2021-2022年数学高中学业水平测试课件：专题八第32讲平面向量的应用举例

定点 A，B 满足|O→A|＝|O→B|＝O→A·O→B＝2，则点集{P|O→P＝
λO→A＋μO→B，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是
() A．2 2
B．2 3
C．4 2 D．4 3
解析：由|O→A|＝|O→B|＝O→A·O→B＝2，知〈O→A，O→B〉＝ π3.
当 λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1 时，
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0， 其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且 a，b 为非零向量
夹角 数量积的定 cos θ＝|aa|·|bb|(θ 为向量 a，b 的夹
问题 义
角)，其中 a，b 为非零向量
长度 数量积的定 |a|＝ a2＝ x2＋y2，
问题 义
其中 a＝(x，y)，a 为非零向量
剖析 向量在解析几何中的作用： (1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于 “包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算， 脱去“向量外衣”； (2)工具作用，利用 a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)， 可解决垂直、平行问题．
3．向量的综合应用
【例 3】 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两
2．向量在解析几何中的应用
Hale Waihona Puke 【例 2】 已知圆 C：(x－2)2＋y2＝4，圆 M：(x－2
－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1(θ∈R)，过圆 M 上任意一点 P
作圆 C 的两条切线 PE，PF，切点分别为 E，F，则P→E·P→F
的最小值是( )
A．5
B．6
C．10
D．12
解析：圆(x－2)2＋y2＝4 的圆心 C(2，0)，半径为 2， 圆 M(x－2－5cos θ)2＋(y－5sin θ)2＝1，圆心 M(2＋ 5cos θ，5sin θ)，半径为 1，∵CM＝5＞2＋1， 故两圆相离．如图所示，设直线 CM 和 圆 M 交于 H，G 两点，
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题设―向―→量向量问题―运―算→解决向量问题 ―还―原→解决几何问题．
2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们 的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的 知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数 量积，即 W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)．
∴λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1 时，点 P 必在△OAB 内(包括
边界)．
考虑|λ|＋|μ|≤1 的其他情形，点 P 构成的集合恰好是 以 AB 为一边，以 OA，OB 为对角线一半的矩形，
其面积为 S＝4S△OAB＝4×12×2×2sin π3＝4 3. 答案：D
剖析：利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、 不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化， 使问题的条件结论明晰化．
(2) A→B ＋ C→D ＝ 0 ⇒ A→B ＝ － C→D ＝ D→C ⇒ 平 面 四 边 形 ABCD 是平行四边形，(A→B－A→D)·A→C＝D→B·A→C＝0⇒D→B⊥ A→C，∴平行四边形 ABCD 是菱形．
答案：(1)12 (2)D
剖析：解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向 量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运 算研究几何元素之间的关系．
1．在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，则△ABC
的形状一定是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
C．正方形
D．菱形
解析：(1)在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F， 则B→E＝F→D，∴B→E＝F→D＝A→D－12A→B， 又∵A→C＝A→D＋A→B，∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2＝|A→D|2＋12|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2＝1＋12×12|A→B|－12|A→B|2＝1. ∴12－|A→B||A→B|＝0，又|A→B|≠0，∴|A→B|＝12.
则P→E·P→F最小值是H→E·H→F，HC＝CM－1＝5－1＝4，
HE＝ HC2－CE2＝ 16－4＝2 3， sin ∠CHE＝CCHE＝12，∴cos∠EHF＝cos 2∠CHE＝1－
2sin2∠CHE＝12， H→E·H→F＝|H→E|·|H→F|cos∠EHF＝2 3×2 3×12＝6. 答案：B
3．平面向量与其他数学知识的交汇
平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、 三角函数、数列、解析几何等知识结合．当平面向量给 出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条 件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以 求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．
此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途 径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条 件；二是利用向量数量积的公式和性质．
1．向量在平面几何中的应用
【例 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠
BAD＝60°，E 为 CD 的中点．若A→C·B→E＝1，则 AB＝
________． (2)平面四边形 ABCD 中，A→B＋C→D＝0，(A→B－A→D)·A→C
＝0，则四边形 ABCD 是( )
A．矩形
B．梯形
专题 八 平面向量
第 32 讲 平面向量的应用举例
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识
公式表示
线平行、点 共线等问题
a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0， 共线向量
定理
其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
b≠0
垂直 问题
数量积的运 算性质
在△OAB 中，取O→C＝λO→A，过点 C 作 CD∥OB 交 AB 于点 D，作 DE∥OA 交 OB 于点 E，显然O→D＝λO→A＋ C→D.
由于CODB＝AAOC，CODB＝2－22λ，∴C→D＝(1－λ)O→B， ∴O→D＝λO→A＋(1－λ)O→B＝λO→A＋μO→B＝O→P， ∴λ＋μ＝1 时，点 P 在线段 AB 上，