江苏省盐城市东台市第二教育联盟八年级数学上学期10月月考试卷(含解析) 苏科版-苏科版初中八年级全册

2016-2017学年某某省某某市东台市第二教育联盟八年级（上）月考数学试
卷（10月份）
一、选择题：（本题共10题，每题3分，共30分）
1．下列四副图案中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（）
A．所有正方形都是全等图形
B．面积相等的两个三角形是全等图形
C．所有半径相等的圆都是全等图形
D．所有长方形都是全等图形
3．不能判断两个三角形全等的条件是（）
A．两角及一边对应相等B．两边及夹角对应相等
C．三条边对应相等D．三个角对应相等
4．已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=50°，则∠F的度数为（）
A．30° B．50° C．80° D．100°
5．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）
A．B．C．D．
6．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）
A．已知两条直角边
B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角
D．已知斜边和一直角边
7．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
8．如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC，则此图中全等三角形有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
9．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF 的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）
A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角
10．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG
的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：（本题共6题，每空2分，共16分．请将答案直接填在相应的横线上）
11．△ABC≌△DEF，
（1）若△ABC的周长为32，AB=10，BC=14，则DF=；
（2）∠A=48°，∠B=53°，则∠D=，∠F=．
12．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是．
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为．14．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=．
15．如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有个（不含△ABC）．
16．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是．
三、解答题：（本大题共8小题，共54分．）
17．按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中作∠ABC的角平分线（用直尺和圆规）
（2）在图2中过点P作l的垂线（用直尺和圆规）
（3）图3，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处将牛牵到河边C处饮水后再回家，试问C 在何处，所走路程最短？
18．如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠ABC=∠ADC．
19．（5分）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
求证：△ABC≌△DEF．
20．如图，已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE，试说明：∠1=∠2．
21．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠AFE的度数．
22．如图：AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AB=EC，BE=CD，EF⊥AD于F，
（1）试说明F是AD中点；（2）求∠AEF的度数．
23．如图，AD平分∠BAC，∠BAC+∠ACD=180°，E在AD上，BE的延长线交CD于F，连CE，且∠1=∠2，试说明AB=AC．
24．如图，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．
2016-2017学年某某省某某市东台市第二教育联盟八年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共10题，每题3分，共30分）
1．下列四副图案中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
【解答】解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，故A符合题意；
B、C、D都是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
2．下列说法正确的是（）
A．所有正方形都是全等图形
B．面积相等的两个三角形是全等图形
C．所有半径相等的圆都是全等图形
D．所有长方形都是全等图形
【考点】全等图形．
【分析】利用能够完全重合的两个图形叫做全等图形，进而分别判断得出即可．
【解答】解：A、所有正方形不一定是全等图形，故此选项错误；
B、面积相等的两三角形不一定全等，故此选项错误；
C、所有半径相等的圆都是全等图形，故此选项正确；
D、所有长方形不一定是全等图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形与面积的关系，熟练掌握基本图形的性质是解题关键．
3．不能判断两个三角形全等的条件是（）
A．两角及一边对应相等B．两边及夹角对应相等
C．三条边对应相等D．三个角对应相等
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理求解．
【解答】解：A、两角及一边对应相等满足ASA，可判定两个三角形全等；
B、两边及夹角对应相等满足SAS，可判定两个三角形全等；
C、三条边对应相等满足SSS，可判定两个三角形全等；
D、三个角对应相等不能判定两个三角形全等．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．已知△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠E=50°，则∠F的度数为（）
A．30° B．50° C．80° D．100°
【考点】全等三角形的性质．
【分析】要求∠F的大小，利用△ABC≌△DEF，得到对应角相等，然后在△DEF中依据三角形内角和定理，求出∠F的大小．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=80°
∴∠F=180﹣∠D﹣∠E=50°
故选B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，并注意运用了三角形的内角和定理，做题时要找准对应关系．
5．如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）
A．B．C．D．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角．
【解答】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；
B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；
C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；
D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等．
故选B．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
6．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）
A．已知两条直角边
B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角
D．已知斜边和一直角边
