2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：56 最值、范围、证明问题 Word版含解析

课时作业56 最值、范围、证明问题
第一次作业 基础巩固练
1．已知动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线l ：x ＝－1相切．
(1)求动圆圆心轨迹E 的方程；
(2)若动点M 为直线l 上任一点，过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .
解：(1)由题知，动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .
(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，所以可
设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝my ＋1，
y 2＝8x ，
消去x ，得y 2－8my
－8＝0，Δ＝64m 2＋32>0恒成立，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (－1，t )，
则y 1＋y 2＝8m ，y 1·y 2＝－8，x 1＋x 2＝8m 2＋2，x 1·x 2＝1， 而2k MP ＝2·t
－1－1＝－t ，
k MA ＋k MB ＝y 1－t x 1＋1＋y 2－t
x 2＋1
＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1
＝1
8y 1y 2(y 1＋y 2)＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1
＝－t (8m 2＋4)8m 2＋4
＝－t ，
所以k MA ＋k MB ＝2k MP .
2. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (1,0)，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，AB →＝6BC →
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求△MNQ 面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．
解：(1)由题知A (－a,0)，C (0，a )，故B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－a 7，6a 7，
代入椭圆E 的方程得149＋36a 2
49b 2＝1，结合a 2－b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝3，
故椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设l ：x ＝my ＋1，代入x 2
4＋y 23
＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4，
连接ON ，由Q 与M 关于原点对称知， S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2|
＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝12m 2
＋13m 2＋4
＝
12
3m 2＋1＋1
m 2
＋1
， ∵m 2＋1≥1， ∴3m 2＋1＋1
m 2
＋1
≥4， ∴S △MNQ ≤3，
当且仅当m ＝0时，等号成立，
∴△MNQ 面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x ＝1. 3．(2019·河南洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．
(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．
解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.
∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .
(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p 2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 2
12p ，B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 2，x 2
22p . 由⎩⎨
⎧
y ＝kx ＋p 2，
x 2＝2py
消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.
∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，k 2
p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫kp ，－p 2.
∴k AN ＝x 2
12p ＋p 2x 1－kp ＝x 21
2p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 2
2
＝x 1
p .
又x 2
＝2py ，∴y ′＝x
p .
∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1
p . ∴直线AN 与抛物线相切．
4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭
圆过定点M ⎝
⎛⎭⎪⎫
1，22.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A →
＝λF 2B →
，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．
解：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋1
2b 2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2， 故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎨⎧
x ＝ky ＋1，
x 22＋y 2
＝1
得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1
k 2＋2.
QC →＝QA →＋QB →
＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)
＝⎝
⎛⎭⎪⎫
－4(k 2＋1)k 2
＋2，－2k k 2＋2， ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2，由此可知，|QC →|2
的大小与k 2的取值有关．
由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2
，1λ＝y 2
y 1
(y 1y 2≠0)．
从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2
y 1
＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4
k 2＋2
， 由λ∈[－2，－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2
－4
k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤2
7.
令t ＝1
k 2＋2
，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，
∴|QC →|2＝8t 2
－28t ＋16＝8⎝
⎛⎭
⎪⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.
5．(2019·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为3
2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．
解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)，
由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧
2a ＝4，
e ＝c a ＝3
2，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，
故椭圆C 的方程为y 24＋x 2
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎨⎧
x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1
得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，
故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3
k 2＋4，
设△OAB 的面积为S ， 由x 1x 2＝－3
k 2＋4<0，
知S ＝1
2×1×|x 1－x 2| ＝1
2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2
k 2＋3
(k 2＋4)2
，
令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21
t ＋1
t ＋2
. 对函数y ＝t ＋1
t (t ≥3)，
知y ′＝1－1t 2＝t 2
－1
t 2>0，
∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥10
3， ∴0<1t ＋1t ＋2
≤316，∴0<S ≤3
2.
故△OAB 面积的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤
0，32.
第二次作业 高考·模拟解答题体验
1．(2019·四川成都七中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为2
2，过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为4 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当△ABF 2的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)由椭圆的定义知4a ＝42，a ＝2， 由e ＝c
a 知c ＝ea ＝1，
b 2＝a 2－
c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，|F 1F 2|＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －1，
联立x ＝my －1与x 22＋y 2
＝1，
得(m 2＋2)y 2
－2my －1＝0，|y 1－y 2|＝22m 2
＋1m 2＋2
，
S △ABF 2＝22m 2＋1
(m 2＋2)2
＝22
1
m 2＋1＋1
m 2＋1
＋2
， 当m 2＋1＝1，m ＝0时，S △ABF 2最大为2，l ：x ＝－1. 2．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为1
2，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.
