根式的运算技巧

根式的运算
平方根与立方根
一、知识要点
1、平方根：
⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。

2、立方根：
⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3≥0a≥0。

4、公式：⑴2=a（a≥0a取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根
（1）64；（2）2
)3(-； （3）49
15
1
； ⑷ 21(3)-
例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）
25
9
； （4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）49
25±
（8）2
)25(- 例3、求下列各数的立方根：
⑴ 343； ⑵ 10
2
27
-； ⑶ 0.729 二、巧用被开方数的非负性求值.
大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.
例4、若,622=---
-y x x 求y x
的立方根.
练习：已知,21221+-+
-=x x y 求y x 的值.
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程
例6、解方程（1）（x+1）2
=36 （2）27(x+1)3=64
五、巧用算术平方根的最小值求值.
我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.
例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a
的非算术平方根.
练习：
1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．
A ．2
B ．±2
C ．4
D ．±4 2、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 4、327= ， 64-的立方根是 ； 5、7的平方根为 ，21.1= ；
6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；
7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；
8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；
9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；
10、若3x x =，则x= ；若x x -=2
，则x ；
11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____
12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3
125(2)343x -=-
（3 ） 2
64(3)90x --= （4）
31
(1)802
x -+=
132
3(2)0y z -++=，求xyz 的值。

14
、若y =
，求2x y +的值．
15、已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2
+ｙ2
的平方根． 16、若12112--+-=
x x y ，求x y 的值。

二次根式
一、知识点
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：
（1）（a ）2
=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：
⑴二次根式的加减运算：
先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：
①ab =b a ∙（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a b a b a
【例题讲解】
一、利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平
方根是一个非负数。

）
a （a ＞0） ==a a 2
a -（a ＜0）
0 （a =0）；
例1 ：x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1） （2）
121
+-x （3）45++x x
(4)
.
例2：
若2004a a -=，则22004a -=_____________；
若433+-+-=x x y ，则=+y x 【基础训练】
1、下列各式中一定是二次根式的是（ ）。

A 、3-； B 、
x ； C 、12+x ； D 、1-x
2、若
1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是
3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。

4
是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．
5、设m 、n 满足3
2
9922-+-+-=
m m m n ，则mn = 。

6、若三角形的三边a 、b 、c 满足3442
-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m
C 、2<m
D 、2≤m
二、利用二次根式的性质2
a =|a |=⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>)0()0(0)
(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个
数的绝对值)来解题 【例题讲解】
例1 ：已知233x x +＝－x
3+x ，则（ ）
A.x ≤0
B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0
例2 ：化简2
1)
2(--
-x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2
【基础训练】
1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a -
2、若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤4
3、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=
4、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -
5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。

A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a
三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2
=a （a ≥0），即|
|2a a =以及混合运算法则） 【例题讲解】 （一）化简与求值
例1：把下列各式化成最简二次根式：
（1）833 （2）224041- （3）2
255
m （4）224y x x +
例二：计算：2505
1122
183
133++--
【基础训练】
1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a
323c b a ，
4
c
ab
，a bc a 2、计算下列各题：
（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）a c c b b a 53654⋅
⋅ （4）24
18
2 （5）－545321÷ 3、已知10182
22
=++x x x
x
，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4
4、
211+＋321+＋431+＋…＋100
991
+
（二）先化简，后求值：
1. 直接代入法：已知),57(21+=
x ),57(2
1-=y 求(1) 2
2y x + (2) y x x y +
2.变形代入法：
（1）变条件：①已知：1
32-=
x ，求12
+-x x 的值。

②.已知:x =2
323,2
323-+=+-y ，求3x 2－5xy +3y 2的值
（2）变结论：
1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。

2、已知12,12+=-=y x
，求
xy
y x x y y x 33++++ 。

3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求
x y
y
x
+的值 （2）求y
x y x +-的值
四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题
1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3
3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值
4.若a ，b 为有理数，且8+18+8
1=a+b 2，则b a = .
五、二次根式的比较大小
（1）
322005
1
和 （2）－5566-和 （3）13151517--和 （4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）
A. c b a >>
B. b c a >>
C. a b c >>
D. a c b >> 六、实数范围内因式分解： 9x
2
－5y 2 4x 4－4x 2＋1 x 4+x 2－6
练习：
1、若b a y b a x +=-=
,，则xy 的值为（ ）
A ．a 2
B ．b 2
C ．b a +
D ．b a -
2、若20a -=，则2a b -= ．
3、计算：
（1） （2
（3）． （4）．
4
x 值，代入化简后的式子求值。

