七年级上册压轴题考试试卷精选含详细答案

七年级上册压轴题考试试卷精选含详细答案
一、压轴题
1．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）
（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：
（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ
AB
的值．
（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有
1
CD AB
2
，此时C点停止运动，
D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN
的值不变；②MN
AB
的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并
求值．
2．如图所示，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x.
(1)若点P到点A，B的距离相等，求点P对应的数x的值．
(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A，B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
(3)点A，B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以5个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间．当点A与点B重合时，点P经过的总路程是多少？
3．问题一：如图1，已知A，C两点之间的距离为16 cm，甲，乙两点分别从相距3cm的A，B两点同时出发到C点，若甲的速度为8 cm/s，乙的速度为6 cm/s，设乙运动时间为x（s），甲乙两点之间距离为y（cm）．
(1)当甲追上乙时，x = ．
(2)请用含x的代数式表示y．
当甲追上乙前，y= ；
当甲追上乙后，甲到达C之前，y= ；
当甲到达C之后，乙到达C之前，y= ．
问题二：如图2，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB=30°．
(1)分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm ；时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 cm ．
(2)若从4：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合．
4．已知：∠AOB 是一个直角，作射线OC ，再分别作∠AOC 和∠BOC 的平分线OD 、OE ．
（1）如图①，当∠BOC=70°时，求∠DOE 的度数；
（2）如图②，若射线OC 在∠AOB 内部绕O 点旋转，当∠BOC=α时，求∠DOE 的度数.
（3）如图③，当射线OC 在∠AOB 外绕O 点旋转时，画出图形，直接写出∠DOE 的度数．
5．如图，在数轴上从左往右依次有四个点,,,A B C D ，其中点,,A B C 表示的数分别是0,3,10，且2CD AB =.
(1)点D 表示的数是 ；（直接写出结果）
(2)线段AB 以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD 以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间是t （秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时.
①求t 的值;
②线段AB 上是否存在一点P ，满足3BD PA PC -=?若存在，求出点P 表示的数x ；若不存在，请说明理由.
6．点A在数轴上对应的数为﹣3，点B对应的数为2．
(1)如图1点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝1
2
x﹣5的解，在数轴上是否存在
点P使PA+PB＝1
2
BC+AB？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；
(2)如图2，若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，
当P在B的右侧运动时，有两个结论：①PM﹣3
4
BN的值不变；②
13
PM
24
BN的值不
变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值
7．已知：A、O、B三点在同一条直线上，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为度；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按5°每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM所在直线恰好平分∠BOC时，时间t的值为（直接写结果）．8．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点A，B在数轴上分别对应的数为a，b(a<b)，则AB的长度可以表示为AB=b－a．
请你用以上知识解决问题：
如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达A点，再向右移动3个单位长度到达B点，然后向右移动5个单位长度到达C点．
（1）请你在图②的数轴上表示出A，B，C三点的位置．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为t秒．
①当t=2时，求AB和AC的长度；
②试探究：在移动过程中，3AC－4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说
明理由；若不变，请求其值．
9．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，∠BO N= ；（直接写出结果）
（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是
∠AOC的平分线；
（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）
10．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺
（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
(1)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
(2)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
(3)若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由．
11．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（其中∠P＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OQ在射线OA上，另一边OP与OC都在直线AB的上方．将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）如图2，经过t秒后，OP恰好平分∠BOC．
①求t的值；
②此时OQ是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）若在三角板转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠POQ？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多少秒OC平分∠POB？（直接写出结果）．
12．射线OA、OB、OC、OD、OE有公共端点O．
（1）若OA与OE在同一直线上（如图1），试写出图中小于平角的角；
（2）若∠AOC＝108°，∠COE＝n°（0＜n＜72），OB平分∠AOE，OD平分∠COE（如图2），求∠BOD的度数；
（3）如图3，若∠AOE＝88°，∠BOD＝30°，射OC绕点O在∠AOD内部旋转（不与OA、OD重合）．探求：射线OC从OA转到OD的过程中，图中所有锐角的和的情况，并说明理由．
13．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.
观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：
用含n的式子表示第n个图的钢管总数.
