4.5.1一元二次方程根的分布(第二课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

4.5.1 一元二次方程根 的散布
函数的零点定义：
对于一般函数y=f(x), 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
零点的求法
函数y=f(x)有零点
代数法
图象法
2024/11/9
实根散布问题
一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
由题意知f (1) 12 2m m 2 0, 解得m 1,
m的取值范围是(, 1).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根,
(2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
0 (2)(法1)由题意 (x1 1)(x2 1) 0
(x1 1) (x2 1) 0
4m2 4(m 2) 4(m 1)(m 2) 0
0 x1 x2
0
x1 x2
0
也可
f (x)
x1
x2
0
x
可用韦达定理表达式来书写： ac<0
也可
f (x)
x1 0
x2
x
f(0)<0
（1）方程两根都大于k（k为常数）
（2）方程两根都小于k（k为常数）
为常数）
为常数）
为常数）
0
k1
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
实根散布问题一般考虑四个方面，即： （1）开口方向
（2）判别式 b2 4ac
（3）对称轴 （4）端点值
x b 2a
f (m) 的符号。
一元二次方程
的两个根为 x1,x2 (x1x2)
0
可用韦达定理表达式来书写条件
x1
x2
0
也可
x1 x2
0
f (x)
x1
x2
0
x
可用韦达定理表达式来书写条件
b 2a 0 0
1
4(m 1)(m 3 m 1 5m 11 0 3m 3 0
2)
0
m 1或m
1 m 3
m
11 5
m 1
2
2 m 11, 5
综上可知, m的取值范围是[2,11). 5
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (5)若方程一根小于 3,一根大于 1,求m的取值范围.
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
1、当x为全体实数时的根
（1）当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根
（2）当 b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根
（3）当 b2 4ac 0 时，方程没有实数根
2、当x在某个范围内的实根散布
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0在) 某个区间 上有实根，求其中字母系数的问题称为实根散布问题。
(3)(法1)由题意 (x1 1)(x2 1) 0
x1x2
(
x1
x2
)
1
0
(x1 1) (x2 1) 0
x1
x2
2
0
4(m 1)(m 2) 0 m 1或m 2
m 1
m 1
2m 2 0
m 1
无解,
综上可知, m的取值范围是空集.
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根,
x1
x2
( x1
x2
)
1
m
2
2m
1
0
x1
x2
2
2m
2
0
m 1或m 2
m 1
m 2,
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
0
(3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围;
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
0
若方程两根都大于1,
则
b 2a
1
f (1) 0
4m2 4(m m 1
2)
4(m
1)(m
2)
0
m m
1或m 1
2 无解,
12 2m m 2 0
m 1
综上可知, m的取值范围是空集.
若方程两根都小于1, 则
b 2a
1
f (1) 0
m
4(m 1
1)(m
2)
0
m m
1或m 1
2
m 2,
3m 3 0
m 1
综上可知, m的取值范围是[2, ).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围;
0
4m2 4(m 2) 0
解：(1)(法1)由题意知
0 (x1 1)(
x2
1)
0
4m2 4(m 2) 4(m 1)(m 2) 0
x1x2 (x1 x2 ) 1 0
m 1或m 2 m 1
m 1
m的取值范围是(-, 1).
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (1)若方程一根大于1, 另一根小于1, 求m的取值范围; (法2)令f (x) x2 2mx m 2,
1、已知方程Βιβλιοθήκη 2 2mx m 2 0有实根,(4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
(4)(法1)由题意
0
(( (
x1 x1 x1
3)( x2 3) ( 1)( x2
3) 0 x2 3) 1) 0
0
(x1 1) (x2 1) 0
m
m m m m
1或m 2 11 5 3 2 1 1
m
11 5
,
综上可知, m的取值范围是[2,11). 5
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围.
(法2)令f (x) x2 2mx m 2,
由题意
0 3 f (3) f (1)
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
k1
2
k2
k1
k2
或
f (k2 ) 0 k1 k2
2
b 2a
k2
为常数）
1、已知方程x2 2mx m 2 0有实根, (1)若方程一根大于1,另一根小于1, 求m的取值范围; (2)若方程两根都小于1, 求m的取值范围; (3)若方程两根都大于1, 求m的取值范围; (4)若方程两根都在区间(3,1)内, 求m的取值范围; (5)若方程一根小于 3,一根大于 1, 求m的取值范围.
(5)令f (x)=x2 2mx m 2,
若方程一根小于
3,一根大于
1, 则
f f
(3) (1)
0 0
(3)2 (1)2
6m 2m
m m
2 2
5m 11 m 3 0
0
m
11 5
m 3
m 3 m的取值范围是(3, ).
例2：（1）关于x的方程2kx2 2x 3k 2 0有两实根， 一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的范围.