届昆明一中高三年级第一次月考(理)

2010届昆明一中高三年级第一次月考
数学试卷（理）
考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．设集合2
{|320}M x x x =++<，集合1{|()4}2
x N x =≤，则M N = （ ）
A ．{|2}x x ≥-
B ．{|1}x x >-
C ．{|1}x x <-
D ．{|2}x x ≤-
2．定义映射f ：A →B ，若集合A 中元素x 在对应法则f 作用下的象为3log x
，则A 中元素
9的象是
（ ）
A ．-3
B ．-2
C ．2
D ．3 3．已知复数23()i
z a R a i
+=∈-是纯虚数，则a 的值等于
（ ）
A ．3
2-
B ．2
3
-
C ．1
D ．
32
4．设1a >，集合103x A x
x -⎧⎫
=>⎨⎬-⎩⎭
，(){}210B x x a x a =-++<。

若A B ⊆，则a 的
取值范围是
（ ）
A ．13a <≤
B ．3a ≥
C ．3a >
D ．13a <<
5．已知}a {n 是公比为q 的等比数列，且231a ,a ,a 成等差数列．则q = （ ）
A ．1或12
-
B ．1
C ．12
- D ．2- 6．若a >b ，则下列不等式中正确的是
（ ）
A ．
b
a 1
1< B ．22a b > C ．a b +> D ．222a b ab +>
7．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是
（ ）
A ．()sin f x x =
B ．()1f x x =-+
C ．2()ln
2x
f x x -=+ D ．()1()2
x
x f x a a -=
+ 8．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是 （ ）
A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥
B ．若a b αβ，∥∥，αβ∥，则a b ∥
C ．若a b a b αβ⊂⊂，，∥，则αβ∥
D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥
9．二次方程2
210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ ）
A ．0a <
B ．0a >
C ．1a <-
D ．1a >
10．在A B C ∆中，A ∠、B ∠、
C ∠所对的边长分别是a 、b 、c ．满足b A c C a =+cos cos 2， 则B A sin sin +的最大值是 （ ）
A ．
2
B ．1
C
D ．
12
11．已知()y f x =是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是1
()y f x -=，且
(1)y f x =+的图象过(4,0),(2,3)A B -两点，若1|(1)|3f x -+≤，则x 的取值范围是
（ ）
A ．[4,2]-
B ．[1,2]-
C ．[0,3]
D ．[1,3]
12．若,,a b c 是取自集合{}1,2,3,4,5,6,7中的三个不同的数，且满足ab bc ca ++为奇数，
则,,a b c 不同选取方法共有
（ ）
A ．132种
B ．96种
C ．60种
D ．24种
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案直接填在题中横线上．
13．61
)x
的展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 14．设F 为抛物线2
14
y x =-
的焦点，与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴的交点为Q ，PQF ∠=_________________．
15．已知实数x ．y 满足1,
1,
y y x ≤⎧⎪⎨
≥-⎪⎩则2x y +的最大值是 ．
16．若球O 的表面积为π16，边长为2的正三角形ABC 的三个顶点在球O 的表面上，则球
心O 到平面ABC 的距离为 ．
三．解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程． 17．（本小题满分10分）
设函数()f x =p ·q ,其中向量p =(sin ,cos sin )x x x +,q =(2cos ,cos sin )x x x - x ∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间． 18．（本小题满分12分）
如图，等边ABC ∆与直角梯形ABDE 所在平面垂直，//BD AE ，AE ⊥AB ，
22BC BD AE ===，O 为AB 的中点．
（Ⅰ）证明：CO DE ⊥；
（Ⅱ）求二面角C DE A --的大小．
19．（本小题满分12分）
甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球。

现从甲．乙两袋中各任取2个球。

（Ⅰ）用ξ表示取到的4个球中红球的个数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）求取到的4个球中至少有2个红球的概率。

20．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2+3=,2=1+1n n S S S ()n=1,2,3
．
（Ⅰ）求证：数列{}
1+n S 为等比数列； （Ⅱ）设2n
n
n S a b =
,求证：1...21<+++n b b b ． 21．（本小题满分12分）
已知双曲线22
22b
y a x -=1（a >0，b >0）的一条渐近线方程为y =x 3,两条准线的距离为1．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M ，N ，点P 为双曲线上异于M ，N 的
一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值．
22．（本小题满分12分）
设a ∈R ，函数1()2
x
f x e -=
（12++a ax ）
，其中e 是自然对数的底数． （Ⅰ） 判断函数)(x f 在R 上的单调性;
（Ⅱ） 当01<<-a 时，求函数)(x f 在[1，2]上的最小值．。