（分析思路）
图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．
如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S表示钢管总数)
（解决问题）
(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.
S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________
(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:
_______ ____________ _______________ _______________
(3)用含n的式子列式，并计算第n个图的钢管总数.
14．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：若点P到点Q的距离为d(d≥0)，则称d为点P 到点Q的d追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P表示的数是2，点Q表示的数是5，则点P到点Q的d追随值为d[PQ]=3．
问题解决：
(1)点M，N都在数轴上，点M表示的数是1，且点N到点M的d追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N表示的数是_____(用含a的代数式表示)；
(2)如图，点C表示的数是1，在数轴上有两个动点A，B都沿着正方向同时移动，其中A
点的速度为每秒3个单位，B点的速度为每秒1个单位，点A从点C出发，点B表示的数是b，设运动时间为t(t>0)．
①当b=4时，问t为何值时，点A到点B的d追随值d[AB]=2；
②若0<t≤3时，点A到点B的d追随值d[AB]≤6，求b的取值范围．
15．结合数轴与绝对值的知识解决下列问题：
探究：数轴上表示4和1的两点之间的距离是____，表示－3和2两点之间的距离是
____；
结论：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于∣m-n∣．
直接应用：表示数a 和2的两点之间的距离等于____，表示数a 和－4的两点之间的距离等于____；
灵活应用：
(1)如果∣a+1∣=3，那么a=____；
(2)若数轴上表示数a 的点位于－4与2之间，则∣a-2∣+∣a+4∣=_____；
(3)若∣a-2∣+∣a+4∣=10，则a =______；
实际应用：
已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别表示-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位长度/秒，乙的速度为6个单位长度/秒.
(1)两只电子蚂蚁分别从A 、C 两点同时相向而行，求甲、乙数轴上相遇时的点表示的数。

(2)求运动几秒后甲到A 、B 、C 三点的距离和为40个单位长度？
16．已知多项式3x 6﹣2x 2﹣4的常数项为a ，次数为b ． （1）设a 与b 分别对应数轴上的点A 、点B ，请直接写出a ＝ ，b ＝ ，并在数轴上确定点A 、点B 的位置；
（2）在（1）的条件下，点P 以每秒2个单位长度的速度从点A 向B 运动，运动时间为t 秒：
①若PA ﹣PB ＝6，求t 的值，并写出此时点P 所表示的数；
②若点P 从点A 出发，到达点B 后再以相同的速度返回点A ，在返回过程中，求当OP ＝3时，t 为何值？
17．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x 1，x 2，x 3，称为数列x 1，x 2，x 3．计算|x 1|，12
2x x +，123
3x x x ++，将这三个数的最小值称为数列x 1，x 2，x 3的
最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，()
212+-=12，()2133
+-+=43，所以数列2，-1，3的最佳值为12
． 东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为
12；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为12
．根据以上材料，回答下列问题： （1）数列-4，-3，1的最佳值为
（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）；
（3）将2，-9，a （a ＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a 的值．
18．已知数轴上，点A 和点B 分别位于原点O 两侧，AB=14，点A 对应的数为a ，点B 对
应的数为b.
(1) 若b＝－4，则a的值为__________.
(2) 若OA＝3OB，求a的值.
(3) 点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.
19．在数轴上，图中点A表示－36，点B表示44，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，相向而行，动点P、Q的运动速度比之是3∶2（速度单位：1个单位长度/秒）．12秒后，动点P到达原点O，动点Q到达点C，设运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）求OC的长；
（2）经过t秒钟，P、Q两点之间相距5个单位长度，求t的值；
（3）若动点P到达B点后，以原速度立即返回，当P点运动至原点时，动点Q是否到达A点，若到达，求提前到达了多少时间，若未能到达，说明理由．
20．如图，以长方形OBCD的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，B点坐标为（0，a），C点坐标为（c，b），且a、b、C满足6
a +|2b+12|+（c﹣4）2＝0．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿O→B→C的路线以每秒2个单位长度的速度匀速运动，设点P 的运动时间为t秒，DC上有一点M（4，﹣3），用含t的式子表示三角形OPM的面积；
（3）当t为何值时，三角形OPM的面积是长方形OBCD面积的1
3
？直接写出此时点P的坐
标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题
1．（1）点P在线段AB上的1
3
处；（2）
1
3
；（3）②MN
AB
的值不变.
