由本题可以看出：求动点引起的特定形状（PQ 将梯形ABCD 分成两个直角梯形）、特定数量（四边形PBCQ 的面积为梯形面积的一半）的图形，都是通过构造相应的方程来解决。

【练习】2、如图，等边三角形ABC 中，2=AB ，点P 是AB 边上的任意一点（点P 可以与点A 重合，但不与点B 重合），过点P 作BC PE ⊥，垂足为E ；过点E 作AC EF ⊥，垂足为F ；过点F 作AB FQ ⊥，垂足为Q 。

设y AQ x BP ==,。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；
（2）当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合。

例2 如图，在ABC Rt ∆中，16,12,90==︒=∠BC AC C
边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 位长的速度运动。

P ，Q 分别从点A ，C 停止运动。

在运动过程中，PCQ ∆关于直线PQ 对称的图形是PDQ ∆。

设运动时间为t （秒）。

（1）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？
（2）是否存在时刻t ，使得AB PD //？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。

【观察与思考】首先，搞清楚背景图形（略）；
其次，搞清运动全过程，在这里重点是搞清楚四边形PCQD 是由PQC ∆和它关于PQ 对称的图形PQD ∆组成的。

对于问题（1），应以AB PQ //，这一特征构造关于t 的方程来解决。

对于问题（2），应像图（1`）那样，用QMD Rt ∆∽ABC Rt ∆来反映AB PD //，并由此构造关于t 的方程来解决。

解：（1故应以CAB Rt ∆。

CP t CQ BC CA CB
CA CP ,4,16,12.=====∴ B C Q P P B C E
16412312t t =-∴，解得2=t 。

∴当2=t 秒时，四边形PQBA 是梯形。

（1``）
（2）设存在时刻t ，使得AB PD //，延长PD 交BC 于点M ，如图（1`），则
QMD Rt ∆∽ABC Rt ∆，AC
QD AB QM =∴， t QM AB AC t CQ QD 320,201612,12,422=
∴=+==== 。

又，若AB PD //，即有CPM Rt ∆∽CAB Rt ∆，则 ,CB CM CA CP =即16
320412
312t t t +=-，解得1112=t 。

∴当1112=t 秒时，AB PD //。

【说明】在本题，研究动点在运动过程中何时使“四边形PQBA 是梯形”——变化中成为特定形状的图形，能否使“AB PD //”——变化成为特定位置关系的图形，都是借助构造方程来解决的。

三、图形中动点形成的函数和方程
在更多情况下，是同时研究图形引入动点形成的函数及方程问题。

例1 如图①，ABC Rt ∆中，5,12,90==︒=∠BC AC C ，
点M 在边AB 上，且6=AM 。

（1）动点D 在边AC 上运动，且与点A ，C 均不重合，设x CD =。

①设ABC ∆与ADM ∆的面积之比为y ，求y 与x 之间的函数
关系式（写出自变量的取值范围）。

②当x 取何值时，ADM ∆是等腰三角形？写出你的理由。

（2
）如图②，以图①中的BC ，CA 为一组邻边的矩形ACBE 中，
D 在矩形边上运动一周，能使ADM ∆是以
AMD ∠为顶角的等腰
三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由。

）
【观察与思考】第一，搞清楚背景图形，如在图①中，13=AB ； ② 第二，搞清楚运动全过程，在（1）中，点D 在AC 上运动，ADM ∆
的边DA 的长随之变化，但该边上的高不变，边AM 也是不变的；在（2动至矩形ACBE 上的任意一点，所以AMD ∆的形状也相应地变化着，但的。

解：（1）①305122
121=⨯⨯=⋅=
∆BC AC S ABC ，又13=AB 。

过点M 作AC MH ⊥于H 。

（如图①`） AMH CB MH ∆∴,// ∽ABC ∆，得 13
305136136,136=⨯=⋅=∴==BC MH AB AM BC MH 。

①` A C D A C D A C D
)12(13
151330)12(2121x x MH AD S ADM -=⋅-⋅=⋅=∴∆。

,1226)12(13
1530x x S S y ADM ABC -=-==∆∆（其中120<<x ）。

②要使ADM ∆为等腰三角形，只有以下三种可能：
ⅰ、6==AM AD ，此时6612=-==CD x 。

ⅱ、MA MD =，即在图①`中应有AH DH =，而13
7213612,136=⨯=∴==AH AB AM AC AH
， ,13
72212⨯-==CD x 也即1312=x 。

ⅲ、MD AD =（如图①``）。

若过D 作AM DE ⊥于点E ，易知ADE Rt ∆∽ABC Rt ∆，
且32
1==AM AE 。

,AB
AD AC AE = 即13123AD =，得413=AD 。

43541312=-==∴CD x 。

①`` 综上可知：当435,1312,6===x x x 时，ADM ∆都可以是等腰三角形。

（2）注意到要求ADM ∆为等腰三角形，且以AMD ∠为顶角，也就是要求MA MD =，那么A 和D 都应以点M 为圆心，以MA 的长为半径的圆周上，为此，作草图如图②`，该圆与矩形的边共有5个交点（包括点A ），这些点中和M ，A 构以M 为顶角顶点的等腰三角形共有4个，如图中的4321,,,D D D D 。

