高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》真题汇编及解析

【高中数学】数学高考《平面解析几何》试题含答案
一、选择题
1．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =
，12F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =
，12F F =
c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上， 12AB F F ⊥于2F ，4AB =
，12F F =
c =
，2
2 4b a
=， 222c a b =-，解得3a =
，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
2．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，
2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A
B
C
D
．【答案】B 【解析】 【分析】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】
不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>
，可设(1,),(2,C m B m ，
则1232242(pm p p m =⎧⎪∴==⎨=+⎪⎩
，即抛物线的焦点到其准线的距离是2，选
B. 【点睛】
本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.
3．已知椭圆C ：2
212
x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于
点B ，若3FA FB =u u u v u u u v
，则AF u u u v ＝( )
A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v
，得043x =
，01
3
y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得
2AF =u u u v
【详解】 根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212
x y += ，知22a =，21b =，21c =，
即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v
，得()()001,31,n x y =-．
所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =
，013
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=，
得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫
⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得21n =，
所以AF u u u v ===
故选A 【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
4．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．)+∞
D ．)+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得
1b
a
>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围． 【详解】
解：不妨设该双曲线方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形， 所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1b
a
>．
离心率e =
所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞． 故选：C ． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
5．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（ ） A ．
3
π B ．
34
π C ．
56
π D ．
23
π 【答案】D
【解析】 【分析】
设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】
设|AF |＝m ,|BF |＝n ,
∵AF BF +=,
AB ≥∴213mn AB ≤,
在△AFB 中,由余弦定理得2
2
222()2cos 22m n AB
m n mn AB
AFB mn
mn
+-+--∠=
=
2
12213222
AB mn
mn mn mn mn --=≥=-
∴∠AFB 的最大值为
23
π. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.
6．已知双曲线22
22:1(0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上
的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )
A ．1
3y x =±
B ．12
y x =±
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是
12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.
【详解】
根据题意，点P 一定在左支上.
由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，
又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ，
从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.
在2OMF △中22224cos 2a c a
MOF ac
+-∠=
.——① 由2tan b MOF a ∠=
，得2cos a
MOF c
∠=. ——② 由①②，解得2
25c a
=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.
故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
7．已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为
y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r
=( )
A ．12-
B ．2-
C ．0
D ．4
【答案】C 【解析】 由题知
，故
，
∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=--±⋅-±=-+=u u u r u u u u r ，故选择C ．
8．如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则2
2
||ME NE -=（ ）
A ．2p
B ．2p
C ．22p
D ．24p
【答案】C 【解析】 【分析】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B 两点，不妨设直线AB 为x ＝
p ，分别求出M ，N 的坐标，即可求出答案． 【详解】
过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线
AB 为x ＝p ，由2y 2px
x p
⎧=⎨=⎩，解得y ＝
，
则A （p
），B （p
），
∵直线BM 的方程为y
x ，直线AM 的方程为y ＝
x ， 解得M （﹣p
），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2， 设过点M 与此抛物线相切的直线为y
＝k （x +p ），
由()
2y 2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣
+2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣
+2p 2k ）＝0， 解得k
＝
2
， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为y
p
（x +p ），
由()=2x p x p =⎧
⎪⎨+⎪⎩
，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，
∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2， 故选C ． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题．
9．已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16
【答案】C 【解析】 【分析】
设点A 、B 的坐标，利用线段AB 中点纵坐标公式和抛物线的定义，求得12y y +的值，即可得结果； 【详解】
抛物线2
:6C x y =中p ＝3，
设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为12
2
y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C . 【点睛】
本题考查了抛物线的定义的应用及中点坐标公式，是中档题．
10．已知双曲线22
:1124
x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的
两条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】
不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，
4OF =，∴OP =POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =
∴6PQ ==. 故选C 【点睛】
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.
11．已知P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则
“4a =”是“217PF =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当
217PF =时，4a =，得到答案.
