线性系统理论多年考题和答案要点

2008级综合大题
[]400102110010112x x u y x
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=
1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？
2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？
3 求方程的传递函数；
4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）
5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；
6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。

参考解答： 1.
判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M B
AB
A B rank M ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==-=⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
系统不完全
可控，不能任意配置极点。

2
按可控规范型分解
取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求得1203311066
001P ⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
进行变换[]11
20831112,0,22260001A PAP B PB c cP --⎡
⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥=-====⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦
⎪=⎩
3.
12(1)(1)2(1)
()()(4)(2)(1)(4)(2)
s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-=
=-++-+
4.
det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。

12(1)
()()(4)(2)
s G s c sI A B s s --=-=
-+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不
是BIBO 稳定。

系统发散，不是李氏稳定。

5.
可以。

令11228,12T
k k k k A Bk k +⎡⎤⎡⎤
=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
则特征方程[]2
112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++--
期望特征方程*2
()(2)(3)56f s s s s s =++=++
比较上两式求得：728T
k -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
6.
可以。

设12l L l ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则11222821222l l A LC l l --⎡⎤
-=⎢
⎥--⎣⎦
特征方程2
2121()(222)1628f s s l l s l l =+-++--
期望特征方程*2
()(4)(5)920f s s s s s =++=++
比较得：103136L ⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
则：2043
310733A LC ⎡⎤
-⎢⎥-=⎢
⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
观测器方程为：20
41013
331070133
36x x u y ⎡⎤⎡⎤
-⎢⎥
⎢⎥⎡⎤=++⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
7. 框图
2007级线性系统理论 试题及答案 一、 简述：
1． 线性性质：一个系统对任何输入1u 和2u 及任何实数1α和2α，均有
()()()11221122H u u H u H u αααα+=+，称其为线性的。

2． 松弛性：0t 时刻松弛:输出()0,t y ∞唯一地由()0,t u ∞所激励时，称系统在0t 时刻松弛。

3． 时不变：一个系统的特性不随时间而变化。

4． 串联系统：系统只有1个输入，第一个子系统输出作为第二个子系统的输入，
第二个子系统的输出作为总的输出。

5． 状态转移矩阵：令()t ψ是()x A t x =的任一基本矩阵，对(),-∞∞中的t ，0t 称
()()()100,t t t t -Φ=ψψ是()x A t x =的状态转移矩阵。

二、101021x x u ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ [12]y x =
1．验证能控、能观；
2．是否稳定、渐近稳定，分别为什么；
3．假设初始状态未知，能否找到一个()0,u +∞使y e =；
4．()000x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()y t 的单位阶跃响应，()10
00
t u t t ≥⎧=⎨<⎩；
5．能否配置状态反馈使()2,3--是新的极点？若能，找出K ，若不能，说明理由； 6．设计全维观测器，使极点为()4,5--，画出结构图。

解：1．[]11212rank B
AB rank ⎡⎤
==⎢⎥
⎣⎦
，可控， 12214C rank rank CA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
,可观； 2．系统为线性时不变的，故 稳定性与渐近稳定性等价。

令()det 0sI A -=，即()()120s s --=，所以特征值为11s =、22s =，不稳定，
亦不渐近稳定；
3．()()()0
0t
A t At y t Ce x Ce Bud τ
τ-=+⎰
[][]1022()020112121t
t t t t x e e ud x e e τττ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰
()2210202t t t t e x e x e e u =+++-
令()y t e =，由于10x ，20x 未知，u 无解，找不到；
4．由3得：()()22220
002000t t t
t
t
t
e e t y e e e e u t ⎧+-≥=⋅+⋅++-=⎨<⎩
5．设[]12K k k =，1
21212k k A BK k k +⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦
令()1
221
21det 56det 2s k k sI A BK s s k
s k ---⎡⎤
-+=++=⎡⎤⎢⎥⎣⎦---⎣⎦
解得：112k =，220k =-， 因此[]1220K =-
6． 设[]12T
L l l =,11221222l l A LC l l --⎡⎤-=⎢⎥
--⎣⎦
令()112
2212det 920det 22s l l sI A LC s s l s l -+⎡⎤
--=++=⎡⎤⎢⎥⎣⎦
-+⎣⎦
解得：130l =-，221l =，因此[]3021T
L =-. （结构图 略）
三、
确定参数a 、b 的范围，使系统能控能观：
1．11002100031a x x u -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ []001y x = 2．00100101111x x u a ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ []01y b x = 3．使李氏稳定，74001100a x x ---⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
解：1．2014015139a a U B
AB
A B -⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，令3rankU =，得1a ≠- 22001003C V CA CA CA ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
,2rankV ≤，a 无解，
所以 找不到合适的a 的范围使系统能控能观；
2．20
111112a a U B
AB
A B a a a +⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦
，令3rankU =，得1a ≠
20
11120C b V CA b b b CA b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦
，令23det 0V b b =+≠，得0b ≠且1b ≠- 所以，当1a ≠，0b ≠且1b ≠-时，系统可控可观； 3．()32det 47sI A s as s -=++- ()320123a s a s a s a +++ 要让()det sI A -根小于0，有两种做法：
①根据经验：21030j a a a a a >⎧⎨>⎩⇒0
7047
a a >⎧⎪
->⎨⎪>-⎩
⇒a 无解
②劳斯判据：
32
1
147
477
s s a a s
a s ---
令第一列元素均大于零，a 无解，因此肯定有一个正根 所以，该系统找不到合适的a 使系统李氏稳定。