【解析】
【分析】
（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在
线段AB上的1
3
处；
（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ 与AB的关系；
（3）当点C停止运动时，有CD＝1
2
AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB
表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝
1
12
AB．
【详解】
解：（1）由题意：BD=2PC
∵PD=2AC，
∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.
∴点P在线段AB上的1
3
处；
（2）如图：
∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，
∴PQ=1
3 AB，
∴
1
3 PQ AB
（3）②MN
AB
的值不变.理由：如图，
当点C停止运动时，有CD=1
2 AB，
∴CM=1
4 AB，
∴PM=CM-CP=
14AB-5， ∵PD=23
AB-10， ∴PN=1223（AB-10）=13
AB-5， ∴MN=PN-PM=
112AB ， 当点C 停止运动，D 点继续运动时，MN 的值不变， 所以111212
AB MN AB AB ==. 【点睛】
本题考查了比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
2．(1)x=1;(2) x ＝－3或x ＝5;(3) 30.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得4－x ＝x －（－2），解出x 的值；
（2）此题分为两种情况，当点P 在B 的右边时，当点P 在B 的左边时，分别列出方程求解即可；
（3）设经过x 分钟点A 与点B 重合，根据题意得：2x ＝6＋x 进而求出即可.
【详解】
（1）4－x ＝x －（－2），解得：x ＝1，（2）①当点P 在B 的右边时得：
x －（－2）＋x －4＝8，解得：x ＝5，②当点P 在B 的左边时得：－2－x ＋4－x ＝8，解得：x ＝－3，则x ＝－3或x ＝5.（3）设经过x 分钟点A 与点B 重合，根据题意得：2x ＝6＋x ，解得：x ＝6，则5x ＝30，故答案为30个单位长度.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，解此题的要点在于根据数轴得出点的位置.
3．问题一、(1)
32；（2）3-2x ；2x -3；13-6x ；问题一、（1）35；120；24011
. 【解析】
【分析】
问题一根据等量关系，路程=速度⨯时间，路程差=路程1-路程2，即可列出方程求解。

【详解】
问题一：(1)当甲追上乙时，甲的路程=乙的路程+3
所以，863x x =+ 23x =
32
x = 故答案为32
. (2) 当甲追上乙前，路程差=乙所行的路程+3-甲所行的路程；
所以，63832y x x x =+-=-.
当甲追上乙后，甲到达C 之前，路程差=甲所行的路程-3-乙所行的路程；
所以，83623y x x x =--=-.
当甲到达C 之后，乙到达C 之前，路程差=总路程-3-乙所行的路程；
所以，1636136y x x =--=-.
问题二：（1）由题意AB 为钟表外围的一部分，且∠AOB=30°
可知，钟表外围的长度为31236cm ⨯=
分针OD 的速度为336605cm min ÷=
时针OE 的速度为136020
cm min ÷= 故OD 每分钟转动3
5cm ，OE 每分钟转动120
cm . （2）4点时时针与分针的路程差为4312cm ⨯=
设x 分钟后分针与时针第一次重合。

由题意得，
3112520x x =+ 解得，24011x =
. 即24011
分钟后分针与时针第一次重合。

【点睛】
本题考查了一元一次方程中的行程问题，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件找出等量关系，列出方程求解即可。

4．（1）45°；（2）45°；（3）45°或135°.