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【分析】能不能作出唯一直角三角形要看所给条件是否满足全等三角形的判定条件，然后利用三角形全等的判定方法对各选项进行判定．
【解答】解：A、已知两条直角边和直角，可根据“SAS”作出唯一直角三角形，所以A选项错误；
B、已知两个锐角，不能出唯一的直角三角形，所以B选项之前；
C、已知一直角边和直角边所对的一锐角，可根据“AAS”或“ASA”作出唯一直角三角形，所以B选项错误；
D、已知斜边和一直角边，可根据“HL”作出唯一直角三角形，所以D选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
7．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
【考点】三角形的稳定性．
【分析】用木条EF固定矩形门框ABCD，即是组成△AEF，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：加上EF后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△EAF，故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选D．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
8．如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC，则此图中全等三角形有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据角平分线的性质及全等三角形的判定可求得图中的全等三角形有4对，分别是：△ABD ≌△ACD，△BED≌△CFD，△AED≌△AFD，△ABF≌△ACE．
【解答】解：∵AD平分∠BA
∴∠BAD=∠CAD
∵AB=AC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴BD=CD，∠B=∠C
∵∠EDB=∠FDC
∴△BED≌△CFD（ASA）
∴BE=FC
∵AB=AC
∴AE=AF
∵∠BAD=∠CAD，AD=AD
∴△AED≌△AFD
【点评】此题主要考查学生对角开分线的性质及全等三角形的判定方法的综合运用能力，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
9．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF 的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）
A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角
【考点】全等三角形的应用．
【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．
【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BD
∴∠ABC=∠BDE
又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA）
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．
10．在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG
的中线；④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠G=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM
是△AEG的中线．
【解答】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，
即∠CAE=∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=CE，（故①正确）；
设BG、CE相交于点N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE=∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，
∴∠G=360°﹣（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°﹣（180°+90°）=90°，∴BG⊥CE，（故②正确）；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAP+∠BAH=180°﹣90°=90°，
∴∠ABH=∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM=∠ABC，（故④正确），
EP=AH，
同理可得GQ=AH，
∴EP=GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM=GM，
∴AM是△AEG的中线，（故③正确）．
综上所述，①②③④结论都正确．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP ⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键．
二、填空题：（本题共6题，每空2分，共16分．请将答案直接填在相应的横线上）
11．△ABC≌△DEF，
（1）若△ABC的周长为32，AB=10，BC=14，则DF= 8 ；
（2）∠A=48°，∠B=53°，则∠D= 48°，∠F= 79°．
【考点】全等三角形的性质；三角形内角和定理．
【分析】（1）首先计算出AC的长，然后根据全等三角形对应边相等可得DF=AC，进而可得答案；（2）首先利用三角形内角和可得∠C的度数，然后根据全等三角形的对应角相等可得答案．
【解答】解：（1）∵△ABC的周长为32，AB=10，BC=14，
∴AC=32﹣10﹣14=8，
∵△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=8，
故答案为：8；
（2）∵∠A=48°，∠B=53°，
∴∠C=180°﹣48°﹣53°=79°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=48°，∠F=∠C=79°，
故答案为：48°；79°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
12．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是10：21 ．
【考点】镜面对称．
【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．【解答】解：电子表的实际时刻是10：21，可以把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
故答案为10：21．
【点评】对于这类题型常用的解题方法为把给定的读数写在纸上，然后把纸翻过来看到的读数就是实际读数．
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，则点D到AB的距离为 4 ．
【考点】角平分线的性质．
【分析】直接根据角平分线的性质可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD=4，
∴点D到AB的距离为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
14．如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= 55°．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】求出∠BAD=∠EAC，证△BAD≌△EAC，推出∠2=∠ABD=30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1=∠EAC，
在△BAD和△EAC中，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴∠2=∠ABD=30°，
∵∠1=25°，
∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAC．
15．如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有7 个（不含△ABC）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．