四、1．()222332421s s s G S s s s +⎡⎤⎢⎥
++=⎢⎥+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦
，实现若当标准型；
解：()()2
020111
11250121G s s s s -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
110001010021x x u -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
02105201y x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
注：①A 为若当标准型，B 为[]0
010
01T
，C 为每个λ对应
的[]N 按从高到低幂数排列，E 为直接传递部分（常数）；
②以上仅对单输入正确，多输入需分解N 为i i C B ⨯（满秩分解）。

2．按行展开，实现不可简约实现，大家看作业吧，这个题目看不清楚；
3．00200
00
120001252120
0120
2x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦
，实现可控标准型。

（可控标准型当然必然可控了，我擦） 解
：
22212
12
12
00024
001221012210522
20
1
2
B
AB
A B
b b Ab Ab A b A b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
13u =，31u =，重排得1
211
1
1
20020012012520
012P b Ab A b b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
求得10
21
111000.50000.250
00.5P --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥
⎢
⎥-⎣⎦
取1P 的第三行（u1=3）为[]10.5000h =
1P 的第四行为[]20.25000.5h =-
计算1h 、1h A 、2
1h A 、2h ，得1122120.5000010000100.250
00.5h h A P h A h ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦
⎣⎦ 因此得1
22000010000101
002P -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
所以12201000
010********A P AP -⎡⎤⎢⎥⎢
⎥==⎢⎥
-⎢⎥
⎣⎦,20
000120
1B P B ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， 则可控标准型为：01000
00
0100031261220000
1x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦
五、100011001A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100101B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，100011C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 1．叙述并证明分离性原理；
2．要用状态反馈将系统特征值配置到{}123---，并用降维观测器实现所需要的反馈。

解：1．组合系统：
()ˆˆˆ,x Ax BKx Br x
A LC BK x Ly Br y Cx =++⎧⎪
⎨
=-+++=⎪⎩
即ˆˆx A BK
x B r LC A LC BK x B x
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 作等价变换 0ˆP
x I
x x I
I x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
新的动态方程为：00x A BK
BK x B r x A LC x +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[]0x y C x ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
此系统闭环特征多项式与原系统相同，均为
()()2det det det 0n n n A BK
BK sI sI A BK sI A LC A LC ⎧+-⎫
⎡⎤-=-+--⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢
⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦⎩
⎭
上式表明，状态反馈设计与估计器设计互不影响，分开进行；
2．⑴设12
345
6k k k K k k k ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
1
234564561111k k k A BK k k k k k k -+⎡⎤⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥+⎣⎦
令()()()()det 123sI A BK s s s -+=+++⎡⎤⎣⎦
解得（特解）12340k k k k ====，512k =-，65k =
即0000125K ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
⑵取100011001C P R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,则1
100011001P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
所以1100011001A PAP --⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,100201B PB ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1
100010C CP -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 所以111001A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1201A ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦,[]2100A =,211A = 11002B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,[]201B =,11001C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
,200C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 令[]12L l l =，需观测的状态数为一阶，[]12T
u u u =，[]1
2T
y y y =
()()()()
22122121112212z A LA z B LB u A LA A LA L y ⎡⎤=-+-+-+-⎣⎦
()()()2
211221*********l z l u l u l l l y l y =--+-+--
[]211
210ˆI y y x P Q Q L I Ly z z -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 因为状态反馈极点为{}123---，令估计器极点为-4，取10l =，26l = 估计器方程：224925z z u y =---
010ˆ105105x z y ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
六、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态0e x =是否为大范围渐进稳定。

122
2112
x x x x x x =⎧
⎨=--⎩ 解：取李亚普诺夫函数()2212V x x x =+
()()22212
12211212122220dx dx V V V x x x x x x x x x x dt x dt
∂∂=
+=+--=-≤∂∂ 所以，系统在原点是李氏稳定的
若1200x x =⎧⎨=⎩，则可求得方程只有零解1200
x x =⎧⎨=⎩ 所以，()V x 沿非零解，不恒为0。

