【原创】高考复习数学(理科) 第九章 第5讲 几何概型
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图 9-5-6
答案：2 5
【规律方法】与角度有关的几何概型的求法：当涉及射线 的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域 度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的 度量手段.
难点突破 ⊙与线性规划有关的几何概型 例题：节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两 串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时 刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩 灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率 是( )
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的
答案：A
图 D92
4.向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P，则△PBC 的面积小 图 D93
考点 1 与长度(角度)有关的几何概型 例 1：(1)(2016 年新课标Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00, 8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，
1.一只蚂蚁在如图 9-5-1 所示的地板砖(除颜色不同外，其 余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在灰色地板砖上的概 率是( B )
图 9-5-1
A.14
B.13
C.15
D.12
2.(2016 年湖北武汉调研)在两根相距 6 m 的木杆上系一根 绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概 率为( B )
第5讲 几何概型
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. 2.了解几何概型的意义.
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简 称为__几__何__概__型__. 2.几何概型中，事件 A 的概率计算公式 P(A)＝全构部成结事果件所构A 成的的区区域域长长度度(面(面积积或或体体积积) )
A.3.119
图 9-5-5
B.3.126
C.3.132
D.3.151
答案：B 【规律方法】求解与体积有关问题的注意点：对于与体积 有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及 事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事 件去求.
考点 4 与角度有关的几何概型 例 4：(1)在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，过直角顶点 C 作射 线CM 交线段 AB 于点 M，则使|AM|>|AC|的概率为( )
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 注意：①在几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子 区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置 和形状无关. ②求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和 整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.
解析：由题意，得在正方体 ABCD-A1B1C1D1内任取一点， 满足几何概型，记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A，则 事件 A 发生时，点 P 位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外.
答案：C
(3)(2017 年河南郑州一中)我们可以用随机模拟的方法估计 π的值，如图 9-5-5 所示的程序框图表示其基本步骤(函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数). 若输出的结果为 521，则由此可估计π的近似值为( )
【互动探究】 1.(人教版教材必修3P137-例2改编)某校早上8：00 开始上课， 假设该校学生小张与小王在早上 7：30～7：50 之间到校，且每 人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少
早 5 分钟到校的概率为___________.(用数字作答)
解析：如图 D97，用 x 表示小张到校的 时间，30≤x≤50，用 y 表示小王到校的时间， 30≤y≤50，则所有可能的结果对应平面直角 坐标系的正方形 ABCD 区域.小张比小王至少 早 5 分钟到校，即 y－x≥5.所对应的区域为 △DEF.
考点 2 与面积有关的几何概型 例 2：(1)(2017 年新课标Ⅰ)如图 9-5-2，正方形 ABCD 内的 图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是( )
图 9-5-2
解析：不妨设正方形边长为 a，由图形的对称性可知，太 极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概
答案：B
(2)(2018 年新课标Ⅰ)图 9-5-3 来自古希腊数学家希波克拉 底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC 的三 边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在 整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则( )
且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的 概率是( )
解析：如图 D94，画出时间轴：
图 D94 小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中，而当他的 到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型，得所求概率 p＝ 10＋10＝1 .故选 B.
图 D95
答案：C
(5)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，以线段 AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2 的概率为________.
解析：设 AC＝x，则 BC＝12－x，矩形的面积为 S＝AC× BC＝x(12－x)＝12x－x2.
∵12x－x2>32，∴4<x<8. 由几何概率的求解公式，可得该矩形的面积大于 32 cm2 的 概率为 p＝8－4＝1 .
12 3
答案：1Байду номын сангаас3
【规律方法】应用几何概型求概率的步骤： ①把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且 事件的个数是否是无限个，若是，则考虑用几何概型； ②将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形，并加以度量； ③将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概 型的概率公式求概率.
图 D97
A.p1<p2<p3 C.p3<p1<p2
B.p2<p3<p1 D.p3<p2<p1
根据几何概型公式可得 p2<p3<p1.