【解答】解：如图所示每个大正方形上都可作两个全等的三角形，所以共有八个全等三角形，除去△ABC外有七个与△ABC全等的三角形．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的又一关键．
16．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是50 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】由AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥AG，可以得到∠EAF=∠ABG，而AE=AB，∠EFA=∠AGB，由此可以证明△EFA≌△ABG，所以AF=BG，AG=EF；同理证得△BGC≌△DHC，GC=DH，CH=BG，故
FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【解答】解：∵AE⊥AB且AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH⇒∠FED=∠EFA=∠BGA=90°，
∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG，
∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG
∴AF=BG，AG=EF．
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH，CH=BG．
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=（6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50．
故答案为50．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识．作辅助线是本题的关键．
三、解答题：（本大题共8小题，共54分．）
17．按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）
（1）在图1中作∠ABC的角平分线（用直尺和圆规）
（2）在图2中过点P作l的垂线（用直尺和圆规）
（3）图3，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处将牛牵到河边C处饮水后再回家，试问C 在何处，所走路程最短？
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的图形；
（2）利用过直线外一点作已知直线的垂线作法得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：BD即为所求；
（2）如图2所示：直线l，即为所求；
（3）如图2所示：点C，即为所求．
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确把握基本作图方法是解题关键．
18．如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠ABC=∠ADC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】连接AC，根据SSS证明△ABC与△ADC全等，再利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：连接AC，
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的灵活应用，根据SSS证明△ABC与△ADC全等是解答本题的关键
19．已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
求证：△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】求出AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可．
【解答】证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL定理．
20．如图，已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE，试说明：∠1=∠2．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，再根据等式的性质两边同时减去∠DAC可得结论．
【解答】证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
即∠1=∠2．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．
21．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠AFE的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，∠BAC=∠C=60°，AB=CA，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠CAD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理得到∠AFE=∠BAC．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
即∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质等边三角形的性质得到三角形全等是条件是解题的关键．
22．如图：AB⊥BC，DC⊥BC，E在BC上，AB=EC，BE=CD，EF⊥AD于F，
（1）试说明F是AD中点；（2）求∠AEF的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】（1）由题意，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=EC，BE=CD，可证△ABE≌△ECD，可证AE=ED，且EF ⊥AD，即可得证F是AD是中点．
（2）由（1）可推出，△AED为等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．
【解答】解：（1）由题意，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=EC，BE=CD；
所以△ABE≌△ECD，
即AE=ED，
又EF⊥AD，
即可得证F是AD是中点．
（2）由（1）得，∠AEB+∠CED=90°；
所以∠AED=90°，
所以△AED为等腰直角三角形，
所以∠AEF=45°．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定定理；等腰三角形底边的中线，高线和顶角角平分线重合以及等腰直角三角形的性质．
23．如图，AD平分∠BAC，∠BAC+∠ACD=180°，E在AD上，BE的延长线交CD于F，连CE，且∠1=∠2，试说明AB=AC．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】由已知，∠BAC+∠ACD=180°，可证CD∥AB，得∠1=∠B，所以∠B=∠2，又AD平分∠BAC，得证△ABE≌△ACE，即得AB=AC．
【解答】证明：∵∠BAC+∠ACD=180°，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠2，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△ACE，
∴AB=AC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质定理以及对全等三角形的判定，做题时要结合图形，在图形上做题．
24．如图，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°，求证：DB=DC．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】在AB上截取AE=AC，连接DE，可证明△ACD≌△AED，可得CD=DE，再由条件可证明∠ABD=∠DEB，可证得DB=DC．
【解答】证明：
在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE，∠ACD=∠AED，
∵∠ABD+∠A CD=180°，∠AED+∠DEB=180°，
∴∠DEB=∠ABD，
∴DE=DB，
∴DB=DC．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键．。