（=0时只有零解） 又由当0x →时，()lim V x →∞ 所以，系统在原点是大范围渐近稳定的。

北京理工大学2006-2007学年第一学期
2006级硕士研究生《线性系统理论》期末考试试卷
一、 判断下列论述是否正确，并简述理由（每题4分，共40分）：
1 若系统的输入-输出描述是线性的，则状态空间描述也一定是线性的；
2 两个时不变子系统的传递函数正则，则它们的反馈连接一定是良定的，且闭环系统适定；
3 线性系统的状态转移矩阵是特殊形式的基解矩阵；
4 线性离散时间系统的通达性与能控性、能观性与能重构性完全等价；
5 常值输出反馈不改变系统的能控性，但改变系统的能观性；
6 脉冲响应矩阵的能控能观线性时变系统实现不一定是最小阶的；
7 状态反馈不改变线性时不变系统的能控性和能控性指标集，但可能改变其能观性；
8 可以使用使用串联补偿的方法镇定对象1/(1)s -；
9 设线性时不变系统的所有不可简约描述具有相同的传递函数，则它们严格系统等价； 10 如果多变量线性系统具有相同的零点和极点，则必然不能控，或不能观，或同时不能控和不能观。

二、
试证系统的严格正则右矩阵分式描述1
()()()H s N s D s -=的控制器形实现能观的
充分必要条件为()D s 和()N s 右互质（10分）。

三、
考虑如下线性时不变系统：
[][]001000303110()()1141011
01000()1000()21()
x x t u t y t x t u t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=+ 1 将系统化为控制器形，并诵读合适的线性状态反馈律u Fx r =+，使闭环系统的极点为(3,2,1)j --±-（8分）；
2 若状态不能直接测量，设计特征值为(6,4,4,2)----的动态观测器（2分）。

四、x Ax =的零状态渐近稳定，当且仅当对任意给定的半正定对称阵Q ，其中，}{
,A Q 能观，Lyapunov 矩阵方程： T A P PA Q +=-
有唯一的正定对称解P ，且0T
A t At P e Qe dt ∞=
⎰（10分）。

五、 系统的传递函数矩阵为 22
222(1)(2)(2)()(2)(2)s s s s s H s s s s s ⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥++⎣⎦
1 确定系统的极点、传输零点及McMillan 阶数（5分）；
2 确定系统的输入解耦、输出解耦及输入-输出解耦零点（5分）；
3 试求传递函数矩阵的观测器形实现（5分）。

六、 设子系统11111:r r S H N D -=和12122:l l S H D N -=均不可简约，将两个子系统串联
连接，1S 位于2S 之前。

试求
1 串联系统的多项式矩阵描述（5分）；
2 在什么条件下，串联系统能控（5分）；
3 在什么条件下，串联系统能观（5分）。

北京理工大学《线性系统理论》２００４期末试题
1 （15---分）考虑系统X = Ax + Bu 其中
Ａ=0100001000011134⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ Ｂ= 10000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(1) 判断系统是否完全可控，并给出该系统的控制器型。

(2) 确定反馈矩阵Ｆ，使得Ａ＋ＢＦ的特征值为1j -±和2j -±。

2 （20====分）考虑系统X = Ax + Bu ｙ＝Ｃｕ，其中
Ａ＝010001101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
Ｂ＝001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ Ｃ＝[]120 （1）确定适当的线性反馈控制律ｕ＝Ｆｘ＋ｇｕ，使得闭环系统传递函数等于期望传递函数 2132
m H s s =++ 这是模型匹配的一个例子，即补偿给定系统，使得它能与期望模型的输入－输出行为匹配。

（2）补偿后的系统是否能控？能观？请说明理由。

（3）设计特征值为－１０，－１０，－１０的状态观测器，在状态不能直接获取的情形下，重复（１）和（２）。

3（15分）证明（Ａ，Ｃ）能观当且仅当（Ａ，T C C ）能观，其中A 和C 分别为n ⨯n 和p ⨯n 的常值矩阵，T C 是Ｃ的转置。

4 （15分）给定如下标量微分方程 .11x x t -⎛⎫= ⎪+⎝⎭
对任意()00x t x =，00t ≥ 方程唯一解为 ()()00001,,11t t x t x t φ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭
确定方程的平衡点，判断系统是否一致稳定？大范围渐进稳定？一致渐进稳定？并阐明理由。

5 （15分）考虑下列传递函数
()23232332362311(1)(2)(1)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(1)s s s s s s s s s H s s s s s s s s s ⎡⎤-----⎢⎥+-+-+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+-+-+⎣⎦
（1） 给出H(s)的Smith-McMillan 标准型
（2） 确定H(s)的极点多项式和最小多项式以及它的极点和传输零点
（3） 给出其观测器形的最小实现
S，i=1,2,3如同1所示连接，其中各个子系统有合适的输入输出6 （20分）设三个子系统
i
维数能进行图示的连接。

P q Q q R q W q}
（1）写出整个系统的多项式矩阵描述{(),(),(),()
（2）讨论整个系统的内部和外部稳定性与各个子系统的内部和外部稳定性的关系，并给出具体推倒过程
（3）子系统的不能观/不能控特征值是否仍然是整个系统的不能观/不能控特征值？说明判断的依据
（4）设各个子系统完全能控能观，试给出整个系统能控能观的条件，并给出证明。