【解析】
【分析】
（1）由∠BOC 的度数求出∠AOC 的度数，利用角平分线定义求出∠COD 与∠COE 的度数，相加即可求出∠DOE 的度数；
（2）∠DOE 度数不变，理由为：利用角平分线定义得到∠COD 为∠AOC 的一半，∠COE 为∠COB 的一半，而∠DOE=∠COD+∠COE ，即可求出∠DOE 度数为45度；
（3）分两种情况考虑，同理如图3，则∠DOE 为45°；如图4，则∠DOE 为135°．
【详解】
（1）如图，∠AOC=90°﹣∠BOC=20°，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=∠AOC=10°，∠COE=1
2
∠BOC=35°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；（2）∠DOE的大小不变，理由是：
∠DOE=∠COD+∠COE=1
2
∠AOC+
1
2
∠COB=
1
2
（∠AOC+∠COB）=1
2
∠AOB=45°；
（3）∠DOE的大小发生变化情况为：如图③，则∠DOE为45°；如图④，则∠DOE为135°，
分两种情况：如图3所示，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=1
2
∠AOC，∠COE=
1
2
∠BOC，
∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=1
2
（∠AOC﹣∠BOC）=45°；
如图4所示，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=1
2
∠AOC，∠COE=
1
2
∠BOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=1
2
（∠AOC+∠BOC）=1
2
×270°=135°．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
5．（1）16；（2）①t 的值为3或
143秒；②存在，P 表示的数为314
. 【解析】
【分析】 （1）由数轴可知，AB=3,则CD=6,所以D 表示的数为16，
（2）①当运动时间是t 秒时，在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t, C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t ，分情况讨论两条线段重叠部分是2个单位长度解答即可；②分情况讨论当t=3秒, t=
143
秒时，满足3BD PA PC -=的点P , 注意P 为线段AB 上的点对x 的值的限制.
【详解】
（1）16
（2）①在运动过程中，B 点表示的数为3+2t,A 点表示的数为2t,C 点表示的数为10-t ，D 点表示的数为16-t.
当BC ＝2，点B 在点C 的右边时， 由题意得：32-10-2BC t t =+=（
）， 解得：t ＝3，
当AD=2，点A 在点D 的左边时，
由题意得：16--22AD t t ==，
解得：t ＝143
． 综上，t 的值为3或
143
秒 ②存在，理由如下: 当t=3时，A 点表示的数为6，B 点表示的数为9，C 点表示的数为7，D 点表示的数为13. 则13-94-6|-7|BD PA x PC x ====，，，
-3BD PA PC =，
()4--6|-7|x x ∴=， 解得：314x =或112， 又P 点在线段AB 上，则69x ≤≤
314x ∴=
. 当143t =
时，A 点表示的数为283，B 点表示的数为373，C 点表示的数为163，D 点表示的数为343
. 则37343816-1-|-|3333BD PA x PC x =
===，，，
-3BD PA PC =，
∴ 28161--|-|33x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得：7912x =
或176， 又283733
x ≤≤， x ∴无解 综上，P 表示的数为
314. 【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：(1)由路程=速度×时间结合运动方向找出运动t 秒时点A 、B 、C 、D 所表示的数,(2)根据3BD PA PC -=列出关于t 的含绝对值符号的一元一次方程．
6．(1)存在满足条件的点P ，对应的数为﹣
92和72；(2)正确的结论是：PM ﹣34BN 的值不变，且值为2.5．
【解析】
【分析】
（1）先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB 的长，然后求得方程的解，得到C 表示的点，由此求得12
BC +AB ＝8设点P 在数轴上对应的数是a ，分①当点P 在点a 的左侧时（a ＜﹣3）、②当点P 在线段AB 上时（﹣3≤a ≤2）和③当点P 在点B 的右侧时（a ＞2）三种情况求点P 所表示的数即可；（2）设P 点所表示的数为n ，就有PA ＝n +3，PB ＝n ﹣2，根据已知条件表示出PM 、BN 的长，再分别代入①PM ﹣
34BN 和②12PM +34BN 求出其值即可解答．
【详解】
(1)∵点A 在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2，
∴AB ＝5．
解方程2x +1＝12
x ﹣5得x ＝﹣4． 所以BC ＝2﹣（﹣4）＝6．
所以．
设存在点P 满足条件，且点P 在数轴上对应的数为a ，
①当点P 在点a 的左侧时，a ＜﹣3，