【说明】在本题中，（1）中的①是转化为函数，（1）中
的②是转化为方程。

而对于（2），则主要通过分析图形
②` 的几何性质与画草图来解决。

例2 已知，如图（1），正方形ABCD 的边长为6，菱形在正方形ABCD 边AB ，CD ，DA 上，,2=AH 连结CF 。

（1）当2=DG 时，求FCG ∆的面积；
（2）设x DG =，用含x 的代数式表示FCG ∆的面积； （1） （3）判断FCG ∆的面积能否等于1，并说明理由。

【观察与思考】首先应当清楚，当点G 在DC 边上运动时， 菱形EFGH 的形状、大小从而点F 的位置都是变化的。

对于（1），应先搞清楚2=DG 时菱形EFGH 的形状和点F 的位置。

对于（2），关键是求FCG ∆中边CF 上的高。

对于（3），可借助于方程或函数的性质帮助作出判断。

解：（1）正方形ABCD 中，,2=AH 4=∴DH 。

A C D B E F D F
G
又2=DG ，52=∴HG ，即菱形EFGH 的边长为52。

在AHE ∆和DGH ∆中， ︒=∠=∠90D A 。

52,2====HG EH DG AH ，
∴DGH AHE DGH AHE ∠=∠∆≅∆.。

︒=∠∴90GHE ，即这时菱形EFGH 是正方形。

（1`） 同理可以证明CFG DHG ∆≅∆。

,90︒=∠∴EFG 即点F 在BC 边上，如图（1`），同时可得2=CF 。

42421=⨯⨯=∴∆FCG S 。

（2）作DC FM ⊥，M 为垂足，连结GE ，如图（1``）。

MGE AEG CD AB ∠=∠∴,// ， （1``）
MGF AEH FGE HEG GF HE ∠=∠∴∠=∠∴,,// 。

在AHE ∆和MFG ∆中，又有MFG AHE FG HE M A ∆≅∆∴=︒=∠=∠∴,,90。

2==∴HA FM ，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2。

x x S FCG -=-⨯⨯=∴∆6)6(221。

（3）若1=∆FCG S ，由16=-=∆x S FCG ，得5=x ，此时在DGH ∆中，41=HG 。

相应地，在AHE ∆中，637>=AE ，即点E 已经不在边AB 上。

故不可能有1=∆FCG S 。

三、课堂小结：
1. 图形引入动点后，大都会形成变动图形边长或面积的函数问题；
2. 这类函数关系的建立，核心基础是“几何计算”，注意恰当运用与构建直角三角形及相似三角形；
3. 解法的思考要特别注意从支背景图形和“变化过程”的全面研究入手。

4. 图形引入动点后形成的函数和方程问题，切入点在于深入，全面地研究“变动着的图形”， 解决的关键在于运用好“几何计算”。

四、作业布置：
1、如图（1），在梯形ABCD 中，︒=∠=∠===90,6,10D C cm CD cm BC AB
（1）如图（2），动点P ，Q 同时以每秒cm 1的速度从点B 出发，点P 沿BA ，AD ，DC 运动到点C 停止。

点Q 沿BC 运动到 点C 停止，设P ，Q 同时从点B 出发t 秒时，PBQ ∆的面积为)(21cm y ，求)(2
1cm y 关于t （秒）的函数关系式。

B E F M
D D
（1） （2） （3）
（2）如图（3），动点P 以每秒cm 1的速度从点B 出发沿BA 运动，点E 在线段CD 上随之运动，且PE PC =。

设点P 从点B 出发t 秒时，四边形PADE 的面积)(22cm y ，求)(22cm y 关于t （秒）的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围。

2、如图，已知矩形ABCD 的边长,6,3cm BC cm AB ==某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以s cm /1的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以s cm /2的速度向A 点匀速运动 问：
（1）经过多少时间，AMN ∆的面积等于矩形ABCD 面积的9
1？ （2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与ACD ∆相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由。

3、如图，在矩形ABCD 中，cm BC cm AB 4,3==。

设P ，Q
在点P 自点D 沿DB 方向匀速移动的同时，点
Q 自点B 沿BC 动的速度均为s cm /1，设
P ，Q 移动的时间为t （40≤≤t ）。

（1）写出PBQ ∆的面积)(2cm S 与时间)(s t 之间的函数表达式，当t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？
（2）当t 为何值时，PBQ ∆为等腰三角形？
（3）PBQ ∆能否成为等边三角形？若能，求t 的值；若不能，说明理由。

4、如图，正方形ABCD 的边长为cm 4，点P 是BC 结AP ，过点P 作AP PQ ⊥交DC 于点Q ，设BP 。

（1）求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；
（2）当cm y 41=时，求x 的值。

5、如图，在等腰梯形ABCD 中，,50,//==DC AB BC AD 。

点P 从
点B 出发沿折线段BA －AD －DC 以每秒5Q 从
点C 出发沿线段ＣＢ－ＢＡ－ＡＤ方向以每秒3向上作射线BC QK ⊥，交折线线段于点E ，点P ，Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 随之停止。

设点P ，Q 运动的时间是t 秒（)0>t 。

（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；
（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使DC PQ //？
（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD ，DA 上时，S
D N
M B C D
Q P
与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）。

能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围，若不能，请说明理由。

（4）PQE Array
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