5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，
化简
6、若
，则的取值范围是 A ．
B ．
C ．
D ．
7、如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点
关于点
的对称点为点，则
点所表示的数是
A ．
B ．
C ．
D ．
8
、已知：11a a +
=221
a a
+的值。

9、已知：,x y
为实数，且13y
x -+
，化简：3y -
10、已知
()1
1
039
32
2++=+-+-y x x x y x ，求
11、先阅读下列的解答过程，然后作答：
m 和n ，使22
m n a +=且
mn =
则
a ±可变为
222m n mn
+±，即变成
2
()m n ±开方，从而使
得
化简。

例如：
5±=3
2++
=222
++=+，
∴
==
请仿照上例解下列问题：
（1； （2
二次根式运算的技巧
二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。

下面举例说明二次根式的运算技巧：
一、 巧移因式法
例1、 计算)3418)(4823(-+
分析：将3423、
根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算
解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯
=)4818)(4818(-+
=18-48 =-30
二、 巧提公因数法
例2、计算)3225)(65(-+
分析：∵2=2
)2( ∴3225-中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式
计算
解：原式=]3)2(25)[65(2
-+
=)]65(2)[65(-+
=)65)(65(2-+
=2（25-6）
=192
三、 公式法
例3、计算)632)(632(---+
分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便
解：原式=]3)62][(3)62[(--+-
=2
2)3()62(--
=366222-+-
=345-
四、 因式分解法
例4、计算)()2(y x y xy x +
÷++
分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便
解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x +
÷++
=)()(2y x y x +÷+
=y x +
五、 拆项法
例5、化简
)
23)(36(23346++++
分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便
解：原式=
)
23)(36()23(3)36(+++++
=
3
632
31++
+
=3623-+-
=26-
六、 配方法
例6、计算3819625223+--+-
分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算
解：原式=2
2
2
)34()23()21(+--+-
=)34()23()12(+--+- =-5
七、整体代入，别开生面
例5. 已知，求下列各式的值。

（1） （2）
分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得多。

解：因为
所以
（1）
（2）
（也可以将变为来求）
八、巧换元，干净利索
例6. 计算
分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，
则原式
而
原式
解：设
则
所以原式
例7. 计算
分析：有两种方法，一种换元，一种配方。

解法1：设
两边平方
因为
所以
即
解法2：原式
所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍效果
二次根式的运算测试题
姓名班级学号
一．选择题（本题30分，每小题3分）：
1．化简3－3(1－3)的结果是() A．3 B．－3 C. 3 D．－ 3
2．计算(28－23＋7)×7＋84的结果是() A．117 B．15 3 C．21 D．24
3．计算(32＋53)×(32－53)的结果是() A．－57 B．57 C．－53 D．53
4．计算⎝ ⎛
⎭⎪⎫a ＋1a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2的结果是
( )
A ．2
B ．4
C ．2a
D ．4a
5．2×(2－3)＋6的值是________；
6．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝________． 7．计算()50－8÷2的结果是________．
8、计算：
40＋5
5
＝________． 9、有下列计算：①(m 2)3＝m 6；②4a 2－4a ＋1＝2a －1；③m 6÷m 2＝m 3；④27×50÷6＝15；⑤212－23＋348＝14 3.其中正确的运算有________． 10、计算：(2＋1)(2－1)＝________．
二、计算题（本题30分，每小题5分）：
(1)⎝
⎛⎭
⎪⎫
827－53
×6； (2)(5＋6)×(52－23)； (3)945÷3
15×3
2
22
3； (4)
13＋2＋12＋1－1
3－1
. (5)38×(54－52－26)； (6)a (a ＋2)－a 2b
b
；
二、解答题（本题40分，每小题10分）：
1、已知a ＝5＋2，b ＝5－2，求a 2＋b 2＋7的值？
2、已知x 1＝3＋2，x 2＝3－2，求x 2
1＋x 22？
3、已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y (y －2x )的值．
4、先化简，再求值：(a 2
b ＋ab )÷a 2＋2a ＋1a ＋1
，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.。