PA ＝﹣3﹣a ，PB ＝2﹣a ，所以AP +PB ＝﹣2a ﹣1＝8，
解得a ＝﹣，﹣＜﹣3满足条件；
②当点P在线段AB上时，﹣3≤a≤2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝2﹣a，所以PA+PB＝a+3+2﹣a＝5≠8，不满足条件；
③当点P在点B的右侧时，a＞2，PA＝a﹣（﹣3）＝a+3，PB＝a﹣2．，所以PA+PB＝a+3+a﹣2＝2a+1＝8，解得：a＝，＞2，
所以，存在满足条件的点P，对应的数为﹣和．
(2)设P点所表示的数为n，
∴PA＝n+3，PB＝n﹣2．
∵PA的中点为M，
∴PM＝1
2
PA＝．
N为PB的三等分点且靠近于P点，
∴BN＝PB＝×（n﹣2）．
∴PM﹣3
4
BN＝﹣
3
4
××（n﹣2），
＝（不变）．
②1
2
PM+
3
4
BN＝+
3
4
××（n﹣2）＝
3
4
n﹣（随P点的变化而变化）．
∴正确的结论是：PM﹣BN的值不变，且值为2.5．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的解，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，解答时了灵活运用两点间的距离公式求解是关键．
7．（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．
【解析】
【分析】
（1）依据图形可知旋转角=∠NOB，从而可得到问题的答案；
（2）先求得∠AOC的度数，然后依据角的和差关系可得到∠NOC=60°-
∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM与∠NOC的差即可；
（3）可分为当OM为∠BOC的平分线和当OM的反向延长为∠BOC的平分线两种情况，然后再求得旋转的角度，最后，依据旋转的时间=旋转的角度÷旋转的速度求解即可．
【详解】
（1）由旋转的定义可知：旋转角＝∠NOB＝90°．
故答案为：90°
（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．
理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝60°．
∴∠NOC＝60°﹣∠AON．
∵∠NOM＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
（3）如图1所示：当OM为∠BOC的平分线时，
∵OM为∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝∠BOC＝60°，
∴t＝60°÷5°＝12秒．
如图2所示：当OM的反向延长为∠BOC的平分线时，
∵ON为为∠BOC的平分线，
∴∠BON＝60°．
∴旋转的角度＝60°+180°＝240°．
∴t＝240°÷5°＝48秒．
故答案为：12秒或48秒．
【点睛】
本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的定义、直角三角形的定义以及角的和差计算，求得三角板旋转的角度是解题的关键．
8．（1）详见解析；（2）①16；②在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变
【解析】
【分析】
（1）根据点的移动规律在数轴上作出对应的点即可；
（2）①当t=2时，先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长即可；
②先求出A、B、C点表示的数，然后利用定义求出AB、AC的长，代入3AC－4AB即可得到结论．
【详解】
（1）A，B，C三点的位置如图所示：
．
（2）①当t=2时，A点表示的数为－4，B点表示的数为5，C点表示的数为12，∴AB=5－
(－4)=9，AC=12－(－4)=16．
②3AC－4AB的值不变．
当移动时间为t秒时，A点表示的数为－t－2，B点表示的数为2t＋1，C点表示的数为3t ＋6，则：AC=(3t＋6)－(－t－2)=4t＋8，AB=(2t＋1)－(－t－2)=3t＋3，∴3AC－4AB=3(4t＋8)－4(3t＋3)=12t＋24－12t－12=12．
即3AC﹣4AB的值为定值12，∴在移动过程中，3AC﹣4AB的值不变．
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题．表示出对应点所表示的数是解答本题的关键．
9．（1）60°；（2）射线OP是∠AOC的平分线；（3）30°．
【解析】
整体分析：
(1)根据角平分线的定义与角的和差关系计算；(2)计算出∠AOP的度数，再根据角平分线的定义判断；(3)根据∠AOC，∠AON，∠NOC，∠MON，∠AOM的和差关系即可得到∠NOC 与∠AOM之间的数量关系．
解：(1)如图②，∠AOC=120°，
∴∠BOC=180°﹣120°=60°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=30°，
又∵∠NOM=90°，
∴∠BOM=90°﹣30°=60°，
故答案为60°；
(2)如图③，∵∠AOP=∠BOM=60°，∠AOC=120°，
∴∠AOP=1
2
∠AOC，
∴射线OP是∠AOC的平分线；
(3)如图④，∵∠AOC=120°，
∴∠AON=120°﹣∠NOC，
∵∠MON=90°，
∴∠AON=90°﹣∠AOM，
∴120°﹣∠NOC=90°﹣∠AOM，
即∠NOC﹣∠AOM=30°．
