复平面点集

§2 复平面上的点集
一、教学目标或要求： 熟练掌握点集的基本概念
二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：
教学内容：复平面的点集 邻域 开集 区域 单连通区域 重点： 邻域、区域 难点： 约当曲线 三、教学手段与方法： 讲授、练习
四、思考题、讨论题、作业与练习：习题一 6－11
§2 复平面上的点集
1.平面的几个基本概念
定义1.1 0z 点的ρ邻域为复数集合}:{0ρ<-z z z ，记为),(0ρz N 。

0z 点的去心ρ邻域为复数集合}0:{0ρ<-<z z z ，记为),(0*ρz N 。

无穷远点的ρ邻域为复数集合}:{ρ>z z ，记为),(ρ∞N 。

定义1.2 给定点集
，及点。

称
为
的聚点或极限点指：的任一邻
域内都有的无穷多个点。

若
，但非
的聚点，则称
为
的孤立点; 若
，又非的聚点，则称为的外点。

若有一邻域全含于内，则称
为的内点。

若
的任一邻域内，同时有属于
和不属于
的点，则称
为
的
边界点。

边界点的全体称为的边界。

记作。

定义1.3 若点集
的每个聚点都属于
，则称
为闭集；若点集
的点皆
为内点，则称为开集。

定义1.4 点集称为有界集，若使有。

2.区域与约当曲线
定义1.5 具备下列性质的非空点集D 称为区域： (1) D 为开集；
(2) D 中任意两点可用全在D 中的折线连接。

定义1.6 区域D 加上它的边界称为闭域，记为C D D += 复平面上的区域往往用不等式表示，如：
以原点为心，为半径的圆 ：。

以原点为心，为半径的闭圆 ：。

上半平面：， 下半平面：， 左半平面：， 右半平面：。

带形区域：
同心圆环：
定义1.7 设是实变数的两个实函数，在闭区间
上
连续，则由方程
所决定的点集
，称为复平面上的一条连续曲线。

上式称为
的参数方程
分别称为
的起点和终点 。

对某点
，若有
，
使
，则称点
为曲线
的重点。

凡无重点的连续曲线称为简单曲
线或约当曲线；的简单曲线称为简单闭曲线。

若
存在、连
续且不全为零，则称简单曲线
为光滑曲线。

定义1.8 可求长的连续曲线，若对任意实数列
存在，则称
为可求长曲线，并记
为曲线
的长度。

定义 1.8 .光滑（闭）曲线
在
都存在.连续且不全为零
为闭曲线且。

定义1.10 由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。

因此，连续曲线有以下四种情况:
下述约当定理的直观意义十分清楚，但其证明并非易事，涉及拓扑学的若干
知识，因此略去证明。

定理 1.1 任一简单闭曲线将平面唯一地分成及三个点集C ，),(C I )(C E 它们具有如下性质： (1) 彼此不交
(2) ),(C I 是一个有界区域（称为的内部）； (3) )(C E 是一个无界区域（称为
的外部）；
(4) 若简单折线的一个端点P 属于),(C I ，另一个端点属于)(C E ，则P 必与C 有交点。

定义1.11 对于区域D ，若D 中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D ，则称D 为单连通区域。

不是单连通区域的区域称为复连通区域。

单连通的特征是“无洞”，而“有洞”就是多连通。

如：圆；简单闭
曲线的内部都是单连通区域，圆环
是多连通区域。

单连通区域的重要特征是：区域D 内任意一条简单闭曲线，在D 内可以经过
连续的变形而缩成一点，而复连通区域不具有这个特征.
例 试求满足条件 11+=-z z 的点z 的集合。

解法1 将点z 所满足的条件转化为关于实数的条件，即将问题归为实数来考虑。

设i y x z +=，得
2222)1()1(y x y x ++=+-
即0=x 为点z 所满足的条件。

由此得知点z 的集合为虚轴。

解法2 从所给条件的几何意义考虑。

因1-z 表示点z 到点1的距离，1+z 表示点z 到点1-的距离，所以，等式
11+=-z z
表示点z 到点1的距离与点z 到点1-的距离相等，因此，满足该等式的点z 的集合是虚轴。