【详解】
P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -
=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，
当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =. 故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】
本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
12．设P 为椭圆C ：22
x y 173
+=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点，延长1FP 至点Q ，
使得2PQ PF =，则动点Q 的轨迹方程为( )
A ．22(x 2)y 28-+=
B ．22(x 2)y 7++=
C ．22(x 2)y 28++=
D ．22(x 2)y 7-+= 【答案】C 【解析】 【分析】
推导出12PF PF 2a +==2PQ PF =，从而11PF
PQ FQ +==Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q 的轨迹方程． 【详解】
P Q 为椭圆C ：22
x y 173
+
=上一动点，1F ，2F 分别为左、右焦点， 延长1FP 至点Q ，使得2PQ PF =，
12PF PF 2a ∴+==2PQ PF =，
11
PF PQ FQ ∴+==，
Q ∴的轨迹是以()1F 2,0-为圆心，为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程为22(x 2)y 28++=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13．已知曲线C 的方程为22
121x y m m
+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线
C 为双曲线的充要条件，q ：1
2
m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的
是（ ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．p q ∧
【答案】C 【解析】 【分析】
根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假． 【详解】
若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102
m << 若1
02
m <<
，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则1
2
m >且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧⌝为真命题 所以选C 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．
14．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若
121
cos 4
F MF ∠=
,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )
A ．y =
B ．3
y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】
Q 双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点
∴ 1212
22MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:
∴ 1212
122
2
122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅
可得:2
2
2
1
(2)(4)(2)2424
c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =
由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得
:b =
Q 双曲线渐近线方程为:b y x a
=±
则双曲线渐近线方程为
: y = 故选:A. 【点睛】
本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.
15．若A ，B 分别是直线20x y --=与x 轴，y 轴的交点，圆C ：
()()
22
448x y -++=上有任意一点M ，则AMB ∆的面积的最大值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出AB ，再求出M 到直线的最大距离为点M 到直线20x y --=加上半径，进而可得面积最大值. 【详解】
由已知()2,0A ，()0,2B -
则AB =
=，
又点M
=
所以最大面积为1
102
⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查圆上一点到直线的最大距离问题，是基础题.
16．双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船（待定点）接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里，现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系.现根据船P 接收到C 点与A 点发
出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线
()2
2
27136
64
x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs （已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（ ）
A ．9011,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭
B ．135322,77⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
C ．3217,3⎛
⎫±
⎪⎝⎭
D ．(45,162±
【答案】B 【解析】 【分析】
根据双曲线的定义求出点P 所在的双曲线的标准方程()22
11522564
x y x -=>，将方程与
()
2
227136
64
x y --=联立，求解即可. 【详解】
设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为()22
221x y x a a b
-=≥，
因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2μs ，
则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.3
2301.852
a PB PA ⨯===-海里，
故15a =，又=17c ，故8b =，
故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为()22
11522564
x y x -=>，
联立()
()
()
22
22
27
121
3664
115
22564
x y
x
x y
x
⎧-
-=<
⎪
⎪
⎨
⎪-=>
⎪⎩
，
解得
135322
,
7
P
⎛⎫
±
⎪
⎪
⎝⎭
，
故选：B.
【点睛】
本题考查了双曲线的定义、圆锥曲线在生活中的应用，考查了理解转化能力，属于中档题. 17．过双曲线()
22
22
10,0
x y
a b
a b
-=>>的右焦点F，作渐近线
b
y x
a
=的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e的取值范围为( )
A．()
1,2B．()
1,2C．()
2,+∞D．()
2,+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
设过双曲线的右焦点F与渐近线
b
y x
a
=垂直的直线为AF,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b的不等式，解之可得22
b a
>，从而可得双曲线的离心率e的取值范围 .
【详解】
过双曲线的右焦点F作渐近线
b
y x
a
=垂线，设垂足为A，
Q直线为AF与双曲线左右两支都相交，
∴直线AF与渐近线
b
y x
a
=-必定有交点B，
因此，直线
b
y x
a
=-的斜率要小于直线AF的斜率，
Q渐近线
b
y x
a
=的斜率为
b
a
，
∴直线AF 的斜率a k b =-
，可得b a a b
-<-， 即
2
2,b a b a a b
>>，可得222c a >，
两边都除以2a ，得22e >，解得e >
双曲线离心率e 的取值范围为)
+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.
18．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支
上一点，若12
0PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，且124cos 5
PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．25
7
B ．4
C ．5
D ．57
【答案】C 【解析】 【分析】
在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．
【详解】
在12PF F △中，因为12
0PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=o
， 1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅
=，2121236sin 255
c
PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555
c c c
a PF PF =-=-= 所以离心率5c
e a
==，故选C. 【点睛】
本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．
19．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．
2
a C ．2a
D ．
22
a 【答案】D 【解析】 【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求
HI 的长度即可. 【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
112
2HI CD a ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
2
a ． 故选D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.
20．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，
B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
【答案】D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨
++=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
22
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.。