(1) 答案：B
(2)
(3)
图 D98
解析：设两串彩灯同时通电后，第一次 闪亮的时刻分别为 x，y，则 0≤x≤4,0≤y≤4， 而事件 A“它们第一次闪亮的时刻相差不超 过 2 秒”，即|x－y|≤2，可行域为如图 9-5-7 所示的阴影部分.
图 9-5-7
由几何概型概率公式，得 P(A)＝ 答案：C
【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意哪部 分代表总的基本事件表示的区域，哪部分是所求事件所表示的 区域.
例 3：(1)有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O
为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P
到点 O 的距离大于 1 的概率为( )
A.13
B.32
C.23
D.12
答案：C
(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P，则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( )
A.p1＝p2
图 9-5-3 B.p1＝p3 C.p2＝p3 D.p1＝p2＋p3
答案：A
答案：D
【规律方法】如果试验结果构成的试验区域的几何测度可
用面积或体积表示，那么概率的计算公式为 P(A)＝
构成事件 A 的区域长度(面积或体积) 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
考点 3 与体积有关的几何概型
解析：“过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于点 M”， CM 在直角内等可能，结果应该为角度的比.如图 D96，取 AD ＝AC，∠A＝30°，此时∠ACD＝75°，欲使|AM|>|AC|，CM
必须在∠BCD 内，其概率为
答案：B
图 D96
(2)如图9-5-6，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD ＝ ，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM<1 的概率 为________.
40 2 答案：B
答案：B
(3)在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，在斜边 AB 上任取一点 M， 则使|AM|>|AC|的概率为( )
解析：M 为斜边 AB 上任一点，结果应该 为斜边 AB 上的长度比.如图 D95，
取 AD＝AC，∠A＝30°，欲使|AM|>|AC|，
点 M 必须在线段 BD 内，其概率为
答案：2 5
【规律方法】与角度有关的几何概型的求法：当涉及射线 的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域 度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的 度量手段.
难点突破 ⊙与线性规划有关的几何概型 例题：节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两 串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时 刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩 灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率 是( )
3.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的
答案：A
图 D92
4.向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P，则△PBC 的面积小 图 D93
考点 1 与长度(角度)有关的几何概型 例 1：(1)(2016 年新课标Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00, 8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，
1.一只蚂蚁在如图 9-5-1 所示的地板砖(除颜色不同外，其 余全部相同)上爬来爬去，它最后随意停留在灰色地板砖上的概 率是( B )
图 9-5-1
A.14
B.13
C.15
D.12
2.(2016 年湖北武汉调研)在两根相距 6 m 的木杆上系一根 绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于 2 m 的概 率为( B )
第5讲 几何概型
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. 2.了解几何概型的意义.
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面 积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简 称为__几__何__概__型__. 2.几何概型中，事件 A 的概率计算公式 P(A)＝全构部成结事果件所构A 成的的区区域域长长度度(面(面积积或或体体积积) )
A.3.119
图 9-5-5
B.3.126
C.3.132
D.3.151
答案：B 【规律方法】求解与体积有关问题的注意点：对于与体积 有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及 事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事 件去求.
考点 4 与角度有关的几何概型 例 4：(1)在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，过直角顶点 C 作射 线CM 交线段 AB 于点 M，则使|AM|>|AC|的概率为( )
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 注意：①在几何概型的试验中，事件 A 的概率 P(A)只与子 区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与 A 的位置 和形状无关. ②求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和 整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.
解析：由题意，得在正方体 ABCD-A1B1C1D1内任取一点， 满足几何概型，记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A，则 事件 A 发生时，点 P 位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外.
