2016届高三理科数学一轮复习课件：第八章 立体几何-2

2 的圆柱体和半径为 1 的球体的组合体，分别计算其体积，
相加得 π×22×2＋43π＝238π.
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第八章
立体几何
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3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这 个圆锥的全面积为________．
答案 3π 解析 已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的
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【解析】 AB＝4，R＝2，
S 球＝4πR2＝16π.
设
DC＝x，则
AC＝2x，BC＝sinx60°＝2
3x 3.
在 Rt△ABC 中，4x2＋4×93x2＝16，x＝ 3，
S 锥侧上＝πrl＝π· 3·2 3＝6π，
故该几何体的体积 V＝13π×22×2＋π×12×4＝230π m3. 【答案】 230π
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(2)若一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视 图如图所示，则该几何体的表面积为________．
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2．几何体的体积
(1)V柱体＝ Sh . 1
(2)V锥体＝ 3Sh . (3)V台体＝ 13(S′＋ SS′＋S)h ，V圆台＝13π(r21＋r1r2＋r22)h ， V球＝ 43πR3 (球半径是R)．
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＝325，因此题中的几何体的表面积为 6＋14＋15＋125＋325＝
60，选 B.
【答案】 B
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(2)(2015·辽宁抚顺六校联考)若一个几何体的三视图如图 所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为 ()
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1．若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的
表面积是( )
A．8π
B．6π
C．4π
D．π
答案 C
解析 设正方体的棱长为a，则a3＝8.
而此内切球直径为2，∴S表＝4πr2＝4π.
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23
47
A. 3
B. 6
C．6
D．7
【解析】 画出几何体的直观图，根据直观图及体积公
式求解．由三视图知，几何体的直观图如图所示．该几何体
是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为 V＝2×2×2
－2×13×12×1×1×1＝233.
【答案】 A
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(2)(2015·合肥质检)下图是一个几何体的三视图，根据图 中所给的数据，求这个几何体的表面积和体积．
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授人以渔
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题型一 多面体的表面积和体积
例1 (1)(2014·安徽文)若一个多面体的三视图如图所示， 则该多面体的体积为( )
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又∵△SAD 是等腰三角形，∴SF⊥AD. ∴SF＝2 2. ∴S▱ABCD＝4，S△SBC＝2， S△SAB＝S△SCD＝ 5，S△SAD＝2 2. ∴SS－ABCD＝6＋2( 2＋ 5)． ∴VS－ABCD＝13·SABCD·SE＝83. 【答案】 6＋2( 2＋ 5)，83
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△ABC 的面积等于12×3×4＝6.AA1⊥平面 ABC，则直角
梯形 ABEA1 的面积等于12×(2＋5)×4＝14，矩形 ACC1A1 的面
积等于 3×5＝15.过点 E 作 EF⊥AA1 于点 F，则 EF＝AB＝4， A1F＝B1E＝BB1－BE＝3，则 A1E＝5，所以△A1C1E 的面积等 于12×3×5＝125，直角梯形 BCC1E 的面积等于12×(2＋5)×5
母线，底面半径与轴截面三角形之间的关系，根据圆锥的全
面积公式可求．如图所示，设圆锥轴截面三角形的边长为 a，
则 43a2＝ 3，∴a2＝4，∴a＝2.
∴圆锥的全面积为 S＝π(a2)2＋π·a2·a＝3π.
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探究1 求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其 中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱 台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关 系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．
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思考题1 (1)(2014·重庆理)若某几何体的三视图如 图所示，则该几何体的表面积为( )
A．54 C．66
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B．60 D．72
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题型二 旋转体的表面积和体积
例2 如图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直 角三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为 旋转轴旋转180°形成一个几何体，求该几何体的表面积及体 积．
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探究2 此类题只需根据图形的特征求出所需元素(半 径、高等)，然后代入公式计算即可．
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4．(2014·山东文)一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边 长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ________．
答案 12 解析 由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥
的高为 h，则13×6× 43×22×h＝2 3，解得 h＝1，底面正六
边形的中点到其边的距离为 3，故侧面等腰三角形底边上的
1．几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是____矩__形_____、 __扇_形___、__扇__环___． (3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积 为S柱＝ 2πr2＋2πrl ，S锥＝ πr2＋πrl .
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【解析】 题中的几何体可看作是从直三棱柱 ABC－
A1B1C1中截去三棱锥E－A1B1C1后所剩余的部分(如图所示)， 其中在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝4.AC＝3， 则BC＝5，
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(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台 的表面积为S＝ π(r21＋r22)＋π(r1＋r2)l .
(5)球的表面积为 4πR2 .
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S 锥侧下＝πrl＝π· 3·2＝2 3π， S 表＝12(S 球＋S 锥侧上＋S 锥侧下)＝(11＋ 3)π. ∴V＝12(V 球－V 锥上－V ) 锥下 ＝1243πR3－13πCD2AD＋BD＝130π. 【答案】 S 表＝(11＋ 3)π，V＝130π
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新课标版 ·数学（某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )
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28 A. 3 π
16 B. 3 π
C.43π＋8 答案 A
D．12π
解析 由三视图可知，该几何体为底面半径是 2，高为
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能 正确描述现实生活中简单物体的结构．
2．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公 式．(不要求记忆台体的体积公式)
请注意 柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积) 是高考热点．
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第八章 立 体 几 何
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第2课时 空间几何体的表面积、体积
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【解析】 右图是还原后的几何体的直观图，分别取 BC，AD的中点E，F，连接SE，EF，SF，由图中数据有
AB＝BC＝CD＝DA＝SE＝EF＝2，BE＝EC＝1， ∵△SBC 是等腰三角形，∴SB＝SC＝ 5.
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思考题2 (1)(2014·天津)若一个几何体的三视图如 图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
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【解析】 根据三视图还原出几何体，利用圆柱和圆锥 的体积公式求解．
根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为 4 m， 高为 2 m 的圆锥，下部是一个底面直径为 2 m，高为 4 m 的 圆柱．
VV12的值是________．
答案
3 2
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解析 设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是 r1，r2，母 线长分别是 l1，l2.则由SS12＝94，可得rr12＝32.又两个圆柱的侧面 积相等，即 2πr1l1＝2πr2l2，则ll12＝rr12＝23，所以VV12＝SS12ll12＝94×23 ＝32.
高为 3＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12.
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5．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，
S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，且SS12＝94，则
1 A.3 C．1
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B. 3 3
D. 3
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【解析】 原几何体为三棱锥，如图所示．
其中平面 PBC⊥底面 ABC，PD＝ 3，BC＝2，AD＝1，
所以 V＝13×12×2×1×
3＝
3 3.
【答案】 D