10．（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=5时，射线OC第一次平分∠MON.【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；
（2）根据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；
（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠MON列方程求解即可．
【详解】
（1）①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，
∴∠COM=∠BOM=75°．
∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；
②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC．
（2）∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°；
（3）设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，
∴30°+8t=5t+45°，∴t=5．
即t=5时，射线OC第一次平分∠MON．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．
11．（1）①5；②OQ平分∠AOC，理由详见解析；（2）5秒或65秒时OC平分∠POQ；
（3）t＝70
3
秒．
【解析】
【分析】
（1）①由∠AOC＝30°得到∠BOC＝150°，借助角平分线定义求出∠POC度数，根据角的和差关系求出∠COQ度数，再算出旋转角∠AOQ度数，最后除以旋转速度3即可求出t 值；②根据∠AOQ和∠COQ度数比较判断即可；
（2）根据旋转的速度和起始位置，可知∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，根据角平分线定义可知∠COQ＝45°，利用∠AOQ、∠AOC、∠COQ角之间的关系构造方程求出时间t；（3）先证明∠AOQ与∠POB互余，从而用t表示出∠POB＝90°﹣3t，根据角平分线定义再用t表示∠BOC度数；同时旋转后∠AOC＝30°+6t，则根据互补关系表示出∠BOC度数，同理再把∠BOC度数用新的式子表达出来．先后两个关于∠BOC的式子相等，构造方程求解．
【详解】
（1）①∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°,
∵OP平分∠BOC，
∴∠COP＝1
2
∠BOC＝75°,
∴∠COQ＝90°﹣75°＝15°,
∴∠AOQ＝∠AOC﹣∠COQ＝30°﹣15°＝15°,
t＝15÷3＝5；
②是，理由如下：
∵∠COQ＝15°，∠AOQ＝15°，∴OQ平分∠AOC；
（2）∵OC平分∠POQ，
∴∠COQ＝1
2
∠POQ＝45°．
设∠AOQ＝3t，∠AOC＝30°+6t，
由∠AOC﹣∠AOQ＝45°，可得30+6t﹣3t＝45，解得：t＝5，
当30+6t﹣3t＝225，也符合条件，
解得：t＝65，
∴5秒或65秒时，OC平分∠POQ；
（3）设经过t秒后OC平分∠POB，
∵OC平分∠POB，
∴∠BOC＝1
2
∠BOP，
∵∠AOQ+∠BOP＝90°，
∴∠BOP＝90°﹣3t，
又∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣30°﹣6t，
∴180﹣30﹣6t＝1
2
（90﹣3t），
解得t＝70 3
．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，根据角度的和差倍分关系，列出方程，是解题的关键. 12．（1）图1中小于平角的角∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，
∠COD，∠DOE；（2）∠BOD＝54°；（3）
∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE＝412°．理由见解析. 【解析】
【分析】
（1）根据角的定义即可解决；
（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=1
2∠AOC+1
2
∠COE，进而求出即可；
（3）将图中所有锐角求和即可求得所有锐角的和与∠AOE、∠BOD和∠BOD的关系，即可解题．
【详解】
（1）如图1中小于平角的角
∠AOD，∠AOC，∠AOB，∠BOE，∠BOD，∠BOC，∠COE，∠COD，∠DOE．
（2）如图2，
∵OB 平分∠AOE ，OD 平分∠COE ，∠AOC ＝108°，∠COE ＝n°（0＜n ＜72）， ∴∠BOD ＝12∠AOD ﹣12∠COE+12∠COE ＝12
×108°＝54°； （3）如图3，
∠AOE ＝88°，∠BOD ＝30°，
图中所有锐角和为
∠AOE+∠AOB+∠AOC+∠AOD+∠BOC+∠BOD+∠BOE+∠COD+∠COE+∠DOE ＝4∠AOB+4∠DOE ＝6∠BOC+6∠COD
＝4（∠AOE ﹣∠BOD ）+6∠BOD
＝412°．
【点睛】
本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，
13．（1）3456;45678S S =+++=++++ ;(2) 方法不唯一，见解析；（3）方法不唯一，见解析
【解析】
【分析】
先找出前几项的钢管数，在推出第n 项的钢管数.