答案：C
(3)(2017 年河南郑州一中)我们可以用随机模拟的方法估计 π的值，如图 9-5-5 所示的程序框图表示其基本步骤(函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数). 若输出的结果为 521，则由此可估计π的近似值为( )
【互动探究】 1.(人教版教材必修3P137-例2改编)某校早上8：00 开始上课， 假设该校学生小张与小王在早上 7：30～7：50 之间到校，且每 人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少
早 5 分钟到校的概率为___________.(用数字作答)
解析：如图 D97，用 x 表示小张到校的 时间，30≤x≤50，用 y 表示小王到校的时间， 30≤y≤50，则所有可能的结果对应平面直角 坐标系的正方形 ABCD 区域.小张比小王至少 早 5 分钟到校，即 y－x≥5.所对应的区域为 △DEF.
考点 2 与面积有关的几何概型 例 2：(1)(2017 年新课标Ⅰ)如图 9-5-2，正方形 ABCD 内的 图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是( )
图 9-5-2
解析：不妨设正方形边长为 a，由图形的对称性可知，太 极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概
答案：B
(2)(2018 年新课标Ⅰ)图 9-5-3 来自古希腊数学家希波克拉 底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分 别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC 的三 边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在 整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则( )
且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的 概率是( )
解析：如图 D94，画出时间轴：
图 D94 小明到达的时间会随机地落在图中线段 AB 中，而当他的 到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型，得所求概率 p＝ 10＋10＝1 .故选 B.
图 D95
答案：C
(5)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，以线段 AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2 的概率为________.
解析：设 AC＝x，则 BC＝12－x，矩形的面积为 S＝AC× BC＝x(12－x)＝12x－x2.
∵12x－x2>32，∴4<x<8. 由几何概率的求解公式，可得该矩形的面积大于 32 cm2 的 概率为 p＝8－4＝1 .
12 3
答案：1Байду номын сангаас3
【规律方法】应用几何概型求概率的步骤： ①把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且 事件的个数是否是无限个，若是，则考虑用几何概型； ②将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图 形，并加以度量； ③将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概 型的概率公式求概率.
图 D97
A.p1<p2<p3 C.p3<p1<p2
B.p2<p3<p1 D.p3<p2<p1
根据几何概型公式可得 p2<p3<p1.
(1) 答案：B
(2)
(3)
图 D98
解析：设两串彩灯同时通电后，第一次 闪亮的时刻分别为 x，y，则 0≤x≤4,0≤y≤4， 而事件 A“它们第一次闪亮的时刻相差不超 过 2 秒”，即|x－y|≤2，可行域为如图 9-5-7 所示的阴影部分.
图 9-5-7
由几何概型概率公式，得 P(A)＝ 答案：C
【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意哪部 分代表总的基本事件表示的区域，哪部分是所求事件所表示的 区域.
例 3：(1)有一个底面圆的半径为 1，高为 2 的圆柱，点 O
为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P
到点 O 的距离大于 1 的概率为( )
A.13
B.32
C.23
D.12
答案：C
(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点 P，则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( )
A.p1＝p2
图 9-5-3 B.p1＝p3 C.p2＝p3 D.p1＝p2＋p3
答案：A
答案：D
【规律方法】如果试验结果构成的试验区域的几何测度可
用面积或体积表示，那么概率的计算公式为 P(A)＝
构成事件 A 的区域长度(面积或体积) 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
考点 3 与体积有关的几何概型
解析：“过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于点 M”， CM 在直角内等可能，结果应该为角度的比.如图 D96，取 AD ＝AC，∠A＝30°，此时∠ACD＝75°，欲使|AM|>|AC|，CM
必须在∠BCD 内，其概率为
答案：B
图 D96
(2)如图9-5-6，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD ＝ ，在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM<1 的概率 为________.
40 2 答案：B
答案：B
(3)在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，在斜边 AB 上任取一点 M， 则使|AM|>|AC|的概率为( )
解析：M 为斜边 AB 上任一点，结果应该 为斜边 AB 上的长度比.如图 D95，
取 AD＝AC，∠A＝30°，欲使|AM|>|AC|，
点 M 必须在线段 BD 内，其概率为