(1)求椭圆M 的标准方程；
(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆
的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求P A →·F 2C →
的取值范围．
解：(1)由题意知c a ＝12，1
2·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 2
3＝1.
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m .
将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 2
3＝1得， (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝－8km
4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.
因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2， 即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )
x 1－1
， 整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0， 所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0，
解得m ＝－4k .
所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)． 因为
y 21＝3－34x 21，所以P A →·F 2C →
＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－
5x 1＋4－y 2
1＝74
x 21－5x 1＋1＝74⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1－1072－187
.
因为－2<x 1<2，所以P A →·F 2C →的取值范围是⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
－187，18.
3．(2019·广东华南师大附中模拟)已知点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2
＝16上任意一点，点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．
(1)求动点P 的轨迹方程E ；
(2)设点A (4,0)，若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B ，证明：点B 恒在曲线E 上，并求△P AB 面积的最大值．
解：(1)由题意得，F 点坐标为(1,0)，因为P 为CF ′中垂线上的点，所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4，所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2，由椭圆的定义知，2a ＝4，c ＝1，所以动点P 的轨迹方程E 为x 2
4＋y 2
3＝1.
(2)设P 点坐标为(m ，n )(n ≠0)，则Q 点的坐标为(m ，－n )，且3m 2＋4n 2＝12，
所以直线QA ：y ＝n
4－m (x －4)，即nx －(4－m )y －4n ＝0，
直线PF ：y ＝n
m －1(x －1)，
即nx －(m －1)y －n ＝0.
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
nx －(4－m )y －4n ＝0，
nx －(m －1)y －n ＝0，
解得x B ＝5m －82m －5，y B ＝3n
2m －5
，
则x 2B
4＋y 2
B 3＝(5m －8)24(2m －5)2＋(3n )23(2m －5)2
＝25m 2－80m ＋64＋12n 24(2m －5)2
＝16m 2－80m ＋1004(2m －5)2＝1，
所以点B 恒在椭圆E 上．
设直线PF ：x ＝ty ＋1，P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty ＋1，3x 2＋4y 2
＝12，
消去x 整理得(3t 2＋4)y 2
＋6ty －9＝0，所以
y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－9
3t 2＋4
，
所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝
(－6t 3t 2＋4)2＋36
3t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4
， 从而S △P AB ＝1
2|F A ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4
＝18t 2＋13(t 2＋1)＋1
＝18
3t 2＋1＋1
t 2
＋1
. 令μ＝t 2
＋1(μ≥1)，则函数g (μ)＝3μ＋1
μ在[1，＋∞)上单调递增，故g (μ)min ＝g (1)＝4，所以S △P AB ≤184＝9
2，即当t ＝0时，△P AB 的面积取得最大值，且最大值为9
2.
4．(2019·河北邢台模拟)已知椭圆W ：y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2
＝1的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直，且l 与W 交于M ，N 两点．
(1)求W 的方程；
(2)求△MON 的面积的最大值．
解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
a 2－
b 2＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，b 2＝3，故W 的方程为y 24＋x 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 24＋x 2
3＝1，
x 2
4＋y 2＝1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝3613，
y 2
＝413，
∴y 2x 2＝19.
又A 在第一象限，∴k OA ＝y x ＝13.
故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .
联立⎩⎨⎧ y ＝－3x ＋m ，
y 24＋x 23＝1，
得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝18m 31，x 1x 2＝3m 2－1231.
∴|MN |＝1＋(－3)2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10×4331－m 231
. 又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10
， 则△MON 的面积S ＝12d ·|MN | ＝23|m |31－m 2
31
， ∴S ＝23m 2(31－m 2)31≤331
(m 2＋31－m 2)＝3，当且仅当m 2＝31－m 2，即m 2＝312时，满足Δ>0， 故△MON 的面积的最大值为 3. 5．(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点
为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直
线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．
解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，
可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，
由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.
所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.
(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)． 由已知有y 1>y 2>0，
故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.
又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB
， 而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.
由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2.
由方程组⎩⎨⎧ y ＝kx ，
x 29＋y 2
4＝1，
消去x ，可得y 1＝6k 9k 2＋4
. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1.
由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2
－50k ＋11＝0，解得k ＝12，或k ＝1128.
所以，k 的值为12或1128.。