【详解】
（1）3456;45678S S =+++=++++
（2）方法不唯一，例如：
12S =+ 1233S =+++ 123444S =+++++ 12345555S =+++++++
（3）方法不唯一，例如：
()()12.....2S n n n n =++++++ ()()
()()
=.....12.. (1)
112
n n n n n n n n +++++++=+++ ()3
12
n n =
+ 【点睛】
此题主要考察代数式的规律探索及求和，需要仔细分析找到规律. 14．(1)1＋a 或1－a ；(2)12或5
2
；(3)1≤b≤7. 【解析】 【分析】
(1)根据d 追随值的定义，分点N 在点M 左侧和点N 在点M 右侧两种情况，直接写出答案即可；
(2)①分点A 在点B 左侧和点A 在点B 右侧两种情况，类比行程问题中的追及问题，根据“追及时间=追及路程÷速度差”计算即可；② 【详解】
解：(1)点N 在点M 右侧时，点N 表示的数是1+a ； 点N 在点M 左侧时，点N 表示的数是1-a ； (2)①b=4时，AB 相距3个单位， 当点A 在点B 左侧时，t=(3-2)÷(3-1)=12， 当点A 在点B 右侧时，t=(3+2)÷(3-1)=
52
； ②当点B 在点A 左侧或重合时，即d ≤1时，随着时间的增大，d 追随值会越来越大， ∵0<t≤3，点A 到点B 的d 追随值d[AB]≤6， ∴1-d+3×(3-1)≤6， 解得d ≥1， ∴d=1，
当点B 在点A 右侧时，即d>1时，在AB 重合之前，随着时间的增大，d 追随值会越来越小，
∵点A到点B的d追随值d[AB]≤6，∴d≤7∴1<d≤7，
综合两种情况，d的取值范围是1≤d≤7.
故答案为(1)1＋a或1－a；(2)①1
2
或
5
2
；②1≤b≤7.
【点睛】
本题考查了数轴上两点之间的距离和动点问题.
15．探究：3；5；直接应用：∣a-2∣，∣a+4∣；灵活应用(1)2或-4；(2)6；(3)-6或4；实际应用：(1)甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是-10.4；(2)运动2秒或5秒后甲到A、B、C 三点的距离和为40个单位长度.
【解析】
【分析】
利用数轴上两点间的距离公式、绝对值的意义、行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．
【详解】
探究：4-1=3；2-（－3）=5．
直接应用：∣a-2∣，∣a+4∣；
灵活应用：
（1）a+1=±3，a=3-1=2或a=－3－1=－4，∴a=2或-4；
（2）∵数轴上表示数a的点位于－4与2之间，∴a-2＜0，a+4＞0，∴原式=2-a+a+4=6；（3）由（2）可知，a＜－4或a＞2．分两种情况讨论：
①当a＜－4时，方程变为：2－a－（a+4）=10，解得：a=－6；
②当a＞2时，方程变为：a－2+（a+4）=10，解得：a=4；
综上所述：a的值为-6或4．
实际应用：
（1）设x秒后甲与乙相遇，则：
4x+6x=34
解得：x=3.4，4×3.4=13.6，﹣24+13.6=﹣10.4．
故甲、乙数轴上相遇时的点表示的数是﹣10.4；
（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位，B点距A，C两点的距离为
14+20=34＜40，A点距B、C两点的距离为14+34=48＞40，C点距A、B的距离为34+20=54＞40，故甲应为于AB或BC之间．
①AB之间时：4y+（14﹣4y）+（14﹣4y+20）=40
解得：y=2；
②BC之间时：4y+（4y﹣14）+（34﹣4y）=40
解得：y=5．
答：运动2秒或5秒后甲到A、B、C三点的距离和为40个单位长度．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条。